考慮成層地基的黏彈性人工邊界模型

尹 剛, 趙蘭浩, 李同春

(1.河海大學(xué)水利水電學(xué)院,江蘇 南京 210098; 2.河海大學(xué)農(nóng)業(yè)工程學(xué)院,江蘇 南京 210098)

天然地基為一半無(wú)限域,采用有限元等數(shù)值模擬方法進(jìn)行動(dòng)力計(jì)算時(shí),需從半無(wú)限域的地基中截取有限的區(qū)域進(jìn)行計(jì)算,并在截取區(qū)域的邊界上施加一定的人工邊界條件,使得地震波傳遞到邊界時(shí)不再發(fā)生反射,以模擬無(wú)限地基對(duì)于地震波的輻射阻尼效應(yīng)[1-2]。在眾多種類的人工邊界條件中, Andrew[3]提出的黏彈性人工邊界條件能同時(shí)模擬散射波的吸收和半無(wú)限地基的彈性恢復(fù)能力,且易于編程、穩(wěn)定性好,得到了廣泛的應(yīng)用。

地震動(dòng)輸入方法一直是研究土-結(jié)構(gòu)相互作用的關(guān)鍵問(wèn)題之一[4-6]。黏彈性人工邊界采用波場(chǎng)分離的技術(shù),將波動(dòng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為人工邊界處等效荷載的計(jì)算問(wèn)題[7]。等效荷載的計(jì)算需要求解人工邊界上的自由場(chǎng),傳統(tǒng)的求解方法為延遲法,認(rèn)為人工邊界點(diǎn)的自由場(chǎng)與入射波場(chǎng)存在行波效應(yīng),相位差可由人工邊界點(diǎn)到入射邊界的距離和波速求出[8]。而這種行波效應(yīng)的存在,也對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)產(chǎn)生了一定的影響。吳健等[9]分析了拱壩的隨機(jī)地震行波效應(yīng),李悅良[10]研究了行波效應(yīng)對(duì)地震反應(yīng)譜的影響,趙博等[11]分析了行波效應(yīng)對(duì)多跨大跨結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的影響,范重等[12]分析了超長(zhǎng)結(jié)構(gòu)地震行波效應(yīng)的影響因素。

當(dāng)?shù)卣鸩ù┻^(guò)不同的介質(zhì)時(shí),會(huì)發(fā)生反射與透射,當(dāng)兩層介質(zhì)的波阻抗不同時(shí),反射波與透射波的振幅與原入射波一般是不相等的,且會(huì)存在波型轉(zhuǎn)換等問(wèn)題[13]。傳統(tǒng)的延遲法只能考慮波速的影響,不能考慮振幅的改變和多次反射波及透射波的疊加,因此對(duì)于成層地基條件,需要進(jìn)一步推導(dǎo)適用于成層地基的地震波輸入模式。為此,本文推導(dǎo)了適用于成層地基的考慮波一次反射透射的等效荷載計(jì)算公式,以解決水平成層地基的波動(dòng)輸入問(wèn)題。

1 地震波入射時(shí)的反射和透射系數(shù)

地震波穿過(guò)兩個(gè)波阻抗不同的土層時(shí),會(huì)在兩種介質(zhì)的分界面上發(fā)生反射與透射,透射波會(huì)在繼續(xù)向上傳播,而反射波則會(huì)反射至下部土層往下傳播。不同類型的波產(chǎn)生的反射波和折射波的類型也不同,P波、SV波和SH波入射時(shí)可能發(fā)生的反射折射情況[14]見圖1(圖中下標(biāo)1、2分別表示第一層和第二層;下標(biāo)i、r、t分別代表入射波、反射波和透射波;下標(biāo)P代表P波,SV代表SV波,SH代表SH波;A為振幅;θ為波傳播方向與介質(zhì)分界面法向的夾角;cP和cS分別為縱波波速和橫波波速)。

圖1 3種波入射時(shí)波型轉(zhuǎn)換情況

設(shè)上下兩層介質(zhì)縱波和橫波波阻抗之比分別為

(1)

式中:αP和αS分別為縱波和橫波的波阻抗之比;ρ1和ρ2分別為下部土層和上部土層的密度。

以P波為例,由分界面處的位移應(yīng)力協(xié)調(diào)條件,可得波幅比的方程組為

(2)

由于工程中一般都假定地震波是垂直入射于地基底部的,故主要討論地震波垂直入射的情況,即θiSV=θrSV=θtSV=θrP=θtP=0,代入式(2)可得:

(3)

式(3)的結(jié)果表明,當(dāng)P波垂直入射時(shí),反射SV波和透射SV波的振幅為0,即沒(méi)有發(fā)生波型轉(zhuǎn)換,反射波和透射波依然為P波。同時(shí),當(dāng)界面為自由表面時(shí),令ρ2=0,可得:

(4)

即P波垂直入射至自由表面時(shí),透射波為零,即不存在透射波;反射波波幅大小與入射波相等,方向與圖中規(guī)定的正方向相反即與傳播方向相反,最終在頂面入射波和反射波的振動(dòng)方向相同,即自由表面的位移放大2倍。

同樣地,采用上面相同的方法可以得到SV波入射時(shí)的波幅比方程組,當(dāng)SV波垂直入射時(shí),可求得波幅比為

(5)

對(duì)比式(5)和式(3)可以看出,當(dāng)波垂直入射時(shí),P波和SV波的反射透射規(guī)律相似,不發(fā)生波型轉(zhuǎn)換,波幅比的大小與波阻抗相關(guān)。當(dāng)界面為自由表面時(shí),令ρ2=0帶入上式可得出與P波相同的結(jié)論,即自由表面的位移呈放大2倍的規(guī)律。

SH波的反射透射較為簡(jiǎn)單,因?yàn)镾H波僅有垂直于入射面的位移分量,即不會(huì)發(fā)生波型轉(zhuǎn)換;當(dāng)SH波垂直入射時(shí),波幅比計(jì)算公式與SV波相同(式(5));與P波和SV波不同的是,當(dāng)界面為自由表面時(shí),無(wú)論SH波以何種角度入射,自由表面位移均為放大2倍。

2 考慮波一次反射和透射的等效荷載計(jì)算

對(duì)于層狀地基模型,當(dāng)?shù)卣鸩◤牡撞咳肷浜?傳播到分界面處會(huì)發(fā)生反射和透射,反射波會(huì)向下傳播在人工邊界處被吸收。向上傳播的透射波在到達(dá)下一層的分界面后會(huì)再度產(chǎn)生向下傳播的反射波,當(dāng)新的反射波到達(dá)分界面時(shí)會(huì)再度發(fā)生反射和透射,透射波向下傳播至人工邊界被吸收,反射波重新向上傳播至自由面。因此,地基中將不斷發(fā)生反射和透射的過(guò)程。實(shí)際情況中,一般地震動(dòng)的持續(xù)時(shí)間較短,且需要考慮地基的阻尼,故主要考慮地震波在每一層的一次反射透射的過(guò)程[15]。

黏彈性人工邊界節(jié)點(diǎn)Q處在t時(shí)刻的等效荷載為

KQωQ(xQ,yQ,t)

(6)

圖2 層狀地基模型

對(duì)于側(cè)邊界,可以通過(guò)反射和透射系數(shù),根據(jù)延遲法求得相應(yīng)的自由波場(chǎng),進(jìn)而求得相應(yīng)的等效荷載。對(duì)于側(cè)邊界的M點(diǎn)而言,可以將波的入射過(guò)程分為以下3部分:

a. 入射波還未到達(dá)M點(diǎn)。此時(shí)M點(diǎn)的自由波場(chǎng)位移為零。

b. 入射波到達(dá)M點(diǎn),這一層頂部的反射波還未到達(dá)M點(diǎn)。這個(gè)階段M點(diǎn)的位移由入射波場(chǎng)經(jīng)過(guò)多層透射后產(chǎn)生,要考慮每一層的透射作用對(duì)幅值的影響。

c. 入射波到達(dá)M點(diǎn),這一層頂部的反射波也到達(dá)M點(diǎn)。這個(gè)階段M點(diǎn)的位移由入射波和反射波兩部分疊加而成,入射波需考慮多層透射的影響,反射波由入射波在頂部反射而來(lái),需要考慮反射作用對(duì)幅值的影響。

上述3部分可以總結(jié)為以下計(jì)算公式,為方便表述,令反射系數(shù)為β=Ar/Ai,透射系數(shù)為γ=At/Ai,則側(cè)邊界上一點(diǎn)M的自由波場(chǎng)位移計(jì)算公式為

(7)

對(duì)于底邊界,自由波場(chǎng)即為入射波場(chǎng),即

ωN(xN,yN,t)=ω0(t)

(8)

由式(7)和式(8)即可確定人工邊界的自由波場(chǎng),代入式(6)中即可求出人工邊界上的等效荷載大小,完成地震波的輸入。

3 算例分析

3.1 考慮成層地基的波動(dòng)輸入方法驗(yàn)證

對(duì)成層地基的波動(dòng)輸入方法編制了相應(yīng)的計(jì)算程序,通過(guò)兩個(gè)算例進(jìn)行驗(yàn)證。選取如圖3所示的兩層地基模型,坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)為B2點(diǎn),截取有限的部分進(jìn)行計(jì)算,下層地基編號(hào)為①,上層地基編號(hào)為②?？紤]3個(gè)計(jì)算方案：方案1為成層地基模型,考慮地震波在分界面處的反射透射過(guò)程;方案2為成層地基模型,不考慮地震波在分界面處的反射透射,只考慮不同層地基的波速影響;方案3為均質(zhì)地基模型,上下兩層的波阻抗相同,不存在反射透射過(guò)程。3個(gè)計(jì)算方案中,兩層地基密度均為2 000 kg/m3,泊松比為0.25,彈模的取值考慮不同的計(jì)算方案,前2種方案上層地基彈模為2 GPa,下層地基為10 GPa,第3種方案上下層地基皆為2 GPa。

圖3 兩層地基計(jì)算模型(單位：m)

第一個(gè)算例假定從地基底部垂直入射一單周期SV波,位移時(shí)程如式(9)所示,位移最大值為1.3 m,周期為0.5 s,時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)為0.000 1 s,總計(jì)算持時(shí)為5個(gè)周期即2.5 s。坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)為頂部中心點(diǎn),圖3中4個(gè)特征點(diǎn)B1(-200,0)、B2(0,0)、B3(-200,-200)和B4(0,-200)為觀測(cè)點(diǎn),計(jì)算得到方案1中各點(diǎn)的位移時(shí)程曲線如圖4所示,各計(jì)算方案下B1點(diǎn)和B3點(diǎn)的位移時(shí)程曲線如圖5所示。

(9)

圖4 方案1各觀測(cè)點(diǎn)的x向計(jì)算位移與理論值的對(duì)比

圖5 各方案B1點(diǎn)和B3點(diǎn)的x向計(jì)算位移時(shí)程曲線

分析圖4,由透射系數(shù)公式可知上層地基的透射系數(shù)為1.38,地震波經(jīng)過(guò)透射到達(dá)頂部放大兩倍后最大位移的理論值為3.58 m,頂部B1、B2兩點(diǎn)第一個(gè)周期內(nèi)的x向位移最大值為3.51 m,與理論值接近;底部B3、B4兩點(diǎn)的最大值為1.283 m,與輸入波接近,滿足精度要求。傳播規(guī)律上,在第1個(gè)周期內(nèi),同一高程上的B1、B2兩點(diǎn)和B3、B4兩點(diǎn)位移響應(yīng)幾乎重合,頂部B1、B2兩點(diǎn)的位移響應(yīng)具有延遲效應(yīng),第1個(gè)周期內(nèi)最大值達(dá)到的時(shí)刻為0.396 s,底部B3、B4兩點(diǎn)的最大值達(dá)到的時(shí)刻為0.168 6 s,兩者時(shí)間差為SV波傳播的時(shí)間,符合波的傳播規(guī)律。

對(duì)于上層地基,透射波在頂部反射到達(dá)分界面后再次發(fā)生反射與透射過(guò)程,反射波向上傳播,透射波向下傳播至下層地基,由于側(cè)邊界的波動(dòng)輸入僅考慮了一次反射透射過(guò)程,分界面處產(chǎn)生的二次反射波在側(cè)邊界逐漸被吸收,位于側(cè)邊界的B1點(diǎn)的位移響應(yīng)出現(xiàn)了小于B2點(diǎn)的情況。對(duì)于下層地基,在第1個(gè)周期的后半期,隨著分界面處反射波向下傳播,B3、B4兩點(diǎn)的位移由入射波和反射波疊加而成,此時(shí)入射波產(chǎn)生的位移與反射波方向相反,因此B3、B4兩點(diǎn)的負(fù)向位移大小減小;0.457 s后,分界面處發(fā)生二次反射透射的透射波傳播至底邊界,此時(shí)入射波、第1次的反射波和第2次的透射波產(chǎn)生疊加效應(yīng),出現(xiàn)了第2個(gè)波峰。同樣地,由于側(cè)邊界的波動(dòng)輸入僅考慮了一次反射透射的過(guò)程,多次反射透射產(chǎn)生的散射波在側(cè)邊界被吸收,因此B3點(diǎn)的位移響應(yīng)要小于B4點(diǎn)。對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)而言,由于人工邊界單元的存在,多次透射與反射產(chǎn)生的散射波最終被邊界單元所吸收,體現(xiàn)了無(wú)限地基的輻射阻尼效應(yīng)。

比較各點(diǎn)計(jì)算時(shí)程曲線與理論值,對(duì)于頂部各點(diǎn)而言,時(shí)程曲線規(guī)律與理論值基本吻合,滿足工程中抗震分析的要求。其中,B2點(diǎn)相對(duì)于B1點(diǎn)而言誤差更小,這是因?yàn)锽1點(diǎn)位于側(cè)邊界,人工邊界上的位移與地震動(dòng)輸入方法直接相關(guān),只考慮一次反射透射過(guò)程產(chǎn)生的誤差在人工邊界上產(chǎn)生的影響要大于遠(yuǎn)離人工邊界的地方。對(duì)于底部各點(diǎn)而言,在單周期內(nèi),數(shù)值計(jì)算的結(jié)果與理論解基本吻合。時(shí)程曲線產(chǎn)生較大誤差的地方為頂部的反射波穿過(guò)分界面發(fā)生再次透射時(shí)。綜合考慮頂部和底部位移響應(yīng),本文主要考慮波一次反射透射產(chǎn)生的誤差都沒(méi)有發(fā)生在最大響應(yīng)時(shí)刻,且時(shí)程曲線的發(fā)展規(guī)律與理論值基本一致。由于工程中主要關(guān)心上部結(jié)構(gòu)的最大地震動(dòng)響應(yīng)和動(dòng)響應(yīng)的時(shí)程規(guī)律,頂部響應(yīng)的精度滿足工程設(shè)計(jì)的要求。

分析圖5,各計(jì)算方案下B1、B3兩點(diǎn)的位移時(shí)程曲線差異均較大。方案1與方案2由于都考慮了波速的影響,因此兩者得到的時(shí)程曲線頻率和相位相同,但振幅不同。對(duì)于B1點(diǎn),方案1的最大位移響應(yīng)要大于方案2;對(duì)于B3點(diǎn),由于方案1考慮了波在分界面處的反射,因此方案1中到達(dá)底部的反射波為分界面處的反射波,方案2中為頂部的反射波,兩個(gè)方案得到的響應(yīng)在方案1中的反射波到底部后出現(xiàn)了較大的差異。方案3的傳播規(guī)律與均質(zhì)地基的傳播規(guī)律相同,也側(cè)面驗(yàn)證了黏彈性人工邊界單元的適用性,但地震波到達(dá)頂部的時(shí)間比方案1和方案2都偏遲,無(wú)法真實(shí)地模擬地震波的傳播過(guò)程。振幅方面,對(duì)于頂部而言,方案1考慮了波的反射與透射,地震波向上傳播到達(dá)頂部時(shí)經(jīng)歷了分界面和頂部自由面兩次放大過(guò)程,而方案2和方案3都只考慮了頂部自由面的放大過(guò)程,最大位移響應(yīng)都偏小。

綜上,相比于方案1,方案2雖考慮了波速的影響即相位的影響,但振幅與理論解相差較大,不能真實(shí)地反映地震波的放大效應(yīng);方案3則表明成層地基若按均質(zhì)地基處理,不僅振幅與理論解相差較大,地震波的延遲效應(yīng)也不能更全面地得到考慮。因此,方案1能比方案2和方案3更好地用于成層地基的波動(dòng)問(wèn)題分析,滿足工程抗震分析的精度需求。

第2個(gè)算例同樣基于圖3的計(jì)算模型,考慮從底部輸入EL波N-S向時(shí)程,輸入的位移時(shí)程曲線和速度時(shí)程曲線如圖6所示,計(jì)算總時(shí)長(zhǎng)為53.72 s,時(shí)間步長(zhǎng)為0.04 s。參考第1個(gè)算例的結(jié)果,第2個(gè)算例只采用第1個(gè)方案進(jìn)行計(jì)算,得到B2點(diǎn)的位移時(shí)程曲線如圖7所示。

圖6 輸入的EL波位移與速度時(shí)程曲線

圖7 頂部觀測(cè)點(diǎn)的x向位移計(jì)算與理論值時(shí)程曲線

分析圖7,頂部的x向位移響應(yīng)與理論值變化規(guī)律相同,波峰波谷出現(xiàn)的時(shí)刻基本一致。位移幅值上,B2點(diǎn)位移的正向最大值為0.221 m,對(duì)應(yīng)的理論正向最大值為0.223 m,誤差在1%以內(nèi);負(fù)向最大值為-0.216 m,理論值為-0.215 m,誤差在1%以內(nèi)。綜合算例1和算例2,本文提出的考慮一次反射透射的成層地基波動(dòng)輸入方法滿足工程設(shè)計(jì)的需要。

3.2 成層地基重力壩的地震動(dòng)響應(yīng)分析

某重力壩壩高100 m,壩頂寬度15 m,壩底寬度70 m,下游壩坡坡度1∶0.7。地基范圍沿上下游方向各取3倍的壩高,深度方向考慮3層地基的影響,每層地基各為100 m，即總深度為3倍的壩高,坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在壩底中點(diǎn),選取壩頂中點(diǎn)D1(-22.75,100)、壩踵D2(-35,0)和壩趾D3(35,0)三點(diǎn)為觀測(cè)點(diǎn),模型如圖8所示。假定從底部垂直輸入SV波,輸入的人工波依據(jù)規(guī)范給出的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜合成,設(shè)計(jì)地震動(dòng)峰值加速度為0.1g,地震動(dòng)持時(shí)為15 s,時(shí)間步長(zhǎng)取為0.01 s,人工波時(shí)程曲線如圖9所示。

圖8 重力壩計(jì)算模型(單位：m)

圖9 輸入的地震波加速度、速度、位移時(shí)程

圖10 各計(jì)算方案D1點(diǎn)x向加速度時(shí)程曲線

圖11 各計(jì)算方案D2點(diǎn)第1主應(yīng)力時(shí)程曲線

壩體混凝土動(dòng)彈模為30 GPa,密度為2 400 kg/m3,泊松比為0.167;地基從下往上編號(hào),3層地基的密度皆為2 700 kg/m3,泊松比皆為0.25,地基彈模從下層至上層依次為40 GPa、30 GPa和20 GPa。計(jì)算考慮3種地基模型(分別對(duì)應(yīng)3個(gè)方案),第1種考慮地基為3層成層場(chǎng)地模型,波動(dòng)輸入考慮地震波的反射與折射,每層地基的材料參數(shù)按實(shí)際情況取值;第2種為成層場(chǎng)地模型,不考慮地震波在分界面處的反射與折射,只考慮波速的影響;第3種按傳統(tǒng)的情況來(lái)處理,將地基簡(jiǎn)化為均質(zhì)模型,材料參數(shù)統(tǒng)一取為與最上層相同,地基彈模為20 GPa。計(jì)算得到各種計(jì)算方案下D1點(diǎn)的加速度時(shí)程曲線、D2點(diǎn)的第1主應(yīng)力時(shí)程曲線和D3點(diǎn)的第3主應(yīng)力時(shí)程曲線如圖10～12所示。

圖12 各計(jì)算方案D3點(diǎn)第3主應(yīng)力時(shí)程曲線

由圖10～12可知,不同計(jì)算方案下壩體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)有一定的差異。最大加速度和最大主應(yīng)力都出現(xiàn)在方案1中,方案1得到的時(shí)程曲線振動(dòng)范圍比方案2和方案3都要大,這是因?yàn)榉桨?考慮了地震波在不同介質(zhì)分界面處的反射與透射,輸入的地震波振幅在傳播過(guò)程中被放大,因此結(jié)構(gòu)的響應(yīng)也較大,這與前一節(jié)的算例結(jié)果相吻合。整體而言,考慮了成層地基模型的方案1和方案2得到的響應(yīng)比較接近,且都大于按均質(zhì)地基考慮的方案3,但方案2的結(jié)果在峰值響應(yīng)上仍比方案1小3%左右,考慮到結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和工程的重要性,對(duì)于高壩的抗震設(shè)計(jì)仍應(yīng)采用方案1比較合理。在相位差方面,由于地基的波速較大,各方案得到的時(shí)程曲線相位差并不明顯。

對(duì)比3種計(jì)算方案可知,按成層地基模型來(lái)進(jìn)行動(dòng)力分析,能更好地反映結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)放大效應(yīng)。而實(shí)際中,地基的分布情況更為復(fù)雜,地震波在各層之間的反射透射次數(shù)也更多,經(jīng)過(guò)多次放大后,結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)也更為復(fù)雜,同時(shí)每個(gè)計(jì)算方案中,最大主應(yīng)力都出現(xiàn)在壩踵處,所以對(duì)于重力壩而言,壩踵處的應(yīng)力情況應(yīng)在抗震設(shè)計(jì)中應(yīng)著重關(guān)注。

4 結(jié) 論

a. 針對(duì)成層地基模型,以地震波垂直入射為例,基于波動(dòng)理論推導(dǎo)了考慮地震波一次反射透射的等效荷載計(jì)算公式,建立的考慮成層地基的黏彈性人工邊界模型,經(jīng)以兩層地基的SV波垂直入射算例驗(yàn)證,本文的波動(dòng)輸入方法合理可行。

b. 將考慮成層地基的黏彈性人工邊界模型應(yīng)用到重力壩的動(dòng)力計(jì)算中,計(jì)算結(jié)果表明,均質(zhì)地基模型的處理方法低估了成層地基的地震動(dòng)放大效應(yīng),無(wú)法得到結(jié)構(gòu)的真實(shí)地震動(dòng)響應(yīng)。在層狀地基各層的材料參數(shù)相差較大時(shí),應(yīng)采用更為精確的成層地基模型考慮土-結(jié)構(gòu)的相互作用,更有利于水工建筑物的抗震設(shè)計(jì)。