齒輪局部故障振動信號分析及提取方法研究

楊秀芳 ，張西寧

(1. 西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，陜西西安710048； 2. 西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，陜西西安710049)

齒輪是機(jī)械設(shè)備中主要的連接和傳遞動力的零部件，若出現(xiàn)故障，將直接影響到整機(jī)的運行狀態(tài)甚至危及人身安全，因此，對齒輪故障信號提取及故障診斷的研究具有重要的理論意義和實用價值。齒輪故障是傳動機(jī)械故障的主要形式。齒輪故障分為兩大類：一類是齒輪局部故障，這類故障包括齒輪裂紋、斷齒、加工或安裝偏心、齒距誤差等；另一類是齒輪分布式故障，如齒輪磨損、點蝕等[1]。機(jī)械故障診斷主要有三個步驟：第一是診斷信號的拾取，最常用的方法是用慣性式加速度傳感器獲取機(jī)械設(shè)備的振動信號[2]；第二是提取故障特征；第三是故障診斷和狀態(tài)識別。其中最關(guān)鍵的是從機(jī)械故障信號中提取故障特征[3]，信號分析和處理就是一種有效的分析和處理機(jī)械故障振動信號的數(shù)學(xué)方法，也是最常用的方法[4-6]。

目前用于信號分析和處理的數(shù)學(xué)方法有傅里葉變換(Fourier Transform,簡稱FT)的頻譜分析法、幾何分形分析法、ARMA(Auto RegressiveMoving Average,簡稱ARMA)模型分析法、Wigner分布(Wigner-Ville Distribution，簡稱WVD)、窗口傅里葉變換法(Windowed Fourier Transform，簡稱WFT)和小波分析法(Wavelet Analysis)等。文獻(xiàn)[7]先使用時間同步平均(TSA)方法對強背景噪聲掩蓋的被測振動信號進(jìn)行去噪處理，然后用小波變換提取出了故障信號特征。文獻(xiàn)[8]采用譜相關(guān)函數(shù)進(jìn)行齒輪故障診斷，闡述了這種方法和包絡(luò)分析方法之間的關(guān)系；文獻(xiàn)[9]提出將小波降噪分析和基于負(fù)熵的FastICA獨立分量分析相結(jié)合來處理滾動軸承含噪振動信號的方法，但從文中提供的處理效果圖來看，該方法處理效果與小波降噪效果相近；文獻(xiàn)[10]將經(jīng)驗小波變換應(yīng)用到轉(zhuǎn)子碰磨故障診斷中，有效地揭示出碰磨故障數(shù)據(jù)的頻率結(jié)構(gòu)，從而區(qū)分碰磨故障的嚴(yán)重程度；文獻(xiàn)[11]研究了基于小波變換和統(tǒng)計分析的轉(zhuǎn)子碰磨聲發(fā)射特性。這種方法能通過聲發(fā)射信號參數(shù)的平均峰值、平均能量判斷轉(zhuǎn)子的磨損程度，但由于聲發(fā)射信號的峰值頻率與轉(zhuǎn)速無關(guān)，所以對磨損故障的定位有一定的困難。

小波變換方法具有可變的時頻窗口，既能對非平穩(wěn)信號中的短時高頻成分進(jìn)行定位，又可以對低頻成分進(jìn)行分析。本文應(yīng)用小波變換對振動信號進(jìn)行降噪處理和高頻信號的定位，用希爾伯特變換解調(diào)非線性信號，提取機(jī)械故障信號特征。

1 齒輪嚙合振動模型及振動機(jī)理

1.1 齒輪嚙合振動模型

齒輪傳動系統(tǒng)是一個復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，在建立其非線性振動模型時，把齒輪副的輪齒簡化為彈簧-質(zhì)量振動系統(tǒng)，其在剛度激勵、誤差激勵等動態(tài)激勵作用下會產(chǎn)生動態(tài)響應(yīng)，引起齒輪系統(tǒng)振動。為了獲得齒輪副嚙合的振動數(shù)學(xué)模型，本文假定：齒輪振動沿嚙合線方向；不考慮運動時摩擦和齒側(cè)間隙；阻尼系數(shù)為兩齒輪的嚙合阻尼；剛度系數(shù)為齒輪的嚙合剛度[1]。運用牛頓第二定律，根據(jù)各質(zhì)量塊之間力的平衡條件，建立齒輪副嚙合的運動微分方程：

(1)

式中，Me為齒輪副的等效質(zhì)量；x(t)為齒輪嚙合線方向相對位移；Cg為嚙合阻尼系數(shù)；Kz(t)為正常齒輪副嚙合剛度函數(shù)；Fs為齒輪靜載荷；ez(t)為無故障齒輪副嚙合線方向上的綜合誤差函數(shù)；t為時間變量。

由式(1)可知，齒輪嚙合時的振動來自于兩部分：①由齒輪靜載荷Fs引起的振動，這屬于齒輪的常規(guī)嚙合振動，不受其它因素的影響；②由Kz(t)ez(t)引起的振動，它取決于齒輪的綜合嚙合剛度和誤差函數(shù)。由此可見，即使齒輪沒有故障，常規(guī)的嚙合都會產(chǎn)生振動。如果齒輪存在故障，齒輪副嚙合的剛度函數(shù)Kz(t)及綜合誤差函數(shù)ez(t)會發(fā)生變化。進(jìn)一步將齒輪副嚙合的運動微分方程寫為：

(2)

式中，Kg(t)為齒輪副嚙合的剛度函數(shù)；f(x(t))為間隙的非線性函數(shù)；e(t)為故障齒輪副嚙合線方向上的綜合誤差函數(shù)。

由于式(2)為非線性微分方程，為了便于對齒輪故障產(chǎn)生的振動成分做進(jìn)一步研究, 將方程簡化為線性微分方程：

(3)

由式(3)可知，機(jī)械振動信號的形式由Kg(t)e(t)確定，即取決于齒輪的嚙合剛度函數(shù)和誤差函數(shù)。在不同的故障模式下，誤差函數(shù)e(t)的表達(dá)形式不同。例如齒輪發(fā)生疲勞裂紋、斷齒等故障時，誤差函數(shù)的頻率主要是轉(zhuǎn)軸頻率、嚙合頻率及其諧波；當(dāng)齒輪發(fā)生齒面磨損、點蝕、剝落等故障時，誤差函數(shù)出現(xiàn)調(diào)頻函數(shù)的形式。因此，不同類型的齒輪故障，其振動信號具有不同的頻率特征。

1.2 齒輪振動機(jī)理分析

在式(3)中，Kg(t)e(t)是故障激勵函數(shù)和主要的故障激勵源，由于線性方程的解與激勵函數(shù)有相似的表達(dá)形式，所以在研究故障齒輪振動機(jī)理時，只要分析與故障齒輪激勵項相關(guān)的Kg(t)e(t)的成分，就可以導(dǎo)出齒輪不同故障對應(yīng)的振動機(jī)理。

1.2.1正常齒輪振動信號分析

正常齒輪嚙合運轉(zhuǎn)過程中，參與嚙合的齒數(shù)呈單、雙交替變化，形成嚙合振動。其振動信號主要為嚙合頻率及其高次諧波成分，表達(dá)式為：

(4)

式中，M為嚙合頻率的最大諧波次數(shù)；fz為齒輪嚙合頻率；θm為諧波相位；Am為諧波幅值。式(4)的頻譜圖如圖1所示。由圖可知，在齒輪正常運行時，振動成分主要表現(xiàn)為嚙合頻率及其高次諧波。

圖1 齒輪無故障時振動信號頻譜Fig.1 Frequency spectrum of vibration signal in gear fault free

1.2.2齒輪局部故障振動信號頻譜分析

齒輪的局部故障包括齒輪裂紋、斷齒、齒輪偏心等，局部故障會造成齒輪嚙合點產(chǎn)生短時剛度突變，其突變周期變?yōu)辇X輪軸的轉(zhuǎn)頻。用Kg(t)表示時變剛度函數(shù)，則有：

(5)

式中，N為齒輪軸轉(zhuǎn)頻的最大諧波次數(shù)；fn為轉(zhuǎn)軸的頻率；Cn為n次諧波的幅值。

在齒輪副中，一個齒輪是標(biāo)準(zhǔn)齒輪，另一個齒輪發(fā)生故障(出現(xiàn)誤差)時，此時傳動誤差就為故障齒輪在嚙合線方向上的綜合誤差，可直接反映在齒輪傳動誤差上，如齒輪軸的松動、偏心等將影響綜合誤差的長周期誤差成分；齒面發(fā)生磨損、點蝕等故障時，將影響綜合誤差的短周期成分；裂紋、斷齒等既影響綜合誤差的長周期成分又影響綜合誤差的短周期成分，使得齒輪嚙合運動產(chǎn)生的振動信號中含有齒輪嚙合頻率及軸的轉(zhuǎn)頻成分，所以在嚙合線方向上的綜合誤差可表示為：

e(t)=ψ(t)+φ(t)

(6)

式中，ψ(t)表示以轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速為周期的長周期誤差；φ(t)表示以齒輪嚙合速度及其諧波為周期的短周期誤差。

典型綜合誤差曲線如圖2所示。

圖2 綜合誤差曲線Fig.2 Comprehensive error curve

e(t)的具體表達(dá)式為：

(7)

式中，Ae為長周期誤差函數(shù)幅值；Bm為短周期誤差m次諧波的幅值；φm為短周期誤差m次諧波的初相位。

由式(5)和式(7)可得，局部故障時齒輪振動信號為：

x(t)=Kg(t)×e(t)=

(8)

信號的頻譜圖如圖3所示。

圖3 齒輪發(fā)生局部故障時振動信號頻譜Fig.3 Frequency spectrum of vibration signal when a local fault occurs in a gear

由圖3可知，齒輪的局部故障對安裝齒輪軸的轉(zhuǎn)頻、嚙合頻率以及高次諧波的邊帶頻產(chǎn)生嚴(yán)重的影響，但這類故障對嚙合頻率及其諧波處的幅值影響不大，左右對稱的邊帶頻族平坦而分散。

2 小波分析和希爾伯特變換理論

2.1 小波變換理論

小波分析是傅立葉分析思想方法的發(fā)展與延拓，小波基的構(gòu)造以及結(jié)果分析都依賴于傅立葉分析，二者是相輔相成的。傅里葉變換的局限性是：頻譜X(f)是頻率分量f的一個平均意義上的量，由信號的整體來確定，所以傅里葉分析不能做局部分析，分析某一時間段內(nèi)信號的特點，曾提出了短時傅立葉變換，即加窗傅里葉變換，通過窗口的移動，使得信號逐步進(jìn)入分析狀態(tài)，這樣就提供了在局部時間內(nèi)信號變化快慢的信息了，但是加窗傅立葉分析由于窗的大小和形狀是固定的，所以它不能適應(yīng)信號頻率高低的不同要求。更重要的是，工程中的非穩(wěn)態(tài)信號往往是時間較短、頻帶較寬、能量較小的信號，且非穩(wěn)態(tài)信號的頻譜往往被正常信號和噪聲的頻譜所淹沒，難以從頻譜中提取出有用信息。

小波分析是一種信號的時間-尺度(時間-頻率)分析方法，因為窗口大小和形狀可以改變，所以是一種時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法，即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，所以被譽為數(shù)學(xué)顯微鏡。正是這種特性，使小波變換對信號分析具有自適應(yīng)性，因此可以完成一些傅立葉分析無法解決的信號分析與處理。

連續(xù)小波變換定義：

設(shè)ψ(t)為母小波(即該函數(shù)是平方可積函數(shù)，且其傅里葉變換滿足容許性條件)，將母小波進(jìn)行伸縮和平移后的函數(shù)為：

(9)

稱其為小波函數(shù)。

對于任意函數(shù)x(t)∈L2(R)(L2(R)是平方可積的函數(shù)空間集合)的連續(xù)小波變換為：

(10)

其重構(gòu)公式為：

(11)

式中，Cψ為小波逆變換常數(shù)。

函數(shù)x(t)經(jīng)過小波變換后，把一個一元函數(shù)x(t)映射為伸縮尺度為a和平移量為b的二元函數(shù)。如尺度a固定，則小波變換反映的是信號x(t)在某一固定頻帶內(nèi)隨時間t的變化情況；如果尺度a變化，則小波變換反映的是信號x(t)在各個頻帶內(nèi)隨時間t的變化情況，所以，只要選取一個適當(dāng)?shù)男〔ê瘮?shù)，就有可能觀察到信號的局部頻率特性，以及這種局部頻率特性隨時間的演變情況。在振動信號處理中，它可以由粗到細(xì)逐步給出振動信號在不同尺度下的波形。

離散小波變換定義：

把小波函數(shù)中的參數(shù)a、b離散化，即：

a=a0m(a0>1)

b=nb0a0m,b0≠0∈R, (m,n)∈Z

式中，a0、b0分別為常數(shù)。

其對應(yīng)的離散小波函數(shù)可以寫為：

(12)

則離散小波變換為：

(13)

若取a0=2、b0=1，則：

這種離散化后的小波和相應(yīng)的小波變換稱為二進(jìn)制小波變換。

在連續(xù)小波變換的計算中，通常也是采用離散時間序列，但是母小波的平移可以沿著信號長度連續(xù)地進(jìn)行，伸縮程度也可以由人們隨意確定，這樣就得到了更高的時域和頻域分辨率，這種分辨率的提高是以計算時間的增加和需要更多內(nèi)存為代價的。連續(xù)小波變換有比離散小波變換更高的時頻分辨率，更適合于非平穩(wěn)信號的特征提取。

2.2 希爾伯特變換解調(diào)幅原理

由式(7)可知，齒輪局部故障振動信號的特點是轉(zhuǎn)軸頻率及其諧波信號對嚙合頻率及其諧波信號進(jìn)行調(diào)幅，這種調(diào)幅信號屬于非線性信號，在機(jī)械振動信號中，如果能夠解調(diào)出調(diào)幅信號，就可以有效提高故障診斷的正確性。

(14)

設(shè)調(diào)制信號為：

x(t)=A(t)cos[2πf0t+θ(t)]

式中，A(t)為調(diào)幅信號；cos[2πf0t+θ(t)]為載波信號；τ為平移時間變量。

對解析信號取模即可得到包絡(luò)估計：

3 齒輪局部故障振動信號仿真和分析

大部分情況下，齒輪故障診斷的特征提取主要是基于頻譜分析，但是由于噪聲或者其他信號的存在，往往使這些特征頻率的信號被淹沒，為此，本文在MATLAB環(huán)境下，對仿真的齒輪故障振動信號先采用小波變換進(jìn)行降噪處理，提高信號的信噪比，以便突出齒輪故障的頻譜特征，然后對信號進(jìn)行希爾伯特變換，提取故障齒輪轉(zhuǎn)軸信息，準(zhǔn)確定位故障齒輪位置。

x(t)=Kg(t)×e(t)=

[5+7cos(2π×5t)+5cos(4π×5t)+4cos(6π×5t)]×

(15)

現(xiàn)給齒輪局部故障信號式(15)加高斯噪聲，產(chǎn)生一個信噪比為0.05的強噪聲振動信號，圖4是該信號的時域和頻域圖，在譜圖上存在嚙合頻率fz、嚙合頻率的諧頻2fz、3fz、…和邊帶頻，可以判定齒輪傳遞系統(tǒng)存在故障。如果沒有噪聲干擾，頻譜圖中頻率的分布規(guī)律應(yīng)該符合圖3，含有故障齒輪轉(zhuǎn)軸頻率及其諧波：fn、 2fn、 3fn、…；含有嚙合頻率及其諧頻：fz、2fz、3fz、…；含有嚙合頻率的邊帶頻：fz±nfn、2fz±nfn、3fz±nfn、…，且邊帶頻對稱分布在嚙合頻率及其諧頻的兩側(cè)。實際測量信號中，轉(zhuǎn)軸頻率及其諧波fn、2fn、3fn、…會被噪聲淹沒。

圖4 故障信號的時域和頻域Fig.4 Time domain and frequency domain of fault signal

在單齒輪傳遞系統(tǒng)中，嚙合頻率處處相等，故障的特征信息是轉(zhuǎn)軸的頻率fn，獲取fn及其諧頻是定位故障的關(guān)鍵。本文先采用db1小波對故障振動信號進(jìn)行5層分解，以達(dá)到降噪目的，在分解的第四層近似分量中，出現(xiàn)了明顯的調(diào)幅特征，如圖5所示，經(jīng)計算第四層近似分量的信噪比為1.38，與沒有進(jìn)行小波分解時0.05的信噪比相比，提高了28倍，說明了小波變換降噪的有效性。但在圖5的頻譜圖上，并沒有獲得調(diào)幅信號的頻率信息，為了對故障源進(jìn)一步定位和提取，對小波分解的第四層近似分量進(jìn)行希爾伯特變換，提取調(diào)幅信號頻率信息，如圖6所示，像預(yù)期那樣，獲得了故障齒輪的轉(zhuǎn)軸信息fn、2fn、3fn。

圖5 db1小波分解第四層近似分量及其頻譜Fig.5 Fourth layer approximate component of the wavelet decomposition and its spectrum

圖7是對齒輪故障振動信號沒有進(jìn)行降噪處理，直接進(jìn)行希爾伯特變換的結(jié)果，可以看出，無論是在時域還是頻域，考察故障特征信息都與圖6相差甚多。

圖7 故障信號的包絡(luò)及其頻譜Fig.7 Fault signal envelope and its spectrum

4 結(jié) 語

建立了齒輪局部故障振動信號數(shù)學(xué)模型，依此數(shù)學(xué)模型，在MATLAB環(huán)境下，對主軸轉(zhuǎn)速為5 Hz、齒數(shù)為32的齒輪、信噪比為0.05的故障振動信號進(jìn)行了仿真，采用db1小波對信號進(jìn)行了4層分解，使得第4層近似分量的信噪比提高到了1.38，實現(xiàn)了信號的有效降噪處理，并對分解的第四層近似分量進(jìn)行希爾伯特變換處理，提取到了齒輪故障特征信息5 Hz、10 Hz、15 Hz、…，這一結(jié)論為齒輪轉(zhuǎn)動機(jī)構(gòu)中齒輪的故障診斷提供了一種有效的方法。