指向?qū)W生發(fā)展核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)

孫曉華 朱峰

摘要：概念的建立，不是概念術(shù)語(yǔ)的機(jī)械識(shí)記過(guò)程，也不是單純的直觀形象的簡(jiǎn)單累積過(guò)程，而是基于概念本質(zhì)內(nèi)涵的意義建構(gòu)過(guò)程。以小學(xué)數(shù)學(xué)中“面積”概念教學(xué)為例，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境、激發(fā)需求、舉一反三，從面有多大，到面積是多少，讓學(xué)生經(jīng)歷從模糊到逐漸明晰的過(guò)程，內(nèi)化面積概念本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：概念教學(xué);面積;本質(zhì)內(nèi)涵;數(shù)學(xué)思考;核心素養(yǎng)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.63 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2019）02B-0095-04

史寧中教授指出：“基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，要求教師要抓住知識(shí)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在掌握所學(xué)知識(shí)技能的同時(shí)，感悟知識(shí)的本質(zhì)，積累思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)?！盵1]基于此，在發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的素質(zhì)教育當(dāng)下，進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，概念的建立，既不是概念術(shù)語(yǔ)的機(jī)械識(shí)記過(guò)程，也不是單純的直觀形象的簡(jiǎn)單累積過(guò)程，而應(yīng)該是基于概念本質(zhì)內(nèi)涵的意義建構(gòu)過(guò)程[2]。下面以小學(xué)數(shù)學(xué)中的“面積”概念為例，探討如何開(kāi)展指向?qū)W生發(fā)展核心素養(yǎng)的概念教學(xué)。

一、面積的本質(zhì)內(nèi)涵

關(guān)于“面積”這一概念的本質(zhì)究竟是什么？《辭?！罚ǖ诹妫├锏慕忉屖牵骸皫缀螌W(xué)的基本度量單位之一。是用以度量平面或曲面上一塊區(qū)域大小的正數(shù)。通常以邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)的正方形的面積為度量單位?！边@一解釋也并不是一個(gè)嚴(yán)格的定義，現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的測(cè)度理論中給出了面積的一個(gè)嚴(yán)格定義[3]：

【面積】設(shè)Σ是一些封閉平面圖形組成的集合。m是定義在Σ上取值于非負(fù)數(shù)的一個(gè)映射：m（A），A∈Σ，且滿(mǎn)足以下條件：

1.（有限可加性）若A，B ∈ Σ，A與B不相交，那么m（A∪B）=m（A）+m（B）。

2.（運(yùn)動(dòng)不變性）如果圖形A ∈ Σ，經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、反射的運(yùn)動(dòng)成為圖形A' ∈ Σ，那么m（A）=m（A'）。

3.（正則性）邊長(zhǎng)為1的正方形I ∈ Σ，且m（I）=1。

我們稱(chēng)映射m為圖形的面積。

無(wú)論是《辭?！罚€是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的測(cè)度理論，都闡釋出面積的本質(zhì)是一個(gè)數(shù)，即用一個(gè)數(shù)來(lái)表達(dá)“一個(gè)區(qū)域的大小”。張奠宙教授指出，在教學(xué)參考資料以及小學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)教材中，面積可定義為：數(shù)m是一個(gè)平面圖形A的面積，就是指能用m個(gè)單位正方形不重疊地恰好填滿(mǎn)A[4]。他的理解依然突出了“面積是一個(gè)數(shù)”的本質(zhì)表達(dá)。

而大多數(shù)教科書(shū)中都是說(shuō)：“物體表面或封閉圖形的大小就是它們的面積?！辈](méi)有對(duì)面積下嚴(yán)格規(guī)范的定義，常常采用的是描述性的定義。在小學(xué)數(shù)學(xué)面積的教學(xué)中，我們不妨分解出若干個(gè)子概念：區(qū)域、大小和數(shù)，逐層遞進(jìn)，由模糊至清晰，揭示面積的本質(zhì)內(nèi)涵。其中，區(qū)域的大小屬于表象，即所謂的面和面的大小;而當(dāng)面的大小上升到用數(shù)來(lái)表示時(shí)，那就完成了概念的高度抽象和簡(jiǎn)潔化的數(shù)學(xué)表達(dá)。

二、面積本質(zhì)解讀的教學(xué)實(shí)踐

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生尋找方法比較面積大小

數(shù)學(xué)概念都是抽象思維的產(chǎn)物，這一特性決定了學(xué)生的概念學(xué)習(xí)一般都要以相應(yīng)的感性經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)[5]。要使學(xué)生對(duì)面積的認(rèn)知直達(dá)深入，首先得充分利用實(shí)際情境，引導(dǎo)學(xué)生尋找比較面積大小的方法，建立“區(qū)域大小”的表象，把“面有多大”貫穿始終。

1.創(chuàng)設(shè)圈地情境，實(shí)現(xiàn)由線(xiàn)到面的初步轉(zhuǎn)換

面積和長(zhǎng)度一樣，都是度量概念，而在此之前，學(xué)生腦海中的長(zhǎng)度概念已經(jīng)根深蒂固，所以從線(xiàn)到面是一個(gè)概念向另一個(gè)概念的根本轉(zhuǎn)變。為此，創(chuàng)設(shè)辨析情境必不可少。

【情境】熊大和熊二在開(kāi)心農(nóng)場(chǎng)的草莓園采草莓。按采摘規(guī)則：每人用一根同樣長(zhǎng)的繩子，圈出一塊長(zhǎng)方形的地，被圈中的草莓才能采摘。兄弟倆迫不及待地拿起繩子去圈草莓了。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：明明是一樣長(zhǎng)的繩子圈的地，草莓的長(zhǎng)勢(shì)也差不多，為什么熊二采到的草莓比熊大多很多呢？

以上情境旨在引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考：這兩塊地有什么相同的地方？又有什么不同之處呢？——周長(zhǎng)相同，但形狀不同，大小也不同。學(xué)生對(duì)“大小”的捕捉，啟發(fā)教師進(jìn)一步追問(wèn)：你能來(lái)指指它們的大小嗎？學(xué)生自覺(jué)地用“摸”這一動(dòng)作，意味著他們的視角已經(jīng)從線(xiàn)轉(zhuǎn)到了面，摸的是這兩塊地的面，繼而進(jìn)一步用規(guī)范的方法摸一摸樹(shù)葉的面、課桌的面，冰箱上的面，屏幕的面、蘋(píng)果的面、魔方的面……不同的面的感覺(jué)自然而然在指尖流淌——數(shù)學(xué)課本的封面比我的手掌大;有的面大，有的面小;有的面是平的，有的面是彎曲的;有的面是規(guī)則的，有的面是不規(guī)則的……這些豐富的事例中均蘊(yùn)含著對(duì)“面是有大有小”的感知。

2.尋找比較方法，實(shí)現(xiàn)“面有多大”的初步感悟

當(dāng)學(xué)生借助摸一摸，對(duì)“面”有了“區(qū)域”的感覺(jué)，那么這塊區(qū)域的大和小的感悟用什么方式來(lái)表達(dá)呢？也就是怎樣來(lái)說(shuō)明面有多大呢？憑借學(xué)生已有的認(rèn)知狀態(tài)，可以分兩個(gè)層次：

（1）肢體語(yǔ)言的比劃。黑板的面有這么大;課本封面有這么大。直觀動(dòng)作傳達(dá)了對(duì)面的大小的直覺(jué)感知，由此帶動(dòng)學(xué)生邊比劃邊進(jìn)一步提煉：黑板面的大小是黑板面的面積;課本封面的大小是課本封面的面積。

（2）直觀方式的比較。利用觀察法、重疊法等等，或者直接的視覺(jué)感知、或者動(dòng)手操作后的觸覺(jué)帶動(dòng)視覺(jué)的感知，讓學(xué)生對(duì)面積的感悟不僅僅是停留在字面的表達(dá)上，而是觸及了概念表象的根本。

圖1中的圖形①和圖形②，“雖然我們不知道它們的面積到底有多大，但通過(guò)觀察，一眼就能比出它們的大小”。圖2中的圖形③和圖形④“重疊后，大面積把小面積包含在了里面”?！按笮　薄鞍边@些詞匯，傳達(dá)出學(xué)生在不同方法的比較中，由具體實(shí)物到平面圖形，對(duì)面積的“大”和“小”形成了未經(jīng)理性分析的直覺(jué)形象。

（二）激發(fā)需求，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用單位面積比較面積大小

有效的概念教學(xué)就是抓住其本質(zhì)屬性，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵的深刻理解，并經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)約化的提煉進(jìn)行符號(hào)化的數(shù)學(xué)表達(dá)。面積的本質(zhì)是用一個(gè)數(shù)來(lái)表達(dá)“面的大小”，當(dāng)對(duì)“面的大小”的感悟由原來(lái)的直觀感知上升到理性描述，那么面積的本質(zhì)在數(shù)學(xué)化的表達(dá)中就形成了概括性的抽象概念。這時(shí)候的教學(xué)過(guò)程，就需要一個(gè)恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)，讓學(xué)生產(chǎn)生用精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)化方式描述“面有多大”的需求。

第一，通過(guò)上述比較，學(xué)生積累了一定的比較面積大小的直觀經(jīng)驗(yàn)。在此基礎(chǔ)上，呈現(xiàn)圖3中的圖形⑤、圖形⑥，繼續(xù)比一比誰(shuí)的面積大誰(shuí)的面積小。顯然學(xué)生會(huì)費(fèi)一番周折。直接觀察？不行！重疊？也不行！在一次次嘗試中，會(huì)有學(xué)生想到剪拼。如果湊巧，像下面圖4剪拼圖一般，剪拼三四次，可以比出大小了;而若不湊巧，也許剪拼七八次都比不出。這時(shí)，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的感覺(jué)——太麻煩了！顯然這是尋找新的比較方法的第一層需求。

第二，學(xué)生急需要一根突破固有模式的拐杖。生活中人們的做法——用拃來(lái)測(cè)量和比較兩根繩子的長(zhǎng)短、用碗來(lái)測(cè)量和比較兩袋大米的輕重啟發(fā)了學(xué)生：既然用一個(gè)確定的小長(zhǎng)度量出大長(zhǎng)度是多少可以比出長(zhǎng)短，用一個(gè)確定的小質(zhì)量去量出大質(zhì)量是多少?gòu)亩杀瘸鲚p重，那么現(xiàn)在能不能也通過(guò)確定一個(gè)小面積有多大繼而量出大面積里包含了多少個(gè)小面積呢？學(xué)生由此產(chǎn)生了新的需求，去尋找一個(gè)小面積。

第三，學(xué)生用圓形、三角形、正方形等紙片如圖5般去嘗試，發(fā)現(xiàn)小正方形正好不重疊地填滿(mǎn)長(zhǎng)方形。最終他們達(dá)成共識(shí)：用小正方形來(lái)測(cè)量大長(zhǎng)方形的面積，左邊的長(zhǎng)方形有16個(gè)小正方形那么大，右邊的長(zhǎng)方形有15個(gè)小正方形那么大。突破層層認(rèn)知沖突，學(xué)生撥云見(jiàn)日——用小面積量出大面積是多少，從而比出了面積的大小。面積大小的直觀感知被抽象到“多少”個(gè)小正方形的精準(zhǔn)化描述，即一個(gè)區(qū)域的大小有多少個(gè)面積單位。

第四，在對(duì)面積的概念完成初步抽象的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步用確定大小的小正方形去測(cè)量不同圖形的面積：如果設(shè)定單位大小的小正方形面積為“1”，那么不同圖形的面積可以用誰(shuí)來(lái)表示呢？這時(shí)候，學(xué)生把圖形放入每格面積為“1”的方格圖中，借助平移、旋轉(zhuǎn)等運(yùn)動(dòng)，數(shù)一數(shù)得到了一個(gè)個(gè)確定的數(shù)，這時(shí)，面積的運(yùn)動(dòng)不變性和有限可加性被體現(xiàn)出來(lái)，面積是一個(gè)數(shù)的內(nèi)涵得到豐厚，同時(shí)面積的本質(zhì)得以高度抽象和概括，即完成了用“數(shù)”來(lái)描述“形”。

（三）舉一反三，引導(dǎo)學(xué)生靈活解決比較面積大小問(wèn)題，結(jié)面積本質(zhì)之果

數(shù)學(xué)概念形成的發(fā)展過(guò)程是一個(gè)數(shù)學(xué)化的精加工過(guò)程，即對(duì)豐富的材料進(jìn)行細(xì)致的觀察，借助分析、綜合、比較、抽象等思維活動(dòng)，抽象出共同的、本質(zhì)的數(shù)學(xué)屬性[6]。此外，還需要在合乎邏輯法則的條件下操作運(yùn)用抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法（包括數(shù)學(xué)符號(hào)及語(yǔ)言的運(yùn)用）去處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，并進(jìn)一步去發(fā)展數(shù)學(xué)理論知識(shí)[7]，從而形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，拓展外延的同時(shí)進(jìn)一步深化概念內(nèi)涵，發(fā)展核心素養(yǎng)。所以，當(dāng)面積的大小用最簡(jiǎn)約的數(shù)來(lái)概括時(shí)，我們還應(yīng)該把視角指向更遠(yuǎn)的深處，舉一反三，引導(dǎo)學(xué)生靈活解決比較面積大小的問(wèn)題，結(jié)概念本質(zhì)之果。

問(wèn)題1：是不是所有圖形的面積都能用一個(gè)數(shù)來(lái)表示呢？

圍繞這個(gè)問(wèn)題展開(kāi)如下研究性學(xué)習(xí)：

師（出示圖6①）：如果這樣的小正方形的面積表示1，那么大長(zhǎng)方形的面積是多少？

生：有不滿(mǎn)一格的，不能確定。

師：對(duì)啊，有不滿(mǎn)一格的怎么辦？

生1：看看能不能湊成一格。

生2：可以選擇小一點(diǎn)的正方形去測(cè)。

師（出示圖6②）：如果這個(gè)小一點(diǎn)的正方形的面積表示1，那么現(xiàn)在你能數(shù)出長(zhǎng)方形的面積是多大了嗎？

生：20。

師（出示圖6③）：如果用這樣的小正方形還是不能鋪滿(mǎn)怎么辦？

生：選擇更小的小正方形來(lái)測(cè)量。

師（出示圖6④）：如果這么小的正方形的面積表示1，那么現(xiàn)在這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少？

生：72。

（依次往下到圖6⑤、圖6⑥……）

師：按這樣的規(guī)律繼續(xù)往下分，請(qǐng)同學(xué)們想一想：可以得到多少個(gè)小正方形？

小正方形會(huì)越來(lái)越接近什么？如果它是一個(gè)數(shù)，會(huì)越來(lái)越接近幾？

生：小正方形越來(lái)越接近一個(gè)點(diǎn)，如果它是一個(gè)數(shù)，會(huì)越來(lái)越接近0。

在以上過(guò)程中，學(xué)生的思維向深處漫溯。首先，面積的本質(zhì)特性得以充分凸顯（尤其是正則性）。其次，學(xué)生借助一組圖形發(fā)現(xiàn)，單位正方形可動(dòng)態(tài)變化，任何一個(gè)單位正方形，通過(guò)細(xì)分可得到無(wú)限個(gè)更小的正方形，為后續(xù)學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形的面積公式m=ab，當(dāng)a，b不是整數(shù)時(shí)，要用邊長(zhǎng)是0.1，0.01……的單位正方形去填的思維啟迪埋下伏筆。再次，滲透極限思想。

問(wèn)題2：生活中不規(guī)則的土地，可以怎樣來(lái)比較它們的面積呢？

為了深化面積的本質(zhì)內(nèi)涵，并進(jìn)一步加深對(duì)面積特性的理解，可以創(chuàng)設(shè)如下情境：

吉吉和毛毛來(lái)到了開(kāi)心農(nóng)場(chǎng)，它們找到了三片桃園（如右圖）。采桃子的規(guī)則是：第一個(gè)人可以任選一片桃園，第二個(gè)拿剩下的兩片桃園。吉吉說(shuō)：“我是國(guó)王，我先選，我選那片最大的桃園?！泵f(shuō)：“那好吧。”于是，剩下的兩片桃園就歸毛毛了。

師：你們覺(jué)得吉吉挑這片桃園占便宜了嗎？你有什么方法驗(yàn)證？

生1：可以把這三片桃園疊在一起比一比。

（學(xué)生利用白板軟件把兩片小桃園拼接在一起，再和最大的那片桃園重疊在一起比）

生2：也可以用小正方形去填。

師：如果用小正方形填了還是比不出怎么辦？

生：那就用更小的小正方形去填。

師：同學(xué)們的這種想法能不能解決問(wèn)題呢？大家可以課后去思考。

從“面積有多大”到“面積是多少”，從運(yùn)動(dòng)不變性、有限可加性再到正則性，舉一反三，理解與運(yùn)用、聯(lián)結(jié)與比較，從不同的視角思考并解決問(wèn)題，面積的本質(zhì)內(nèi)涵和特性在學(xué)生思維的不斷碰撞中得以?xún)?nèi)化，進(jìn)而也將發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)落到實(shí)處。

參考文獻(xiàn)：

[1]史寧中.推進(jìn)基于學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)改革[J].中小學(xué)管理， 2016（2）：19-21.

[2]朱德江.“學(xué)”與“導(dǎo)”應(yīng)著力于學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點(diǎn)——“認(rèn)識(shí)面積”教學(xué)實(shí)踐與思考[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師， 2016（3）：20-24.

[3][4]張奠宙.深入淺出，平易近人——怎樣測(cè)量長(zhǎng)度、面積和體積[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版）， 2014（9）：4-6.

[5]錢(qián)坤南.經(jīng)歷體驗(yàn)過(guò)程? 促進(jìn)概念理解——以蘇教版《認(rèn)識(shí)面積》為例[J].江蘇教育研究， 2014（12B）：52-54.

[6]孫曉華，朱峰.深入簡(jiǎn)出，實(shí)現(xiàn)概念精加工[J].江蘇教育研究， 2013（11B）：41-43.

[7]王名揚(yáng)，徐瀝泉，徐利治.論一種緣自認(rèn)知心理學(xué)及教育學(xué)研究的數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)， 2013（1）：33-36.

責(zé)任編輯：朱忠明