考慮壩體柔性的重力壩壩面地震動水壓力計算

王 毅,胡志強,郭維東

(1.沈陽農(nóng)業(yè)大學(xué)水利學(xué)院,遼寧 沈陽 110866; 2.大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部,遼寧 大連 116024)

一直以來,大壩-庫水動力相互作用問題備受關(guān)注,尤其是在地震頻發(fā)地區(qū),水利樞紐的安全與之密切相關(guān)。針對大壩-庫水系統(tǒng)的動力相互作用研究,主要體現(xiàn)在如何準(zhǔn)確計算地震作用下壩面所受動水壓力。對于動水壓力的研究,源于Westergaard[1]提出的動水附加質(zhì)量理論,其忽略水的可壓縮性,推導(dǎo)出壩前水深恒定的二維剛性重力壩受水平方向地震動激勵情況下壩面動水壓力解析計算公式。而后,Chopra[2]在其基礎(chǔ)上推導(dǎo)了受不同方向地震動激勵,考慮庫水可壓縮性的二維重力壩動水壓力在頻域和時域中的解析解。隨著有限元方法(FEM)的不斷發(fā)展,Chopra等[3-7]對壩面動水壓力進行了深入的研究,采用FEM模擬了水的可壓縮性及庫底和岸坡的吸收作用對壩面動水壓力的影響,并把其應(yīng)用從二維重力壩推廣到三維拱壩。然而,限于大壩-庫水系統(tǒng)中庫水的半無限特性,采用FEM時往往需要離散足夠長庫水區(qū)域,導(dǎo)致計算機內(nèi)存占用量和計算量大;另一方面,在計算中無法實現(xiàn)對整個半無限域庫水的完整離散,客觀上需要一個合理的截斷邊界,并施加一定邊界條件來模擬半無限域。起初的研究局限于使用Sommerfeld輻射條件[8],Sharan[9]通過添加阻尼項,提出了一種更為有效的邊界條件,只需離散較短庫區(qū)水域,數(shù)值計算結(jié)果表明其能夠保證足夠精度,并可減少部分計算量。為了解決FEM中庫區(qū)離散量較大的問題,Hanna等[10]用邊界元方法(BEM)對大壩-庫水動力相互作用進行了研究,結(jié)果表明,在一定的庫區(qū)形狀下,BEM能夠有效地求解壩面動水壓力,且大大降低了計算量,但只能對于少數(shù)規(guī)則庫區(qū)形狀才能找到其基本解。

以上研究多基于剛性壩面假設(shè),即未考慮壩面柔性的影響。事實上,在強震作用下,高壩的柔性是進行大壩-庫水相互作用分析中不可忽略的因素。由于壩體柔性的存在,在一定程度上能夠削弱地震作用下庫水對壩體的動力作用,從而降低壩體內(nèi)部響應(yīng)。為了研究柔性包括壩體柔性和庫底柔性對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響,Bouaanani等[11]首先在頻域中推導(dǎo)了剛性壩面動水壓力,并考慮了庫底柔性的影響;而后Bouaanani等[12]采用模態(tài)分析方法研究了壩體柔性的影響,在頻域中求解了壩面動水壓力,同時考慮了水庫邊界的吸收效應(yīng),得到了相對完善的結(jié)果。但其采用有限元的基本思想,需要離散部分計算庫區(qū)和添加人工輻射邊界條件,在一定程度上增加了計算量,對計算效率的提高有限。隨著數(shù)值方法的發(fā)展,出現(xiàn)了一種新的數(shù)值方法——比例邊界有限元方法(SBFEM)[13]。它基于BEM的思想,僅對求解域的邊界進行離散,域內(nèi)采用比例分配的思想進行解析求解,且無需BEM中復(fù)雜的基本解,由于其解形式可自動滿足無窮遠(yuǎn)處輻射條件,對于求解半無限域波動問題優(yōu)勢明顯。在SBFEM框架下,對大壩-庫水相互作用的研究也有了初步進展。Lin等[14-17]基于SBFEM推導(dǎo)了壩面的頻域動水壓力,對混凝土壩動力響應(yīng)進行了詳細(xì)研究,結(jié)果表明該方法在處理半無限域庫水時不僅能夠大幅度降低計算量,且能保證足夠精度,同時對庫水的可壓縮性和庫底吸收可方便考慮。Wang等[18-20]采用SBFEM對無限域庫水邊界進行離散,壩體內(nèi)部仍然采用傳統(tǒng)的FEM進行求解,提出了一種半無限域的開放邊界條件,得到了二維重力壩動水壓力時域計算結(jié)果。

本文在此基礎(chǔ)上,綜合考慮壩體和庫底柔性的影響,提出一種基于SBFEM和FEM耦合理論的求解大壩-庫水系統(tǒng)中壩面動水壓力計算方法,并通過算例對該方法進行驗證,分析壩體柔性、庫水可壓縮性和庫底反射系數(shù)對壩面動水壓力的影響。

1 大壩-庫水系統(tǒng)基本方程

1.1 大壩基本運動方程

在地震動作用下,考慮到庫水對大壩的動力相互作用,大壩時域運動方程用標(biāo)準(zhǔn)FEM可描述為

(1)

由式(1)可知,若能確定在地震作用下壩面所受的動水壓力,即可得到大壩的整體動力響應(yīng)。對于剛性壩體,壩體內(nèi)部不產(chǎn)生相對加速度,迎水面各點的動水壓力僅與激勵地震動相關(guān);而考慮壩體柔性的影響,壩面所受動水壓力與大壩自身運動密切相關(guān),因此動水壓力與壩體響應(yīng)是耦合關(guān)系。對其進行解耦,是在考慮壩體柔性影響下對大壩-庫水相互作用進行求解的關(guān)鍵。

1.2 庫水基本運動方程

利用SBFEM對半無限域的庫水進行離散,把相似中心O設(shè)在水庫下游無窮遠(yuǎn)處,如圖1所示,此時水庫的上下表面趨于平行,據(jù)SBFEM基本理論,僅離散水庫與大壩的交界面即可實現(xiàn)對整個求解水域的高精度模擬,無需添加人工截斷邊界,從而極大地簡化對庫水的離散。

圖1 庫水-重力壩耦合示意圖

假設(shè)庫水為可壓縮小擾動線彈性液體,庫水在整個求解域中滿足如下方程:

(2)

對于整個庫區(qū),忽略庫水表面微幅重力波的作用,可認(rèn)為庫水表面在地震過程中不發(fā)生變化,庫水表面的邊界條件簡化為

p=0

(3)

壩水交界面上滿足應(yīng)力連續(xù)邊界條件

(4)

庫底和岸坡的邊界條件采用Fenves等[5]提出的吸收邊界條件:

(5)

無窮遠(yuǎn)處的邊界條件為

(6)

由于本文采用SBFEM,因此,式(6)是自動滿足的,在計算中不需要對此邊界進行特殊處理。

使用加權(quán)余量方法對庫水的控制方程和邊界條件進行離散,可得到在SBFEM框架下的頻域動水壓力方程,文獻[14]給出了其詳細(xì)的推導(dǎo)過程及其求解過程,動水壓力的頻域結(jié)果可表示為

(7)

1.3 大壩-庫水系統(tǒng)的耦合運動方程

在頻域中,把動水壓力控制方程代入大壩運動基本方程,可得到考慮壩體柔性影響的大壩-庫水系統(tǒng)的頻域運動方程

(8)

其中Mb(ω)=AMa(ω)

方程(8)清晰地表達(dá)了大壩-庫水相互作用的解耦頻域運動方程,通過對壩面動水壓力的SBFEM求解,得到動水壓力的附加質(zhì)量計算公式,實現(xiàn)對大壩-庫水系統(tǒng)動力相互作用的求解。運用方程(8)可得到柔性壩面下的壩體響應(yīng),回代方程(7)即可對壩面動水壓力進行求解,同時也實現(xiàn)了對壩體柔性的考慮。

1.4 程序?qū)崿F(xiàn)方法

本文采用自編FORTRAN計算程序,實現(xiàn)了考慮壩體柔性的重力壩壩面地震動水壓力的計算。計算步驟如下:

步驟1網(wǎng)格剖分。采用商業(yè)軟件ANSYS對整個壩體進行有限元網(wǎng)格剖分,網(wǎng)格剖分可根據(jù)需要進行相關(guān)細(xì)化。此時需注意,在數(shù)據(jù)輸入時標(biāo)記迎水面上的節(jié)點編號,為計算SBFEM框架下的特征矩陣Ma(ω)提供便利。

步驟2SBFEM特征矩陣計算。通過提取壩面節(jié)點單元信息,在SBFEM計算體系下,求解迎水面上特征矩陣Ma(ω)。

步驟3頻域運動方程求解。通過通用等參單元FEM代碼組裝方程(8)中的總體剛度與質(zhì)量矩陣,在FEM框架下實現(xiàn)對方程(8)的求解,得到壩體各個節(jié)點的頻域響應(yīng)值。

步驟4壩面動水壓力計算。通過方程(7)求解壩面動水壓力,實現(xiàn)對壩體柔性的考慮。

2 算例驗證

為了驗證所提方法的有效性,選取文獻[12]中的Pine Flat二維重力壩為計算模型,所有計算參數(shù)均采用文獻[12]中的資料。其中,壩高為121.92 m;截面形狀為三角形;上游面垂直,下游面坡度為1∶0.8;大壩混凝土彈性模量為35 GPa;質(zhì)量密度為2 400 kg/m3;泊松比為0.2;黏滯阻尼比為0.1;滿庫狀態(tài)下,壩前水深H=121.92 m;庫水質(zhì)量密度為1 000 kg/m3;水中壓力波波速為1 440 m/s。大壩網(wǎng)格剖分如圖2所示,壩體離散為192個四節(jié)點平面單元。地震動激勵為水平方向的頻域單位地震動。

圖2 Pine Flat 重力壩網(wǎng)格剖分

2.1 剛性壩面

圖3和圖4分別給出了剛性壩面動水壓力頻響函數(shù)曲線和動水壓力沿高程分布曲線,圖中g(shù)為重力加速度;pstat為靜水壓力;ω1為水庫的第一階自振頻率;無量綱頻率為實際頻率與ω1的比值。文獻[11]給出的是不考慮壩體柔性和考慮庫水可壓縮性情況下的封閉形式的理論解。本文采用SBFEM計算得到的動水壓力頻響函數(shù)曲線和動水壓力沿高程分布,均與文獻[11]的理論解高度一致,表明了SBFEM在求解動水壓力上的有效性,為后面的柔性壩面結(jié)果對比提供了可靠的保證。

圖3 剛性壩面動水壓力頻響函數(shù)曲線

圖4 剛性壩面動水壓力沿高程分布曲線

圖5 柔性壩面動水壓力頻響函數(shù)曲線

圖6 柔性壩面動水壓力沿高程分布曲線

2.2 柔性壩面

圖5和圖6分別給出了柔性壩面動水壓力頻響函數(shù)曲線和動水壓力沿高程分布。計算結(jié)果表明,本文采用SBFEM計算的結(jié)果與文獻[12]數(shù)值解吻合良好,僅在庫水的第一階和第二階自振頻率附近存在微小的差別,在其他頻率區(qū)間內(nèi),計算結(jié)果與文獻[12]數(shù)值解較為一致,尤其在工程人員最感興趣的低頻范圍內(nèi),計算結(jié)果精度非常好。

2.2.1壩體柔性的影響

從圖3和圖5剛性壩面與柔性壩面動水壓力頻響函數(shù)曲線的對比中,發(fā)現(xiàn)在地震作用下壩體柔性對壩面動水壓力的影響顯著。由于壩體柔性的存在,壩面所受動水壓力發(fā)生顯著變化,在水庫前兩階自振頻率內(nèi),壩面的動水壓力急劇增大;而在水庫高頻階段,壩面的動水壓力降低(水庫的自振頻率ωn=(2n-1)πc/(2H),其中n=1,2,…)。這是因為在水庫低階自振頻率附近,壩體內(nèi)部也產(chǎn)生了較大的與地震動激勵相同方向的相對加速度;在高頻階段,壩體本身產(chǎn)生了與地震動激勵相反方向的相對加速度運動,從而降低了壩體柔性對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響,表明壩體自身的彈性在一定程度上削弱了地震動所引起的作用在壩面上的動水壓力。

從壩面動水壓力沿高程分布(圖4和圖6)可以看出,壩體柔性對壩面動水壓力分布形式產(chǎn)生了一定的影響。其影響隨著庫底反射系數(shù)的減小而逐漸增大,尤其在高頻階段。由于壩體柔性的存在,壩面動水壓力不再符合剛性壩面動水壓力的拋物線分布形式,隨著激勵頻率的提高,壩面上的動水壓力峰值會從壩踵逐漸向壩體中上部移動。

2.2.2庫水可壓縮性的影響

頻響函數(shù)計算結(jié)果(圖3和圖5)表明,庫水可壓縮性對壩面動水壓力的影響明顯。不考慮庫水可壓縮性時,壩面所受到動水壓力與地震動激勵的頻率無關(guān),在圖3和圖5中可以表示為數(shù)值為初始值的水平直線,即不考慮庫水可壓縮性時,壩面動水壓力是一定值,且與考慮庫水可壓縮性時的初值相等。當(dāng)前計算結(jié)果表明在低頻階段,庫水的可壓縮性會減小對壩面動水壓力的估計,相反在高頻階段卻明顯加大了壩面動水壓力的估計,對于合理地考慮壩面所承受的動水壓力具有非常不利的影響。鑒于當(dāng)前的研究結(jié)果均不能單一確定庫水的可壓縮性對壩體的響應(yīng)究竟有何種定性的影響,但能夠確定的是庫水的壓縮性對大壩-庫水系統(tǒng)存在重要影響,因此在計算中需要分不同的計算頻率進行詳細(xì)考慮。

2.2.3庫底反射系數(shù)的影響

動水壓力頻響函數(shù)結(jié)果(圖3和圖5)和動水壓力沿高程分布(圖4和圖6)均表明,不論是剛性壩體還是柔性壩體,庫底反射系數(shù)對壩面動水壓力的影響規(guī)律均趨于一致,即隨著反射系數(shù)的降低,壩面所承受的動水壓力也逐漸降低。這表明水庫的柔性,即庫區(qū)的吸收作用,以及壩體柔性對大壩-庫水動力相互作用影響明顯,且有利于提高壩體的抗震性能,因此合理地確定庫底反射系數(shù)能夠更加合理有效地求解大壩-庫水系統(tǒng)動力相互作用問題。

綜上,從柔性重力壩的計算結(jié)果可以看出,SBFEM得到的結(jié)果與文獻[12]數(shù)值解非常吻合,表明本文所提方法對求解頻域大壩-庫水相互作用問題非常有效。從剛性壩面的結(jié)果來看,SBFEM得到的結(jié)果與文獻[11]理論解極為吻合,表明SBFEM對求解半無限域波動問題的優(yōu)越性。在本文算例中,無需離散半無限域庫水的整個區(qū)域,僅僅離散了庫區(qū)與大壩交界面上的17個節(jié)點,相比FEM離散整個水域和BEM離散整個邊界均可降低計算量以及計算機存儲的壓力,且并未損失計算精度。

3 結(jié) 論

a. 本文提出了一種求解重力壩壩面地震動水壓力的計算方法,其能方便考慮壩體柔性和庫底柔性的影響,且能保證計算效率和計算精度。

b. 壩體柔性對壩面動水壓力的影響依賴于地震動激勵頻率。低頻階段,壩體柔性能夠增大系統(tǒng)的響應(yīng),相反在高頻階段其能降低系統(tǒng)響應(yīng)。壩體柔性也影響壩面動水壓力分布的形式。剛性壩面情況下,壩面動水壓力呈現(xiàn)出規(guī)則的拋物線分布;柔性壩面情況下,動水壓力的分布形式趨于不規(guī)則化,尤其在高頻階段表現(xiàn)更為明顯。

c. 庫底反射系數(shù)對壩面動水壓力具有較為明顯的影響,隨著反射系數(shù)的減小,壩面所承受的動水壓力會隨之降低。