題組引領(lǐng) 變式鞏固 思維對(duì)話
——以高三一輪基本不等式復(fù)習(xí)為例

☉江蘇省張家港高級(jí)中學(xué) 徐 艷

專題復(fù)習(xí)是高三數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，通過復(fù)習(xí)可以摸清學(xué)生學(xué)情、糾正學(xué)生錯(cuò)誤、幫助學(xué)生提高分析問題和解決問題的能力；鞏固、梳理、整合學(xué)生已學(xué)過的知識(shí)，將零散的知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，完善認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生解題思想方法的形成，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)；診斷出教師在教學(xué)中的薄弱環(huán)節(jié)，查漏補(bǔ)缺，以明確下一階段努力的目標(biāo).本文以高三一輪復(fù)習(xí)中的“基本不等式專題”為例，談?wù)勅绾卫妙}組及變式進(jìn)行高效復(fù)習(xí)的探索與嘗試.具體做法如下：

一、題組引領(lǐng)，鞏固四基

教師首先要在課前精心設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)題組，認(rèn)真仔細(xì)地篩選題目.要分析所選題目的設(shè)計(jì)意圖是什么？是否符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念？難易程度是否符合本班學(xué)生的實(shí)際學(xué)情？是否覆蓋到了相關(guān)的重要知識(shí)點(diǎn)和考點(diǎn)？是否能把要復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)回歸到教材中相應(yīng)的章節(jié)中去？是否把數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和方法融入其中？是否能通過題組引領(lǐng)并落實(shí)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)以及技能方法的鞏固等.

例1（蘇教版必修5 P10510）設(shè)實(shí)數(shù)x＞-1，求函數(shù)y=的最小值，并求對(duì)應(yīng)x的值.

方法1：利用基本不等式

思路1（配湊）：因?yàn)閤＞-1，所以

思路2（換元）：令

設(shè)計(jì)理由：兩個(gè)思路都是利用基本不等式來解決問題.思路1中的配湊和思路2中的換元都是為了構(gòu)造出y=的形式，再由積為定值求和的最小值的基本不等式來解決，若對(duì)這兩種方法進(jìn)行比較的話，配湊更直接些！

方法2：函數(shù)法

思路3：利用配湊或換元構(gòu)造出的形式后再由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增，從而可得在t=1時(shí)，的最小值為2，進(jìn)而得的最小值為1.

方法3：導(dǎo)數(shù)法

思路4：設(shè).由f（′x）＞0，得x＞0；由f（′x）＜0，得-1＜x＜0.所以函數(shù)f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，從而當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最小值為1.

設(shè)計(jì)理由：通過換元或配湊可以把原題轉(zhuǎn)化成y=t+的形式，又由t＞0，故可利用基本不等式來求解出最值.但要注意到“一正、二定、三相等”的條件，若改變題目中的條件“x＞-1”，則此題就可能無(wú)法運(yùn)用基本不等式來求解了，所以基本不等式在應(yīng)用時(shí)有其特殊性和局限性.而方法二和方法三抓住了問題的本質(zhì)，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想.通過對(duì)這三種方法的比較，可以讓學(xué)生摸索出它們之間的聯(lián)系以及使用條件，滲透數(shù)學(xué)基本思想，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用基本不等式解決問題的工具意識(shí)和定位意識(shí).

例2若x＞0，求函數(shù)的最小值.

思路1（配湊）

思路2（換元）：令t=2x+1＞1，即

則

設(shè)計(jì)意圖：和例1一樣，利用配湊或換元構(gòu)造成積為定值的形式，若對(duì)這兩種方法進(jìn)行比較的話，換元更合適些.通過設(shè)計(jì)此類表面上兩數(shù)相乘并不是定值的兩數(shù)相加求最值問題，可以培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析問題的能力以及對(duì)式子進(jìn)行變形的技巧，讓學(xué)生感受到不能死記基本不等式的形，而是要抓住它的質(zhì).

二、變式探究 發(fā)散思維

數(shù)學(xué)中的變式教學(xué)是指：運(yùn)用不同的變化規(guī)律，對(duì)題目進(jìn)行不同角度、不同層次、不同背景的變化，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生在“變”的過程中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)及解題規(guī)律.如：

例3（蘇教版必修5 P10616）已知正數(shù)x，y滿足x+2y=1，求的最小值.

思路：因?yàn)閤＞0，y＞0，x+2y=1，

所以

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.

設(shè)計(jì)意圖：在求解雙變量最值問題時(shí)，若已知兩個(gè)正數(shù)x，y滿足ax+by=1（a＞0，b＞0），求的最小值，或已知兩個(gè)正數(shù)x，y滿足，求ax+by（a＞0，b＞0）的最小值問題，常用的解題方法是“1”的代換，解題原理仍然是通過構(gòu)造積為定值來找和的最小值，相應(yīng)地可以設(shè)計(jì)以下變式，層層遞進(jìn)、螺旋上升！

變式1：求函數(shù)的最小值.

變式2：已知x＞0，y＞0，且xy=x+y，求x+2y的最小值.

變式3：已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，求的最小值.

變式4：已知a＞0，b＞0，且，求a+2b的最小值.

變式5：已知x≥0，y≥0且x+y=2，求的最小值.

設(shè)計(jì)意圖：變式1的解題方式是應(yīng)用了“x+（1-x）=1”這個(gè)隱含條件；變式2是通過換元把一元變量的最值問題轉(zhuǎn)化成了二元變量的最值問題，再用“1”的代換來求最值，此變式的解題方法可見于2018年的江蘇卷第13題：

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為______.

變式3和例3比較類似，只是所求式子的分母復(fù)雜了些，故可通過換元把分母變簡(jiǎn)單，過程如下：

變式4和變式5是變式3的提升，深入挖掘題目中的信息，通過換元以及對(duì)代數(shù)式的變形，將問題化歸為易解決的問題.學(xué)生在解題時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到的障礙就是原本會(huì)做的題，若題目的條件或結(jié)論稍微發(fā)生改變就束手無(wú)策了.所以通過設(shè)計(jì)這些變式，可以讓學(xué)生抓住問題的本質(zhì)，掌握知識(shí)、方法和技能，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的求異性和把握數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活性，做到舉一反三，進(jìn)而提升轉(zhuǎn)化能力，感受數(shù)學(xué)的魅力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

三、課后鞏固 內(nèi)化升華

波利亞說過：?jiǎn)栴}是數(shù)學(xué)的心臟！問題是引發(fā)學(xué)生思考和探索的向?qū)?，有了問題，學(xué)生的好奇心才會(huì)激起；有了問題，學(xué)生的思維閥門才能開啟；有了問題，學(xué)生的探究活動(dòng)才有了載體.所以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解題，離不開訓(xùn)練，課堂上的一題多解、一題多變的目的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，而不是簡(jiǎn)單的讓學(xué)生去記憶模仿.所以可以設(shè)計(jì)相應(yīng)的課后習(xí)題讓學(xué)生及時(shí)鞏固，既為內(nèi)化課上知識(shí)，又為提升解題能力.

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行！”學(xué)生只有親身經(jīng)歷了探究的過程，才能促進(jìn)知識(shí)體系的科學(xué)建構(gòu)以及思維水平的顯性提升，才能積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，把所學(xué)的知識(shí)方法應(yīng)用到解決新的問題中去，達(dá)到提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

題組不是零星題目的隨意組合，更不是題目的簡(jiǎn)單疊加堆砌，它構(gòu)建了課堂的整體框架，它貫穿著數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系.通過題組引領(lǐng)，變式鞏固，思維對(duì)話可以把教材中知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生把握問題的特征，感悟解題的規(guī)律，掌握解題的方法，真正實(shí)現(xiàn)“解一題—通一類—會(huì)一片”的飛躍，達(dá)到知其然更知其所以然的目的，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程！ F