反Heyting代數(shù)中MT理想及其性質(zhì)

馮丹丹， 吳洪博

(陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院，陜西 西安 710062)

Heyting代數(shù)是作為直覺主義命題邏輯的代數(shù)模型引進的，使得邏輯排中律一般不再成立.事實上，Heyting代數(shù)是通過蘊涵運算對應的伴隨關系而提出的一個數(shù)學結構.王國俊利用反蘊涵運算對應的伴隨關系提出了一個數(shù)學結構，稱為反Heyting代數(shù)，并指出反Heyting代數(shù)和Heyting代數(shù)不是自對偶的[1].目前，對Heyting代數(shù)的研究比較深入[2-9]，其中吳洪博等利用對偶范疇的思想方法和MP濾子的特征，在BR0代數(shù)和正則FI代數(shù)中提出了MT理想的概念[8-9].本文首先將MT理想的概念引入到反Heyting代數(shù)中，討論了MT理想的等價條件和他的基本性質(zhì)；然后給出了反Heyting代數(shù)的MT理想的幾種生成方法；最后，在反Heyting代數(shù)中提出了素MT理想、極大MT理想以及次極大MT理想的概念，并且討論了這些特殊理想的性質(zhì)以及相互關系.

1 預備知識

定義1.1[1]設D是格，若對于D的任意元a與b，存在D的元a←b滿足：?c∈D有c≥a←b當且僅當c∨a≥b，則稱D為反Heyting代數(shù).

事實上，設D是反Heyting代數(shù)，因為D是格，故D非空，因此，?a∈D,又因為?c∈D,有c∨a≥a，所以c≥a←a，因此a←a為D中最小元，將a←a記作0.

命題1.1[1]設D是反Heyting代數(shù)，?a,b,c∈D有：

1a←a=0;

2a∨a←b=a∨b;

3b∨a←b=b;

4a←b∨c=a←b∨a←c.

命題1.2[10]設D是反Heyting代數(shù)，?a,b,c∈D有：

1a←b←c=a∨b←c;

2a←b←c=b←a←c;

3a←0=0;

4a≥b當且僅當a←b=0;

5a←b←b←c←a←c=0;

6a∧b←c=a←c∨b←c;

7a←b←c≥a←b←a←c.

命題1.3[1]若D是反Heyting代數(shù)，則D為分配格.

命題1.4[1]若D是只含有限個元的分配格，則D是反Heyting代數(shù).

命題1.5[1]若D是反Heyting代數(shù)，則?a,b∈D，a←b=minx∈D:x∨a≥b.

Zorn引理[11]設P是非空偏序集，若P的每個全序子集在P中有上界，則P必有極大元.

2 反Heyting代數(shù)中MT理想的概念

定義2.1設D是反Heyting代數(shù)，?I?D,

1若I滿足以下條件:

i0∈I;

ii?a,b∈D，若a,a←b∈I,則b∈I,

則稱I為D的MT理想.

2設I是D的MT理想，若?a∈D,且a?I,則稱I為D的真MT理想.

本文用ID表示反Heyting代數(shù)D中全體MT理想構成的集族，即

I(D)={I?D:I是D的MT理想}

命題2.1設D是反Heyting代數(shù)，I是D的非空子集，則I是D的MT理想當且僅當I滿足：?a,b∈D，1I是下集；2當a,b∈I時，有a∨b∈I.

證明：(充分性)i因為I是非空，所以?a∈D，因為0是D的最小元，因此0≤a，結合I是下集可知：0∈I;

ii當a,a←b∈I時，由2知a∨a←b∈I，又由命題1.12知a∨a←b=a∨b,因此b≤a∨a←b，由I是下集可知b∈I;

綜上，I是D的MT理想.

(必要性)i若a∈I，?b≤a，由命題1.24知a←b=0，故a←b∈I.又I是D的MT理想，結合定義2.1知b∈I,因此I是下集；

ii?a,b∈I，由命題1.14知a←a∨b=a←a∨a←b=a←b.由命題1.13知b∨a←b=b，所以a←b≤b，因此a←a∨b≤b，由于I是下集，所以a←a∨b∈I,再由I是D的MT理想知a∨b∈I.

命題2.2 設D是反Heyting代數(shù)，?a∈D,令↓a=b∈D:b≤a，則↓a是D的MT理想.

證明:1因為0≤a，所以0∈↓a;

2?x,x←y∈↓a，即x≤a，x←y≤a，又因為x∨x←y=x∨y，故

y≤x∨y=x∨x←y≤a∨a=a

即y≤a，所以y∈↓a.

綜上,↓a是D的MT理想.

證明:?Ij:j∈J?ID，

3 反Heyting代數(shù)中MT理想的生成方法

定義3.1設D是反Heyting代數(shù)，S是D的非空子集，如果D中包含S的最小的MT理想存在，則稱這個最小的MT理想是由S生成的MT理想，記作S.

命題3.1設D是反Heyting代數(shù)，S是D的任意非空子集，則由S生成的MT理想必定存在，并且S=∩I:I∈I(D),S?I.

證明:1D?D且D是D的MT理想，所以I:I∈I(D),S?I≠φ;

2i由命題2.4知∩I:I∈I(D),S?I是D的MT理想；

iiS?∩I:I∈I(D),S?I;

iii?J∈I(D)，S?J，有∩I:I∈I(D),S?I?J;

故∩I:I∈I(D),S?I是D中包含S的最小的MT理想，即

S=∩I:I∈I(D),S?I

命題3.2設D是反Heyting代數(shù)，S是D的非空子集，則S={x∈D:?s1,s2,…,sn∈S,使得s1∨s2∨…∨sn≥x}.

證明:1令B=x∈D:?s1,s2,…,sn∈S,使得s1∨s2∨…∨sn≥x，

i因為S非空，故?s∈S，又0≤s，故0∈B;

ii?x,y∈D，若x，x←y∈B，由B的定義知，存在a1,a2,…,an,b1,b2,…,bm∈S，使得

a1∨a2∨…∨an≥x，b1∨b2∨…∨bm≥x←y

所以a1∨a2∨…∨an∨b1∨b2∨…∨bm≥x∨x←y=x∨y≥y，因此根據(jù)B的定義知y∈B.

綜上，B是D的MT理想.

2?s∈S，有s≥s，故s∈B，因此S?B,因此B是D中包含S的MT理想.

3設I1是D的任意MT理想且S?I1，?c∈B，由B的定義知?c1,c2,…,cn∈S，使得c1∨c2∨…∨cn≥c,又S?I1,所以c1,c2,…,cn∈I1,又I1是D的MT理想，由命題2.1知c1∨c2∨…∨cn∈I1且I1是下集，故c∈I1，因此B?I1.

綜上，B是包含S的最小MT理想，即S=B.

命題3.3設D是反Heyting代數(shù)，S是D的非空子集，則S={x∈D:?s1,s2,…,sn∈S,使得s1←(s2←…(sn←x)…)=0}.

證明:利用命題1.21、4可直接證明.

4 反Heyting代數(shù)中的素MT理想

定義4.1設D是反Heyting代數(shù)，?I?D，

1設I是D的MT理想，如果I滿足：?a,b∈D，a←b∈I或b←a∈I，則稱I為D的素MT理想；

2設I是D的MT理想，如果對于D的任意MT理想J，當I?J時，有I=J或J=D，則稱I為D的極大MT理想；

3設I是D的MT理想，a∈D，如果I在不包含a的MT理想中極大，即a?I，且若M∈I(D)，I?M，則I=M或a∈M，則稱I為關于a的次極大MT理想.

命題4.1設D是反Heyting代數(shù)，若I是D的素MT理想，則?a,b∈D，當a∧b∈I時，有a∈I或b∈I.

證明:?a,b∈D，當a∧b∈I時，由I是D的素MT理想知a←b∈I或b←a∈I，再由命題1.26知：

(a∧b)←a=(a←a)∨(b←a)=b←a，(a∧b)←b=(a←b)∨(b←b)=a←b

因此(a∧b)←a∈I或(a∧b)←b∈I，又因為I是D的MT理想，所以有a∈I或b∈I.

命題4.2設D是反Heyting代數(shù)，并且滿足條件?a,b∈D，有a←b∧b←a=0.則D的MT理想I是素MT理想當且僅當?a,b∈D，當a∧b∈I時，有a∈I或b∈I.

證明:(必要性)命題4.1已證.

(充分性)?a,b∈D，由于a←b∧b←a=0，又I是D的MT理想，所以a←b∧b←a∈I，故a←b∈I或b←a∈I，因此I是D的素MT理想.

命題4.3設D是反Heyting代數(shù)，若I是D的極大MT理想，則I是D的素MT理想.

證明:下面用反證法予以證明.

假設存在D的極大MT理想I不是D的素MT理想，由定義4.1(1)知：?a,b∈D，有a←b?I且b←a?I，令GI,a=x∈D:?c∈I,使得c←a←x=0.

1下證GI,a是D的MT理想.

i因為I是D的極大MT理想，故0∈I，且0←a←0=0←0=0，所以0∈GI,a；

ii?x,x←y∈GI,a,?c1,c2∈I，使得：

c1←a←x=0,c2←a←x←y=0

由命題1.2(1)知

c1∨a←x=c1←a←x=0

c2∨a∨x←y=c2∨a←x←y=c2←a←x←y=0

再由命題1.24知c1∨a≥x，c2∨a∨x≥y，所以

y≤c2∨a∨x≤c2∨a∨c1∨a=a∨c1∨c2

即a∨c1∨c2≥y，因此c1∨c2≥a←y，故c1∨c2←a←y=0，因為I是D的MT理想，由命題2.1知c1∨c2∈I，再根據(jù)GI,a的定義知，y∈GI,a，故GI,a是D的MT理想.

2下證b←a∈GI,a.

因a∨b←a=a,所以b←a≤a，由命題1.24知a←b←a=0，又0∈I，且0←(a←(b←a))=0←0=0，再由GI,a的定義知b←a∈GI,a;

3下證I?GI,a.

?m∈I，有a∨m≥m，所以m≥a←m，故m←(a←m)=0，由GI,a的定義知m∈GI,a，因此I?GI,a;

4下證a←b?GI,a.

假設a←b∈GI,a，則?c3∈I，使得c3←(a←(a←b))=0，又因為

a←(a←b)=(a∨a)←b=a←b

因此c3←(a←b)=0，由命題1.2(4)知c3≥a←b，又因為I是D的MT理想，由命題2.1知I是下集，故a←b∈I，這與原假設a←b?I矛盾，所以a←b?GI,a.

結合1、2、3知GI,a是真包含I的MT理想，并且由4知GI,a≠D，這與I是極大MT理想矛盾，因此原假設不成立.

綜上?c,d∈D，有c←d∈I或d←c∈I，即I是D的素MT理想.

命題4.4設D是反Heyting代數(shù)，則?a∈D-{0}，存在關于a的次極大MT理想.

證明:表示D中全體不含a的MT理想構成的集族.因為0是D的MT理想，故0∈，所以≠?，按集合的包含關系構成偏序集.設{Ij:j∈J}是中的非空全序子集.

命題4.5設D是反Heyting代數(shù)，且滿足條件：?a1,b1∈D，有(a1←b1)∧(b1←a1)=0，則?a∈D-{0}，存在不包含a的素MT理想.

證明:?a∈D-{0}，由命題4.4知D中存在關于a的次極大MT理想I，下面用反證法證I是D的素MT理想.

假設I不是D的素MT理想，由定義4.11知：?b,c∈D，使得b←c?I且c←b?I.令：

I1={m∈D:?n∈I,使得n←((b←c)←m)=0}

I2={m∈D:?n∈I,使得n←((c←b)←m)=0}

1下證I1，I2是D的MT理想.

i因為I是D的MT理想，故0∈I，又因為0←((b←c)←0)=0←0=0，所以0∈I1;

ii?x,x←y∈I1，由I1的定義知?y1,y2∈I，使得：

y1←((b←c)←x)=0,y2←((b←c)←(x←y))=0

由命題1.21知

(y1∨(b←c))←x=y1←((b←c)←x)=0

(y2∨(b←c))←(x←y)=y2←((b←c)←(x←y))=0

由命題1.24知y1∨(b←c)≥x，y2∨(b←c)≥x←y，所以有

y≤x∨y=x∨(x←y)≤(y1∨(b←c))∨(y2∨(b←c))=y1∨y2∨(b←c)

所以(y1∨y2)←((b←c)←y)=(y1∨y2∨(b←c))←y=0，又因為y1,y2∈I，且I是D的MT理想，故由命題2.1知y1∨y2∈I，所以由I1的定義知y∈I1.

綜上知I1是D的MT理想，同樣的方法可以證明I2是D的MT理想.

2下證c←b?I1且b←c?I2.

若c←b∈I1，則?y1∈I，使得y1←((b←c)←(c←b))=0，又因為

(b←c)←(c←b)=(c∨(b←c))←b=c←b

所以y1←((b←c)←(c←b))=y1←(c←b)=0，因此y1≥c←b，又I是D的MT理想且y1∈I，由命題2.1知I是下集，所以c←b∈I，與原假設c←b?I矛盾，因此c←b?I1，同理b←c?I2，所以I1≠D且I2≠D.

3下證c←b∈I2，b←c∈I1.

因為?y∈I，y←((b←c)←(b←c))=y←0=0，由I1的定義知b←c∈I1，又由于?y∈I，y←((c←b)←(c←b))=y←0=0，由I2的定義知c←b∈I2，所以b←c∈I1且b←c?I,c←b∈I2且c←b?I.

4下證I?I1且I?I2.

?y∈I，因為y∨((b←c)←y)=y，故(b←c)←y≤y，因此y←((b←c)←y)=0，由I1的定義知y∈I1，即I?I1，同理I?I2.

5下證a?I1或a?I2.

若a∈I1且a∈I2，則存在y1,y2∈I，使得

y1←((b←c)←a)=0，y2←((c←b)←a)=0

由命題1.2(1)知

(y1∨(b←c))←a=y1←((b←c)←a)=0

(y2∨(c←b))←a=y2←((c←b)←a)=0

由命題1.24知y1∨(b←c)≥a，y2∨(c←b)≥a，再由命題1.3知D是分配格，所以有

a≤(y1∨(b←c))∧(y2∨(c←b))≤((y1∨y2)∨(b←c))∧((y1∨y2)∨(c←b))=

(y1∨y2)∨((b←c)∧(c←b))=(y1∨y2)∨0=y1∨y2

又y1,y2∈I且I是D的MT理想，由命題2.1知y1∨y2∈I且I是下集，所以a∈I，這與a?I矛盾，所以a?I1或a?I2.

結合1、2、3、4和5知I1和I2是真包含I的MT理想，且a?I1或a?I2，這與I是關于a的次極大MT理想矛盾，所以原假設錯誤，因此I是D的素MT理想.

命題4.6設D是反Heyting代數(shù)，并且滿足條件：?a,b∈D，有a←b∧b←a=0，?I∈ID，則下列條件等價：

1I是D的素MT理想；

2若I=A∩B，其中A,B∈ID,則I=A或I=B;

3?I1,I2∈ID，若I1∩I2?I,則I1?I或I2?I.

證明:1?2 若I=A∩B，其中A,B∈ID,假設I≠A且I≠B，又由于I?A且I?B，故?a∈A且a?I,?b∈B且b?I.下證a←b?I且b←a?I.

若a←b∈I，則a,a←b∈A，又A是D的MT理想，由MT理想的定義知b∈A，又b∈B,故b∈A∩B=I,這與b?I矛盾，所以a←b?I;

若b←a∈I，則b,b←a∈B，又B是D的MT理想，由MT理想的定義知a∈B，又a∈A,故a∈A∩B=I,這與a?I矛盾，所以b←a?I;

綜上，a←b?I且b←a?I，這與I是D的素MT理想矛盾，所以原假設錯誤，因此I=A或I=B.

2?3?I1,I2∈ID，若I1∩I2?I,令I3=I1∩I2,則I3?I，又由2知I3=I1或I3=I2，所以I1?I或I2?I.

3?1?a,b∈D,?x∈↓a←b∩↓b←a，則x∈↓a←b且x∈↓b←a，即x≤a←b且x≤b←a，所以x≤a←b∧b←a=0，因此x=0，所以↓a←b∩↓b←a=0，由I∈ID知0∈I，因此↓a←b∩↓b←a?I,又由3知↓a←b?I或↓b←a?I，所以a←b∈I或b←a∈I，故I是D的素MT理想.