重疊網(wǎng)絡(luò)上疾病與意識(shí)傳播模型:非同步的影響

張譯丹, 彭小龍

(1.山西大學(xué) 復(fù)雜系統(tǒng)研究所，山西 太原 030006；2.山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006)

許多復(fù)雜的系統(tǒng)都可以抽象為一個(gè)網(wǎng)絡(luò).一個(gè)典型的網(wǎng)絡(luò)由節(jié)點(diǎn)和連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的邊構(gòu)成,其中節(jié)點(diǎn)代表這個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)中的個(gè)體,而邊代表個(gè)體之間的相互作用[1];例如,電影演員合作網(wǎng)中,節(jié)點(diǎn)代表的是演員,而邊代表的是演員之間的合作關(guān)系[2].

作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)分支,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳染病動(dòng)力學(xué)吸引了越來越多的關(guān)注[3-4].當(dāng)疾病傳播時(shí),人們會(huì)通過各種途徑獲取與疾病相關(guān)的信息,進(jìn)而采取一定的自我防護(hù)措施.研究者將人們對(duì)于疾病所做出的行為反應(yīng)納入傳染病動(dòng)力學(xué)模型中,得到了許多豐富的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象[5-6].隨著研究的不斷深入,單層網(wǎng)絡(luò)上的傳染病動(dòng)力學(xué)也逐漸向多層網(wǎng)絡(luò)發(fā)展[7-10].近年來,基于雙層耦合網(wǎng)絡(luò)的傳染病動(dòng)力學(xué)研究也有了許多進(jìn)展.2013年,Granell等人[8]應(yīng)用離散時(shí)間馬爾可夫鏈的方法研究雙層耦合網(wǎng)絡(luò)上傳染病傳播和信息傳播之間的相互作用,發(fā)現(xiàn)傳染病傳播的閾值行為關(guān)于信息傳播概率存在一個(gè)臨界點(diǎn).2014年,Granell等人[9]又在原來模型[8]的基礎(chǔ)上考慮了大眾媒體對(duì)意識(shí)傳播的作用,發(fā)現(xiàn)大眾媒體對(duì)疾病信息的傳播會(huì)導(dǎo)致上述閾值行為的臨界點(diǎn)消失.2017年,Huang等人[10]建立了信息更新早于疾病傳播的連續(xù)時(shí)間模型,并證明了全局穩(wěn)定性.

上述研究均假設(shè)在重疊網(wǎng)絡(luò)上疾病與信息傳播模型中信息更新早于疾病傳播.但在現(xiàn)實(shí)生活中,對(duì)于有些個(gè)體而言,個(gè)體染病之后才意識(shí)到某種疾病的傳播,即疾病的傳播早于信息的更新.為了研究這種非同步次序所帶來的影響,我們考慮重疊網(wǎng)絡(luò)上疾病與信息傳播過程中,疾病傳播早于信息更新的另一種非同步傳播模型.通過利用離散時(shí)間馬爾可夫鏈的方法,得到了離散時(shí)間動(dòng)力學(xué)方程,計(jì)算了疾病暴發(fā)的閾值.進(jìn)一步應(yīng)用Huang等人[10]的方法,得到了連續(xù)時(shí)間的動(dòng)力學(xué)方程,發(fā)現(xiàn)這種非同步次序?qū)﹄x散時(shí)間模型的疾病暴發(fā)閾值以及連續(xù)時(shí)間模型的穩(wěn)定性結(jié)論均無影響.然而隨機(jī)模擬結(jié)果表明,這種非同步次序在傳染率較大時(shí)對(duì)各狀態(tài)節(jié)點(diǎn),特別是對(duì)易感者節(jié)點(diǎn)的數(shù)量影響較大.隨著感染率的增大,相比于疾病傳播早于信息更新的非同步次序，在信息更新早于疾病傳播的非同步次序下無意識(shí)的易感節(jié)點(diǎn)的比例更低，而有意識(shí)的易感節(jié)點(diǎn)比例更高,這說明“先意識(shí)后疾病”的非同步更新次序有助于抑制疾病的傳播.

1 模型的建立

首先建立一個(gè)雙層重疊網(wǎng)絡(luò)(圖1:虛線連接的是相同的個(gè)體,而實(shí)線的連接表示兩者之間可以傳播疾病或信息),網(wǎng)絡(luò)的頂層是信息層,即有關(guān)于疾病信息傳播的網(wǎng)絡(luò);而網(wǎng)絡(luò)的底層是疾病層,即疾病傳播的網(wǎng)絡(luò).在每一層中節(jié)點(diǎn)之間都有不同的連接,但所對(duì)應(yīng)的是同一個(gè)個(gè)體.在疾病層,個(gè)體通過與染病個(gè)體接觸而傳播疾病;在信息層,個(gè)體可以通過信息傳播而獲取關(guān)于疾病的信息.在信息層中建立UAU模型,U表示無意識(shí),A表示有意識(shí).在信息傳播過程中,個(gè)體可以通過與有意識(shí)的個(gè)體交流以概率λ而獲得意識(shí),或者該個(gè)體染病之后立即獲得意識(shí);另一方面,有意識(shí)的個(gè)體以概率δ遺忘信息,再次成為無意識(shí)的個(gè)體.類似的,在疾病層中建立SIS模型,其中S表示易感者,I表示染病者.一個(gè)無(有)意識(shí)的易感個(gè)體被每個(gè)染病鄰居傳染的概率為βU(βA),且βA=γβU.當(dāng)γ=0時(shí),βA=0,這表明個(gè)體獲得意識(shí)后,不會(huì)再次被感染;當(dāng)γ=1時(shí),βA=βU,這表明意識(shí)對(duì)疾病無影響.此外,染病個(gè)體以概率μ恢復(fù)再次成為易感者.

圖1 雙層重疊網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖 Fig.1 The illustrative diagram of multiplex network structure

圖2 非同步次序下US、AS和AI三種狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率樹

(1)

2 傳播閾值

系統(tǒng)(1)的穩(wěn)態(tài)解滿足關(guān)系式

將其代入系統(tǒng)(1)可得

根據(jù)已知條件

在兩種不同步更新次序下得到的轉(zhuǎn)移概率Prob(AS→US)相同.類似地,其他轉(zhuǎn)移概率亦相同,因此,最終所得閾值一樣.

3 連續(xù)時(shí)間模型

應(yīng)用Huang等人[10]的方法,可將系統(tǒng)(1)中離散的模型改寫為:

(2)

為得到疾病傳播早于信息更新的連續(xù)時(shí)間動(dòng)力學(xué)方程,首先將時(shí)間間隔從[t,t+1)縮減到[t,t+h),然后令h趨于0.在h個(gè)單位時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi),狀態(tài)轉(zhuǎn)移率由λ、δ、βU、βA和μ變?yōu)棣薶、δh、βUh、βAh和μh,則系統(tǒng)(2)就變成

(3)

在疾病傳播早于信息更新的次序下,有

(4)

當(dāng)h充分小時(shí),系統(tǒng)(3)中部分項(xiàng)的值可表示如下:

(5)

類似地,有:

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

進(jìn)一步,將(5)-(10)代入系統(tǒng)(3)中,并令h→0,則得到如下連續(xù)時(shí)間動(dòng)力學(xué)方程:

發(fā)現(xiàn)所求得的連續(xù)時(shí)間模型與Huang等人[10]所研究的連續(xù)時(shí)間模型一致,因此采用該文中的方法,易得同樣的穩(wěn)定性結(jié)論.這說明非同步次序?qū)B續(xù)時(shí)間模型的穩(wěn)定性無影響.在求連續(xù)時(shí)間模型的過程中,(5)-(10)的計(jì)算結(jié)果與Huang等人[10]所得結(jié)果一致,原因是在計(jì)算過程中忽略掉高階項(xiàng)o(h2)導(dǎo)致的結(jié)果.

4 隨機(jī)模擬

通過隨機(jī)模擬來考察重疊網(wǎng)絡(luò)上疾病與意識(shí)傳播過程中非同步次序所帶來的影響.構(gòu)建重疊網(wǎng)絡(luò),其中網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)為N=104,染病個(gè)體的恢復(fù)率μ=0.2,個(gè)體獲得意識(shí)的概率λ=0.3,個(gè)體失去意識(shí)的概率δ=0.4,且γ=0.2.

圖3 非同步次序下AI,AS,US的密度

圖3(a)、(b)分別表示個(gè)體在重疊網(wǎng)絡(luò)上疾病與意識(shí)傳播過程中非同步次序下AI、AS和US隨βU與染病種子(當(dāng)βU=0.3時(shí))的密度曲線.在圖3(a)中初始染病種子數(shù)為10.其中,虛線表示重疊網(wǎng)絡(luò)上疾病與信息傳播模型中,疾病的傳播早于信息的更新;實(shí)線表示重疊網(wǎng)絡(luò)上疾病與信息傳播模型中信息更新早于疾病的傳播.在圖3(a)中可以發(fā)現(xiàn)這種非同步次序在傳染率較大時(shí)對(duì)各狀態(tài)節(jié)點(diǎn),特別是對(duì)易感者(包括有意識(shí)和無意識(shí)的易感者)的密度影響較大.當(dāng)βU>0.2時(shí),兩種非同步次序下易感節(jié)點(diǎn)密度的變化較大,且相比“先信息后疾病”的非同步次序,在“先疾病后信息”的非同步次序下無意識(shí)的易感節(jié)點(diǎn)的數(shù)量較多,而有意識(shí)的易感節(jié)點(diǎn)的數(shù)量較少,這就導(dǎo)致最終染病密度略高.該結(jié)果表明信息更新早于疾病傳播的非同步次序更有利于控制疾病的傳播.在圖3(b)中可以發(fā)現(xiàn)非同步次序下,染病種子對(duì)各狀態(tài)節(jié)點(diǎn)的密度無明顯影響.

5 結(jié) 論

傳染病只能在真實(shí)接觸網(wǎng)絡(luò)中通過接觸傳播,然而線上交流可以傳遞有關(guān)傳染病的信息,使個(gè)體意識(shí)到風(fēng)險(xiǎn)并自我保護(hù)式地改變接觸行為進(jìn)而影響傳染病的傳播.建立重疊網(wǎng)絡(luò)上疾病與意識(shí)傳播過程中,疾病傳播早于信息更新的SIS-UAU模型.應(yīng)用馬爾可夫鏈的方法,求得了離散時(shí)間模型的疾病暴發(fā)閾值,發(fā)現(xiàn)非同步次序?qū)υ撻撝禌]有影響.在此基礎(chǔ)之上,求得連續(xù)時(shí)間模型的動(dòng)力學(xué)方程,發(fā)現(xiàn)得到的動(dòng)力學(xué)方程與信息更新早于疾病傳播次序下所得動(dòng)力學(xué)方程是一致的,即非同步次序?qū)B續(xù)時(shí)間模型的穩(wěn)定性無影響.之所以無影響,是在計(jì)算閾值以及將時(shí)間連續(xù)化的過程中,忽略掉高階項(xiàng)所導(dǎo)致的結(jié)果.隨機(jī)模擬結(jié)果表明,非同步更新次序在傳染率較大時(shí)對(duì)各狀態(tài)節(jié)點(diǎn),特別是對(duì)易感者(包括有意識(shí)和無意識(shí)的易感者)數(shù)量影響較大,這會(huì)對(duì)傳染過程有一定的影響,但染病種子的比例對(duì)各狀態(tài)節(jié)點(diǎn)的密度影響不大.