變式在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

周功揚(yáng)

關(guān)鍵詞：變式教學(xué)? 多題歸一? 一質(zhì)多表? 一題多變? 一題多解

自顧冷沅教授開展變式教學(xué)實(shí)驗(yàn)以來，變式教學(xué)已獲得了人們的普遍關(guān)注，“變式教學(xué)是我國(guó)數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)特征，已成為我國(guó)數(shù)學(xué)教師的日常行為規(guī)范。”張奠宙 變式就是通過變換研究對(duì)象的非本質(zhì)特征，變換觀察事物的角度或方法，來突出事物的本質(zhì)特征，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解和把握這些本質(zhì)特征。變式教學(xué)能夠在不改變事物本質(zhì)的情況下，轉(zhuǎn)變問題的呈現(xiàn)方式，巧妙運(yùn)用各類素材進(jìn)行變式訓(xùn)練，對(duì)概念、例（習(xí)）題、解法、結(jié)論不斷地進(jìn)行拓展和深化，有利于啟迪學(xué)生思維，觸類旁通，提高教學(xué)效率。

一、多題歸一

通過設(shè)計(jì)不同現(xiàn)實(shí)情境下的變式問題，發(fā)現(xiàn)共同特征，突出概念的本質(zhì)屬性，從而引入概念或獲得結(jié)論。

案例1：冪函數(shù)概念引入

（1）購(gòu)買每千克1元的商品a千克，需要支付P = ______

（2）正方形邊長(zhǎng)為 a，它的面積S = ____

（3）立方體邊長(zhǎng)為a，它的體積V = ____

（4）面積為 S的正方形場(chǎng)地的邊長(zhǎng)a = _____

（5） t 時(shí)間內(nèi)車行1 km，車的平均速度v=_______

把各題的自變量和因變量分別換成x和y，得y=x，y=x2，y=x1/2，y=x3，y=x-1

讓學(xué)生尋找以上問題中的函數(shù)有什么共同特征？

都是函數(shù);均是以自變量為底的冪;指數(shù)為常數(shù);自變量前的系數(shù)為1;冪前的系數(shù)也為1。

上述問題中涉及的函數(shù)，都是形如的函數(shù)，進(jìn)而引出冪函數(shù)的概念。

二、一質(zhì)多表

通過變式題組多題辨析或多種表征，更加精準(zhǔn)把握概念的內(nèi)涵和外延，從而理解概念的本質(zhì)。

1.案例2： 函數(shù)概念的辨析

講授函數(shù)定義時(shí)，設(shè)計(jì)以下一組對(duì)應(yīng)關(guān)系f：A→B，讓學(xué)生辨別能否構(gòu)成函數(shù)：

根據(jù)函數(shù)的定義，分析上述六種對(duì)應(yīng)關(guān)系中，“一對(duì)一、一對(duì)一且B有余、多對(duì)一、多對(duì)一且B有余”四種對(duì)應(yīng)可以構(gòu)成函數(shù)，“A有余”不能滿足定義中的“任意性”，“一對(duì)多”不滿足定義中的“唯一性”，都不能構(gòu)成函數(shù)。對(duì)“一對(duì)多”“多對(duì)一”的對(duì)比講解也為后面學(xué)習(xí)反函數(shù)留下伏筆。

教材中還有諸多例子，如用函數(shù)的解析法、表格法、圖像法三種表示來辨析函數(shù)概念中的“某種對(duì)應(yīng)關(guān)系”;二次函數(shù)的三種表示：當(dāng)a≠0，一般式y(tǒng)=ax2+bx+c;零點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2）;頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-m）2+n;直線方程有點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式四種表達(dá)式。

三、一題多變

通過對(duì)原問題的條件改變、結(jié)論改變、一般化、特殊化等作引申或鋪墊。對(duì)例（習(xí)）題的變式訓(xùn)練，要重視探究問題的變化，在變化中更深刻理解概念的本質(zhì)，在變化中獲得更多的方法和結(jié)論，在變化中培養(yǎng)更具靈活創(chuàng)新的思維。

1.案例3： （弦的中點(diǎn)軌跡問題）拋物線y2=4x的弦AB的斜率為1，求AB中點(diǎn)的軌跡方程

解：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點(diǎn)M（x，y）。

由題意可得（1），（2）

由（2）-（1）可得（y2+y1）（y2-y1）=4（x2-x1），

又y2+y1=2y，k==1，

則2（在拋物線內(nèi)部，即x≥1）。

變式1（把拋物線改為橢圓）橢圓x2/2+y2=1的弦AB的斜率為1，求AB中點(diǎn)的軌跡方程。

解：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點(diǎn)M（x，y）。

由題意可得（1），（2）

由（2）-（1）可得2（x2+x1）（x2-x1）+2（y2+y1）（y2-y1）=0，

又x2+x1=2x，y2+y1=2y，k==1，

則x+4y=0（在橢圓內(nèi)部，即）。

變式2（把斜率改為過定點(diǎn)）過定點(diǎn)P（2，3）作直線交拋物線y2=4x于A、B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)的軌跡方程。

解：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點(diǎn)M（x，y）。

由題意可得（1），（2）

由（2）-（1）可得（y2+y1）（y2-y1）=4（x2-x1），

又y2+y1=2y，k==，

則y2-3y=2x-4（在已知拋物線y2=4x內(nèi)部，即y〈2或y〉4）。

本例還可在橢圓、雙曲線、拋物線，斜率、定點(diǎn)、定弦長(zhǎng)等之間作組合變式，延伸出各種不同的題。從解題中還可發(fā)現(xiàn)這類題都可以使用“點(diǎn)差法”（把弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)帶入已知曲線方程再作差）求解。

2.案例4： 作正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+k的圖像

難點(diǎn)在于取哪五點(diǎn)來作圖。有學(xué)生作圖時(shí)取x=0，π/2，π，-π/2，2π，為此設(shè)計(jì)以下題：

（1）作函數(shù)y=sinx的圖像

（2）作函數(shù)y=sin2x的圖像

（3）作函數(shù)y=2sin2x+1

（4）作函數(shù)y=2sin（2x+π/4）+1

解決題（2）后，學(xué)生頓時(shí)明白y=sin2x與y=sinx “五點(diǎn)”作圖時(shí)x的取值是不同的，進(jìn)而更加深刻掌握“五點(diǎn)”是函數(shù)最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)和三個(gè)零點(diǎn)組成的。這樣就大大降低了y=2sin（2x+π/4）+1的作圖難度。

四、一題多解

將同一個(gè)問題的不同解法作為變式，去聯(lián)結(jié)各種不同的知識(shí)點(diǎn)，從而提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的整合能力，有利于形成完整系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，舉一反三，觸類旁通。

案例5：關(guān)于x的二次方程 2（m+1）x2-4mx+

3（m-1）=0至少有一個(gè)正根，求m的值

在有實(shí)根的前提下，依題意，可以按正根個(gè)數(shù)來分類：（1）有兩個(gè)正根，（2）只有一個(gè)正根，（3）沒有正根。從正向求解，分別求解（1）（2）兩種情形，再取并集即可;從方向求解，只需求解情形（3），取其補(bǔ)集即可。

解法一：首先要滿足2（m+1）≠0且△=（-4m）2-4×2（m+1）×3（m-1）≥0，得-≤m≤且m≠-1 （1）。

（1）有兩個(gè)正根，則 解得m<-1或m>1（2）。

由式（1）（2）得解-≤m<-1或1

（2）只有一個(gè)正根，則x1x2=≤0，解得-1

由式（1）（3）得解m的取值 -1

綜合情形（1）（2），得-≤m≤且m≠-1。

解法二：首先要滿足2（m+1）≠0且△=（-4m）2-4×2（m+1）×3（m-1）≥0，得-≤m≤且m≠-1 （1）

再解“沒有正根”情形，即 解之得無解（2）。

由式（1）（2），得m的取值-≤m≤且m≠-1。

五、一法多用

用同一具體解題方法解決不同知識(shí)點(diǎn)的問題。

案例6： 曲線系方程可用在下列題解中

（1）證明雙曲線x2/25-y2/9=1和x2/9-y2/25=1不相交;

（2）不論m為何值，曲線kmx2+my2+x+y-6m+4=0均過定點(diǎn)，求k的值;

（3）求圓2x2+2y2+4x-y-7=0與2x2+2y2-3=0的公共弦所在的直線方程;

（4）求經(jīng)過點(diǎn)（2，-3），且與橢圓9x2+4y2=36有共同焦點(diǎn)的橢圓方程。

兩曲線C1：f（x，y）=0和C2：g（x，y）=0的公共交點(diǎn)一定在方程為f（x，y）+λg（x，y）=0的曲線上，因此可設(shè)經(jīng)過曲線C1和C2交點(diǎn)的曲線系方程為f（x，y）+λg（x，y）=0，但曲線系中不包括C2。這種共交點(diǎn)的曲線系方程具有廣泛的應(yīng)用?？捎盟鼇斫馍鲜鲞@組題。

（1）兩式相減，化簡(jiǎn)得x2+y2=0，則x=y=0，而點(diǎn)（0，0）不在已知兩曲線上，故無交點(diǎn)。

（2）原方程可整理為

x+y+4+m（kx2+y2-6）=0

這是直線x+y+4=0與曲線kx2+y2-6=0的曲線系方程，那么也必定經(jīng)過該直線與曲線的所有交點(diǎn)。由方程組化得（k+1）x2+8x+10=0，△=-40k+24

當(dāng)△=0，即k=時(shí)，原曲線均過定點(diǎn)。

（3）兩個(gè)原方程相減，即得公共弦方程4x-y-4=0.

（4）該題運(yùn)用結(jié)論：

與橢圓=1（半焦距為c）共焦點(diǎn)的橢圓系方程：=1（λ>c2）

解：因已知橢圓焦點(diǎn)在y軸上，則可設(shè)所求橢圓方程為=1

易求c2=5，又所求橢圓過點(diǎn)（2，-3），代入解得 =10或-2（舍去）

則所求橢圓方程為=1

說明：曲線系方程應(yīng)用有一定條件要求，應(yīng)用需謹(jǐn)慎，本文不展開。

還有本文例3“點(diǎn)差法”可以解決橢圓、雙曲線、拋物線的弦的中點(diǎn)軌跡問題;一元二次方程根的判別式可以解決一元二次方程求根、一元二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)、一元二次不等式解集、二次三項(xiàng)式的因式分解以及直線與拋物線的交點(diǎn)等方面的問題;高等數(shù)學(xué)中“微元法”可以用來解決“分割化小，以直代曲”的問題等。

在變式教學(xué)中要帶領(lǐng)學(xué)生參與到問題認(rèn)知、探究、發(fā)現(xiàn)過程中，多方位、多層次認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)特征，對(duì)問題有更深層次的理解，開拓思維能力。通過變式教學(xué)，能優(yōu)化課堂教學(xué)方式，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高課堂效率。

參考文獻(xiàn)：

[1]張奠宙.中國(guó)數(shù)學(xué)雙基教學(xué)[M].上海：上海教育出版社，2006.

[2]溫麗紅.數(shù)學(xué)概念的變式教學(xué)方略[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（5）.

（作者單位：杭州輕工技師學(xué)院）