用功率相等法巧解速度關(guān)聯(lián)問題

牛紅標

(保定市第一中學，河北 保定 071000)

繩、桿兩端連接有不同物體時,在運動過程中,由于兩端的物體運動方向不一定沿繩或桿的方向,所以兩端物體的速度大小或方向往往不相同.高中階段研究的繩都是不可伸長的,桿都是不可伸長和不可壓縮的,即繩或桿是長度不會改變的理想化模型,當然其也不能儲存或釋放其他形式的能量,對兩端關(guān)聯(lián)的物體總是做功大小相等,一正一負,總功為0而實現(xiàn)一個物體的機械能向另一個物體轉(zhuǎn)移,根據(jù)這個特點我們很容易知道,桿或繩對兩個物體做功的功率大小一定是相等的,力的方向沿繩或桿,所以我們根據(jù)這個功率相等的規(guī)律可以得到繩或桿類關(guān)聯(lián)的兩個物體的速度關(guān)系.

1 定滑輪牽引模型

這個模型對初學者來說非常容易受到力的作用效果分解思想的影響而出錯,但如果利用輕繩不可伸長,對兩端物體做功相等,可輕松理解速度關(guān)系,進一步解決問題.

圖1

例1.如圖1所示,汽車以速度v0在水平路面上勻速行駛,通過繩子牽引質(zhì)量為m重物P.若汽車從圖中A點開到B點,H為已知.求:此過程中重物P增加的機械能.

解析：牽引重物的繩子不可伸長,對汽車做負功,對重物做正功,但功率大小相等,設繩上拉力大小F,在A、B兩點重物P的速度分別為vPA和vPB.

在A點，F(xiàn)vPA=Fv0cos60°,所以,vPA=v0cos60°.

汽車由A到B的過程中,重物上升的高度

機械能增加量為ΔE=mgh+ΔEk.聯(lián)立解得

圖2

例2.光滑水平面上有A、B兩個物體,通過一根跨過定滑輪的輕繩子相連,如圖2所示,它們的質(zhì)量分別為mA和mB.用水平力F拉著A向右沿水平面以速度v0勻速運動,當繩子與水平方向的夾角為θA=45°,θB=30°時,B物體的速度是多少?

點評:根據(jù)繩子兩個端點的功率相等,可以輕松得到兩端物體的速度關(guān)系.

2 動滑輪關(guān)聯(lián)模型

對于和動滑輪相連接物體的運動與繩子端點的速度關(guān)系比較復雜,但如果抓住繩子做功過程為能量的轉(zhuǎn)移,端點功率與對應對動滑輪物體做功功率相等,根據(jù)這個物理條件就能很快找出相關(guān)的速度關(guān)系.

圖3

例3.如圖3所示,一質(zhì)量為m的物體位于光滑水平面上,通過滑輪在一根輕繩的作用下向右運動,已知輕繩C端以速度v勻速收繩,物體m一直在水平上前進,求當AO段的繩子與水平方向的夾角α由30°變化為60°時,拉力對物體所做的功?

解析:本題中,雖然繩子的C端勻速運動,但不能確定繩子上拉力的大小,也不能確定其位移的大小,題目中只給了繩端的速度,因此可以根據(jù)這個速度來得到這個過程中速度的變化.如前面兩個例題,繩子在沒有彈性的情況下,拉力在端點C處做功的功率與對物體做功的功率是相等的,而繩子上的拉力處處相等.

當α=30°時，F(xiàn)v=Fv1+Fv1cos30°,

圖4

例4.如圖4所示,小環(huán)O和O′分別套在不動的豎直桿AB和A′B′上,一根不可伸長的繩子穿過環(huán)O′,繩的兩端分別系在A′點和O環(huán)上,設環(huán)O′以恒定速度v向下運動,求當∠AOO′=α時,環(huán)O的速度.

解析:O、O′之間的速度關(guān)系與O、O′的位置有關(guān),即與α角有關(guān),但輕繩不可伸長,在兩個環(huán)運動過程中,輕繩對兩個環(huán)做功的功率大小相等.設繩上拉力大小為F.

對O，PO=FvOcosα，

對O′，PO′=Fv-Fvcosα，

兩個功率相等FvOcosα=Fv-Fvcosα，

點評:當繩子中間有滑動物體時,同一根繩子對應有兩個張力對其做功,注意其功的正負,繩子上沒有能量儲存及釋放,所以一端為正功,一端為負功,但功率相等.

3 輕桿兩端關(guān)聯(lián)的物體

輕桿兩端有物體時,由于輕桿可以轉(zhuǎn)動,所以也有很多問題中兩端在各自的接觸面上運動,其速度大小及方向均不相等,但根據(jù)輕桿的作用力的特點,對兩端的物體做功一定相等,即桿上的作用力的功率相等,可以很快找到兩端物體的速度關(guān)系.

圖5

圖6

vBcosθ=vAsinθ,由題意可知θ=30°.

又AB組成的系統(tǒng)機械能守恒,

兩式聯(lián)立可得