對(duì)2018年全國(guó)卷Ⅲ理科21題（Ⅱ）的質(zhì)疑*

☉四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 劉成龍

☉四川省瀘州市瀘州高級(jí)中學(xué) 呂榮春

百度百科對(duì)質(zhì)疑的解釋是提出疑問(wèn).提出疑問(wèn)是創(chuàng)新的重要表現(xiàn)，敢于質(zhì)疑是科學(xué)研究的良好品格.有質(zhì)疑、有爭(zhēng)鳴才能喚醒固化的思維，才能在碰撞中閃現(xiàn)智慧的火花.2018年全國(guó)卷Ⅲ理科第21題（下文簡(jiǎn)稱21題）無(wú)論是參考答案，還是試題命題上都存在值得質(zhì)疑的地方，本文將從四個(gè)角度對(duì)21題提出質(zhì)疑.

一、試題再現(xiàn)

已知函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（x+1）-2x.

（Ⅰ）若a=0，證明：當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0.

（Ⅱ）若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求a.

二、四點(diǎn)質(zhì)疑

質(zhì)疑之一：證明過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn)嗎？

答案是試題的重要組成部分.考試中心提供的（Ⅱ）的參考答案（華西都市報(bào)刊登）有不妥之處，為了行文方便先摘錄如下：

（Ⅱ）（?。┯桑á瘢┲?dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞（2+x）ln（1+x）-2x＞0=f（0），這與x=0是f（x）的極大值點(diǎn)矛盾.（ⅱ）若a＜0，設(shè)函數(shù)由于當(dāng)時(shí)，2+x+ax2＞0，故h（x）與f（x）的符號(hào)相同.又h（0）=f（0）=0，故x=0是f（x）的極大值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)x=0是h（x）的極大值點(diǎn).

如果6a+1＞0，則當(dāng)，且時(shí)，h′（x）＞0，故x=0不是h（x）的極大值點(diǎn).

如果6a+1＜0，則a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1＜0，故當(dāng)時(shí)，且時(shí)，h（′x）＜0，所以x=0不是h（x）的極大值點(diǎn).

如果6a+1=0，則

當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0.所以x=0是h（x）的極大值點(diǎn).綜上

疑問(wèn)：上述證明中利用“2+x+ax2＞0，h（x）與f（x）具有相同的極大值點(diǎn)x=0.”的依據(jù)是什么呢？是顯然的嗎？我們認(rèn)為這并不顯然.事實(shí)上，若m為大于零的常數(shù)，則具有相同的極值點(diǎn)，這是顯然的，但2+x+ax2為大于零的變量，此時(shí)h（x）與f（x）還具有相同的極值點(diǎn)嗎？這需要證明，但參考答案并沒(méi)有給出解釋，且這個(gè)“結(jié)論”在中學(xué)教材上也找不到根據(jù).解答上述“結(jié)論”需要借助以下引理：

已知函數(shù)f（x）滿足f（0）=0，函數(shù)g（x）滿足：存在δ＞0，使得對(duì)任意的x∈（0，δ），都有g(shù)（x）＞0恒成立，令h（x）=，則x=0是（fx）的極大值點(diǎn)的充要條件是x=0是h（x）的極大值點(diǎn).

這個(gè)引理的證明，需要深刻理解鄰域的概念及符號(hào)的表達(dá)，而高中生沒(méi)有接觸過(guò)鄰域的概念，更談不上運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行證明，所以看似顯然的結(jié)論其實(shí)并不顯然.

因此，21題第（Ⅱ）問(wèn)的參考答案不嚴(yán)謹(jǐn).

質(zhì)疑之二：試題背景公平嗎？

試題背景指命題時(shí)選取素材中含有的知識(shí)、模型、問(wèn)題、思想和方法，這些知識(shí)、問(wèn)題、思想和方法稱為數(shù)學(xué)背景.我們不禁要問(wèn)該試題背景公平嗎？

21題含有豐富的高等數(shù)學(xué)背景，借助高等數(shù)學(xué)工具能夠快速解答，比如：借助極值點(diǎn)的第二充分條件，由f（3（）0）=0且f（4（）0）＜0可得又如，根據(jù)極大值點(diǎn)的定義：當(dāng)x∈（0，δ）時(shí)，f′（x）＜0，因?yàn)棣目梢詿o(wú)限趨近于0，可直接使用洛必達(dá)法則，得，同理可得進(jìn)而得到；再如，由y=ln（x+1）在（1，2）階的帕德逼近函數(shù)為，結(jié)合函數(shù)表達(dá)式可直接看出答案為很明顯熟悉高等數(shù)學(xué)背景的同學(xué)解答本題幾乎沒(méi)有什么障礙，但因不熟悉高等數(shù)學(xué)背景而使用初等解法求解卻難于上青天.

因此，21題第（Ⅱ）問(wèn)背景明顯不公平.

質(zhì)疑之三：試題選拔功能真的好嗎？

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：“高考是我國(guó)最為重要的選拔性考試，數(shù)學(xué)高考命題應(yīng)依據(jù)人才選拔的要求，發(fā)揮數(shù)學(xué)高考的選拔功能.”［1］我們不禁要問(wèn)21題的選拔功能真的好嗎？

從對(duì)考生的訪談來(lái)看，絕大部分考生認(rèn)為試題太難，不知道怎么下手；從對(duì)教師的訪談來(lái)看，多數(shù)教師認(rèn)為試題解答涉及精妙的構(gòu)造，有濃濃的大學(xué)數(shù)學(xué)分析味道，以至于所給的參考答案很難看懂；從閱卷場(chǎng)反饋的信息來(lái)看，某省近30萬(wàn)理科考生近乎無(wú)人用初等解法做對(duì)，且用高等解法做對(duì)的不足30人，可見(jiàn)，用初等解法做對(duì)的比例幾乎為零，用高等解法做對(duì)的比例也不足萬(wàn)分之一.不難看出，就算是運(yùn)用高等解法解答正確的比例也遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于“名?！钡恼袖洷壤踔恋陀凇耙槐尽钡恼袖洷壤?，顯然以此來(lái)選拔人才不具有科學(xué)性和合理性.同時(shí)，從試題命制層面上看，21題難度系數(shù)遠(yuǎn)低于0.2，按考試大綱規(guī)定難度在0.2以下的試題不宜出現(xiàn)在試卷中.

因此，21題第（Ⅱ）問(wèn)不具備良好的選拔功能.

質(zhì)疑之四：試題的導(dǎo)向功能好嗎？

高考試題具有數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)、科研選題、命題示范、知識(shí)延展、思維訓(xùn)練、思想承載、教學(xué)導(dǎo)向和德育滲透等功能.［2］21題對(duì)2019年的復(fù)習(xí)備考有何啟示呢？2019年的高考復(fù)習(xí)我們應(yīng)何去何從？高三復(fù)習(xí)是否需要命制偏難怪試題？高三復(fù)習(xí)是否需要補(bǔ)充高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)？等等.基于前文的分析，21題有引導(dǎo)高三復(fù)習(xí)補(bǔ)充高等數(shù)學(xué)知識(shí)之嫌，當(dāng)然這與中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)際不相符.同時(shí)，21題也有引導(dǎo)用偏難怪選拔人才之意，這與數(shù)年來(lái)高考選拔人才的方式相悖.

因此，21題第（Ⅱ）問(wèn)不具備良好的導(dǎo)向功能.

三、對(duì)命制壓軸題的一點(diǎn)思考

高考?jí)狠S題具有選拔功能無(wú)可厚非，但試題的難度不能肆意拔高，試題的背景理應(yīng)公平，試題的立意不能脫離實(shí)際，試題應(yīng)具有良好的導(dǎo)向功能.對(duì)此，我們認(rèn)為命題應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)：

首先，試題應(yīng)該具有公平的背景，這是試題命制的前提，否則將失去考查的意義；其次，命制試題是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^(guò)程，尤其是像高考這樣的重大考試，試題及答案均應(yīng)該精心打磨，不應(yīng)出現(xiàn)爭(zhēng)議；再次，試題的立意應(yīng)該符合中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)際，要具有良好的導(dǎo)向功能；最后，高考的選拔功能要適度，要切實(shí)有利于為高校選拔一批人才.

總之，高考?jí)狠S題——想說(shuō)愛(ài)你不容易應(yīng)是常態(tài)，而高考?jí)狠S題——想說(shuō)愛(ài)你不可能應(yīng)該杜絕.