注重數(shù)學(xué)運算，提升核心素養(yǎng)

☉山西省大同市第二中學(xué) 王 虹

結(jié)合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運算，從掌握基本運算概念、強化運算技巧意識、優(yōu)選運算方法等角度出發(fā)，下面結(jié)合實例來加以闡述.

一、問題的提出

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》一文中，對應(yīng)“課程基本理念”部分第一次創(chuàng)新性地提出：“高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).”高中階段，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，歸納總結(jié)出了六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析.

在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)就是數(shù)學(xué)運算，其包括的主要內(nèi)容有：“理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果等”.

我們知道，數(shù)學(xué)運算作為一條主要鏈條貫穿于整個數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，是各個階段的學(xué)生必須具備的一項基本技能與基本素養(yǎng)，也是數(shù)學(xué)知識體系的一個主要鏈接點與粘合劑.數(shù)學(xué)運算是按照數(shù)學(xué)的相關(guān)概念或定義、公式、法則、公理和相關(guān)程序等進行的簡單操作過程與邏輯推理過程，更是不同知識點間復(fù)雜煩瑣的化歸轉(zhuǎn)化與思維體現(xiàn)，借助數(shù)學(xué)運算可以有效地訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維，培養(yǎng)學(xué)生的意志品質(zhì)，提升學(xué)生各方面的能力與素養(yǎng).

二、問題的解決

數(shù)學(xué)運算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段和基本過程之一.借助數(shù)學(xué)運算，不僅能夠有效地發(fā)展與提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，有效解決一些相關(guān)的實際應(yīng)用問題，還能夠促進數(shù)學(xué)知識、能力、思維、素養(yǎng)等各方面的發(fā)展，進而養(yǎng)成良好的程序化、系統(tǒng)化、數(shù)學(xué)化思考、分析、處理與解決問題的習(xí)慣，養(yǎng)成正確的科學(xué)精神.

1.掌握基本運算概念，作好基礎(chǔ)鋪墊

例1（2018年浙江卷18）已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點

分析：（Ⅰ）由已知條件結(jié)合三角函數(shù)的定義求得sinα的值，然后利用誘導(dǎo)公式求解sin（α+π）的值即可；（Ⅱ）由已知條件結(jié)合三角函數(shù)的定義求得cosα的值，結(jié)合sin（α+β）的值并根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式確定cos（α+β）的值，再通過分類討論利用兩角差的余弦公式代值計算即得答案.

（Ⅰ）求sin（α+π）的值；，所以

點評：借助三角函數(shù)的定義，并結(jié)合誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角恒等變換公式等，綜合來處理與解決有關(guān)的三角函數(shù)求值問題.涉及三角函數(shù)的數(shù)學(xué)運算往往融合“繁、長、巧”于一體，正常的數(shù)學(xué)運算往往會淹沒在“繁”或“長”中，而根據(jù)題目條件充分把握好三角函數(shù)解題環(huán)節(jié)中所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)運算，通過合理分析與巧妙轉(zhuǎn)化，進行有效化歸與調(diào)控，深入理解與掌握數(shù)學(xué)運算的原理，從而有效地提高數(shù)學(xué)運算的目的性、針對性及靈活性.

2.強化運算技巧意識，分解運算難度

例2（2018年江蘇卷11）若函數(shù)f（x）=2x3-ax2+1（a∈R）在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個零點，則f（x）在［-1，1］上的最大值與最小值的和為______.

分析：通過求導(dǎo)，結(jié)合參數(shù)a的不同情況分a≤0，a＞0進行討論，確定在不同情況下函數(shù)的單調(diào)性及對應(yīng)的最值，進而確定函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值的和的問題.

解：由f（x）=2x3-ax2+1，可得f′（x）=6x2-2ax.

若a≤0，則f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而f（0）=1＞0，故f（x）在（0，+∞）內(nèi)沒有零點.

若a＞0，由f（′x）=0，解得x=0或，則當(dāng)時，f′（x）＜0，f（x） 在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈時，f（′x）＞0，（fx）在區(qū)間上單調(diào)遞增.

又函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個零點，則知，解得a=3，此時（fx）=2x3-3x2+1.

f′（x）、f（x）在區(qū)間［-1，1］上的變化情況如下表：

x -1 （-1，0） 0 （0，1） 1 f′（x）+0—0 f（x）-4↗極大值1↘極小值0

從上表可知，在［-1，1］上，f（x）max=f（0）=1，f（x）min=f（-1）=-4，所以f（x）在［-1，1］上的最大值與最小值的和為f（x）max+f（x）min=1-4=-3.

點評：在利用導(dǎo)數(shù)解決問題時，通過轉(zhuǎn)化，f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個零點等價于f（x）min=0，進而得以確定參數(shù)a的值，并利用列表來確定給定區(qū)間上函數(shù)的最值，得以解決問題.強化導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中的數(shù)學(xué)運算技巧，經(jīng)?？梢杂行Х纸鈫栴}步驟與運算難度，轉(zhuǎn)化解題難點，進而真正提升解題效率.

三、感悟與反思

我們知道，數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng)與提升是一個道路漫長、循序漸進、螺旋上升的過程.學(xué)生通過對數(shù)學(xué)問題的恰當(dāng)解決，結(jié)合不同的數(shù)學(xué)運算與運算技巧的運用、比較、感悟，從而進一步鞏固相關(guān)概念的理解與掌握，數(shù)學(xué)知識的掌握與應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)運算規(guī)律的掌握與提升，最終達到真正優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)與邏輯思維能力的培養(yǎng)與提升是相通的、一脈相承的、休戚相關(guān)的.