一類隨機互惠種群模型的漸近行為
2019-05-31 01:52:40趙愛民趙曉丹劉桂榮
山西大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版) 2019年2期
趙愛民,趙曉丹,劉桂榮
(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)
0 引言
在生態(tài)系統(tǒng)中,物種的互惠現(xiàn)象是非常普遍的。為此，國內(nèi)外許多學(xué)者建立了不同的互惠種群模型,并利用微分方程定性理論分析了種群動力學(xué)行為[1-5]。
此外,種群的生存還受環(huán)境噪聲的影響。因此，利用隨機微分方程刻畫種群動力學(xué)行為更符合實際[6-8]。為此，文獻[9]建立了下列具有飽和項的隨機互惠種群模型
(1)
并利用隨機微分方程基本理論，研究了模型(1)的滅絕性與持久性。
另一方面，系統(tǒng)(1)只考慮了環(huán)境對內(nèi)稟增長率施加隨機干擾的情況。然而，在種群生態(tài)系統(tǒng)中，模型的各個參數(shù)，包括內(nèi)稟增長率和種內(nèi)競爭系數(shù)都會受到隨機噪聲的影響[10-12]?；谏鲜鲅芯縿討B(tài)，本文考慮下列帶有雙參數(shù)擾動的隨機互惠種群模型
(2)
1 全局正解的存在唯一性
P{τ∞≤T}>ε，
(3)
即存在n1≥n0，使得對所有的n≥n1，有P{τn≤T}≥ε.
(4)
其中
其中IΩn為Ωn的示性函數(shù).從而
這是一個矛盾。從而，τ∞=∞a.s. 進而τe=∞a.s. 定理1得證。
2 滅絕性
在研究生態(tài)系統(tǒng)的性質(zhì)中，滅絕性也是一個很重要的性質(zhì)。接下來，我們考慮模型(2)的滅絕性。記:
證明 定義Lyapunov函數(shù)V:R+→R+為V(x1)=lnx1.利用It公式可得
(5)
對(5)式兩邊從0到t積分得
(6)
利用Borel-Cantelli引理，存在Ω0?Ω滿足P(Ω0)=1 使得對任意ω∈Ω0，總存在整數(shù)T0=T0(ω)>0，當(dāng)T≥T0，0≤t≤T時，有
(7)
把(7)代入(6)可得 lnx1(t)≤lnx1(0)+b1t+σ11B1(t)+2lnT. 因此
3 隨機最終有界性
本節(jié)我們討論種群的隨機最終有界性。
(8)
對(8)兩邊同時從0到t積分并取期望得
4 數(shù)值仿真
Fig.1 Size of populationx1圖1 種群x1的數(shù)量變化
Fig.2 Size of populationx2圖2 種群x2的數(shù)量變化
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