考慮時變嚙合剛度的船用高速斜齒輪動力學特性分析

文建爽，杜進輔，劉 凱，王崢嶸

(西安理工大學機械與精密儀器工程學院，陜西西安710048)

dynamics

斜齒輪由于承載能力大、傳動平穩(wěn)、易于加工和調(diào)整等優(yōu)點，在航空、船舶、汽車和工業(yè)減速器等領(lǐng)域中獲得了廣泛應用，其動態(tài)嚙合性能對機械設(shè)備整機可靠性、穩(wěn)定性和振動噪聲等特性影響顯著。因此，斜齒輪傳動的動力學特性一直是國內(nèi)外學者的研究熱點[1-3]。早期研究中，一般以平均嚙合剛度代替時變嚙合剛度[4]；后來，隨著改進的材料力學法[5]以及基于LTCA[6]的時變嚙合剛度計算方法的提出，學者們開始關(guān)注時變嚙合剛度對齒輪傳動動態(tài)性能的影響[7-9]。朱增寶、朱如鵬等[10]建立了采用雙齒聯(lián)軸器的人字齒行星傳動系統(tǒng)動力學模型，從動載特性方面分析了時變嚙合剛度對人字齒振動特性的影響；張柳等[11]從時域和頻域方面著重分析了時變嚙合剛度和齒距誤差對斜齒輪振動特性的影響；王燕等[12]在系統(tǒng)振動微分方程的平衡位置處對其進行線性化處理，并利用多尺度法獲得了系統(tǒng)振動穩(wěn)定的邊界條件，進而分析了時變嚙合剛度對斜齒輪系統(tǒng)振動穩(wěn)定性的影響。

但上述研究大都針對中低轉(zhuǎn)速條件，所獲得的結(jié)論是否適合高轉(zhuǎn)速情況尚待驗證。隨著現(xiàn)代工業(yè)的高速發(fā)展，高速重載齒輪傳動的需求也日益增多，對齒輪傳動高轉(zhuǎn)速、大載荷、高壽命等方面的要求也日益嚴格，許多工業(yè)領(lǐng)域的齒輪往往工作在過共振區(qū)，如直升機、船艦及電動汽車等領(lǐng)域的部分斜齒輪傳動其轉(zhuǎn)速已達到10 000 rpm以上?？梢姡芯扛咿D(zhuǎn)速條件下斜齒輪傳動的動力學特性具有重要意義。

為此，本文以某船用高速斜齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，建立了6自由度彎-扭-軸耦合動力學模型，基于LTCA獲得時變嚙合剛度曲線，研究轉(zhuǎn)速變化對系統(tǒng)振動特性的影響，并通過分析不同時變嚙合剛度激勵下，齒輪副嚙合線方向振動加速度的時、頻域結(jié)果，研究時變嚙合剛度的均值和波動幅值對系統(tǒng)振動的影響，以期獲得具有理論意義和實際應用價值的成果，為高速斜齒輪傳動的設(shè)計和應用提供參考依據(jù)。

1 斜齒輪副彎-扭-軸動力學模型

圖1 斜齒輪彎-扭-軸動力學模型Fig.1 Bend-torsion-shaft dynamic model of helical gear

采用集中質(zhì)量法建立6自由度斜齒輪傳動的彎-扭-軸耦合動力學模型[13]，見圖1。該系統(tǒng)的廣義位移矩陣可表示為：

{δ}={y1,z1,θ1,y2,z2,θ2}T

(1)

式中：yi、zi、θi(i=1，2)分別表示主、從動斜齒輪中心在徑向、軸向振動位移及轉(zhuǎn)角位移。根據(jù)牛頓第二定律列出圖1所示動力學模型的微分方程組見式(2)。

(2)

基于力、位移分解，將該系統(tǒng)中切向動態(tài)嚙合力和軸向動態(tài)嚙合力以參數(shù)形式表達如下：

式中：m1、m2分別為主、從動輪質(zhì)量；Rb1、Rb2分別為主、從動輪基圓半徑；β為斜齒輪螺旋角；α為壓力角；T1、T2分別為主、從動輪轉(zhuǎn)矩；y1、y2分別為主、從動輪中心在y方向的振動位移；z1、z2分別為主、從動輪中心在z方向的振動位移；θ1、θ2分別為主、從動輪的扭轉(zhuǎn)振動位移；k1y、k2y分別為主、從動輪在y方向的等效支承剛度；k1z、k2z分別為主、從動輪在z方向的等效支承剛度；c1y、c2y分別為主、從動輪在方y(tǒng)向的等效支承阻尼；c1z、c2z分別為主、從動輪在z方向的等效支承阻尼；k(t)為齒輪時變嚙合剛度；cm為嚙合阻尼，其計算公式如下：

(4)

式中，ξ為阻尼比，本文取0.1。

為了消除齒輪剛體轉(zhuǎn)角位移對后續(xù)分析的影響，引入相對轉(zhuǎn)角位移q將轉(zhuǎn)角位移轉(zhuǎn)化為線位移，其表達式為：

q=Rb1θ1-Rb2θ2

(5)

將式(5)代入式(2)中，扭轉(zhuǎn)振動方程可化簡為：

(6)

式中，me為齒輪副的等效扭轉(zhuǎn)質(zhì)量：

(7)

2 時變嚙合剛度的計算

本文采用基于LTCA的方法計算齒輪副時變嚙合剛度，該方法以將齒輪幾何分析和力學分析有機地結(jié)合在一起的LTCA為基礎(chǔ)，可以得到齒輪副在修形和誤差條件下的嚙合剛度曲線。嚙合剛度k(t)的計算式如下：

(8)

式中：P為力或力矩；Z為線位移或角位移變形。

通過LTCA可獲得齒面載荷分布P和在當前接觸位置載荷P作用下的線位移傳動誤差Z。Z主要由幾何傳動誤差、輪齒彎曲變形和齒面接觸變形引起。

幾何傳動誤差與載荷P大小無關(guān)，由齒面設(shè)計和加工決定。當齒輪副材料、幾何參數(shù)及嚙合位置一定時，輪齒彎曲變形和接觸變形由載荷P決定，可以根據(jù)美國格里森公司的計算方法得到[14]。各組成部分與載荷P的關(guān)系如下：

(9)

式中：c1,c2,c3為常數(shù)；δ1,δ2,δ3分別表示幾何傳動誤差、輪齒彎曲變形和接觸變形。

將一個嚙合周期進行n等分，Zk(P)表示第k(k=1,2,…,n)個嚙合位置在名義載荷P作用下的承載變形，可由輪齒LTCA程序得到[15]。

綜上所述，可以得到第k個嚙合位置在名義載荷P作用下的承載變形：

(10)

用待定系數(shù)法，進行三次不同載荷下的運算，便可確定系數(shù)c1,c2,c3，得到齒輪副不同嚙合位置的載荷與變形的函數(shù)關(guān)系式。通過這個關(guān)系式，可以確定任意載荷下該位置的嚙合剛度，對每一個嚙合位置均進行上述運算，即可得到齒輪副整個嚙合周期各嚙合位置的嚙合剛度，進而得到齒輪副的嚙合剛度曲線。

3 算 例

表1為某船用高速斜齒輪副參數(shù)，其三維模型見圖2。

表1 齒輪副基本參數(shù)

圖2 某斜齒輪三維模型Fig.2 3D model of a helical gear

根據(jù)前文方法，得到其在500 N·m負載下的時變嚙合剛度曲線見圖3。

圖3 齒輪綜合嚙合剛度曲線Fig.3 Gear comprehensive meshing stiffness curve

以斜齒輪副端面嚙合線方向的相對振動加速度a作為主要指標考查系統(tǒng)振動程度，其表達式為：

(11)

將求解動力學模型得到的各方向振動加速度按照式(11)合成，并求出其均方根值。接著依次求出各轉(zhuǎn)速下的相對振動加速度均方根值，繪制如圖4所示的時變嚙合剛度激勵下的齒輪端面嚙合線方向振動-轉(zhuǎn)速圖。

圖4 齒輪嚙合線方向振動-轉(zhuǎn)速圖Fig.4 Gear vibration-rotation speed diagram of meshing direction

圖4可以看出，在時變嚙合剛度曲線激勵不變的情況下，不同轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)振動程度不同；除去共振峰外的加速度均方根值并未隨轉(zhuǎn)速升高而明顯升高。這是由于時變嚙合剛度作為一種參數(shù)激勵，其本身的均值及幅值與轉(zhuǎn)速無關(guān)。也即，只考慮時變嚙合剛度激勵情況下，遠離共振轉(zhuǎn)速時，轉(zhuǎn)速升高對系統(tǒng)振動特性的影響不顯著。在1/3和1/2共振轉(zhuǎn)速N0處，發(fā)生了明顯的超諧波共振。

為了研究齒輪平均嚙合剛度對系統(tǒng)振動的影響，基于圖2所示時變嚙合剛度，取0.6倍、0.8倍、1.0倍、1.2倍、1.4倍五種不同平均嚙合剛度(幅值不變，見圖5)作為系統(tǒng)激勵。求得系統(tǒng)嚙合線方向振動加速度情況，見圖6。

圖5 不同平均剛度值的嚙合剛度曲線Fig.5 Meshing stiffness curve of different means of stiffness

圖6 不同平均嚙合剛度下的振動-轉(zhuǎn)速圖Fig.6 Vibration-rotation speed diagram of the different means of stiffness

圖6中，在齒輪時變嚙合剛度幅值不變的情況下，除去共振峰值外，齒輪相對振動加速度均方根值隨著齒輪平均嚙合剛度的升高而降低，且系統(tǒng)固有頻率發(fā)生了改變，齒輪副共振轉(zhuǎn)速隨齒輪平均嚙合剛度的增大而增大。進一步分析得，平均嚙合剛度減小使系統(tǒng)振動加速度均方根值相對于轉(zhuǎn)速的變化率變大，這導致齒輪轉(zhuǎn)速達到共振轉(zhuǎn)速附近時齒輪振動系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。

圖7～8分別為轉(zhuǎn)速9 000 r/min、12 000 r/min時5種不同平均嚙合剛度下嚙合線方向振動時域圖。

圖7 9 000 r/min時不同平均剛度下嚙合線方向振動時域圖Fig.7 Time domain diagram of meshing direction vibration under different means of stiffness at 9 000 r/min

圖8 12 000 r/min時不同平均剛度下嚙合線方向振動時域圖Fig.8 Time domain diagram of meshing direction vibration under different means of stiffness at 12 000 r/min

圖9～10為頻域圖。

圖9 9 000 r/min時不同平均剛度下嚙合線方向振動頻域圖Fig.9 Frequency domain diagram of meshing direction vibration under different stiffness means at 9 000 r/min

圖10 12 000 r/min不同平均剛度下嚙合線方向振動頻域圖Fig.10 Frequency domain diagram of meshing direction vibration under different stiffness means at 12 000 r/min

由圖7～10可得，平均嚙合剛度越大，齒輪振動幅值越大，與圖6得到的結(jié)論一致。

時變嚙合剛度的幅值波動大小是影響齒輪系統(tǒng)振動響應的重要因素。為了研究時變嚙合剛度對齒輪系統(tǒng)振動響應的影響，基于圖2所示時變嚙合剛度，取0.6倍、0.8倍、1.0倍、1.2倍、1.4倍五種不同幅值(平均嚙合剛度值和周期保持不變，見圖11)，作為系統(tǒng)激勵輸入動力學模型。求得系統(tǒng)嚙合線方向振動加速度情況，見圖12。

圖11 不同幅值的嚙合剛度曲線Fig.11 Meshing stiffness curves of different amplitudes

由圖12得， 在齒輪平均嚙合剛度不變的情況下，嚙合剛度的幅值越大齒輪端面嚙合線方向振動均方根值越大；且嚙合剛度的幅值波動變化并未造成共振轉(zhuǎn)速發(fā)生變化；時變嚙合剛度幅值增大會使振動加速度均方根值相對于轉(zhuǎn)速的變化率變大，如前所述，這會導致齒輪轉(zhuǎn)速達到共振轉(zhuǎn)速附近時系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。

圖12 不同嚙合剛度幅值下的振動-轉(zhuǎn)速圖Fig.12 Vibration-rotation speed diagram under different amplitudes of meshing stiffness

圖13～14分別為轉(zhuǎn)速9 000 r/min、12 000 r/min時5種不同時變嚙合剛度幅值下嚙合線方向振動時域圖，其頻域圖見圖15～16。由圖13～16可得，嚙合剛度幅值越大，齒輪振動幅值越大。與分析圖12得到的結(jié)論一致。

圖13 9 000 r/min時不同幅值波動下嚙合線方向振動時域圖Fig.13 Time domain diagram of meshing direction vibration under different amplitudes of meshing stiffness at 9 000 r/min

圖14 12 000 r/min時不同幅值波動下嚙合線方向振動時域圖Fig.14 Time domain diagram of meshing direction vibration under different amplitudes of meshing stiffness at 12 000 r/min

圖15 9 000 r/min時不同幅值波動下嚙合線方向振動頻域圖Fig.15 Frequency domain diagram of meshing direction vibration under different amplitudes of meshing stiffness at 9 000 r/min

圖16 12 000 r/min不同幅值波動下嚙合線方向振動頻域圖Fig.16 Frequency domain diagram of meshing direction vibration under different amplitudes of meshing stiffness at 12 000 r/min

4 結(jié) 論

本文以某船用高速斜齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，建立了考慮時變嚙合剛度的斜齒輪彎-扭-軸耦合動力學模型，基于LTCA計算了齒輪副的時變嚙合剛度，并研究了轉(zhuǎn)速和齒輪副時變嚙合剛度的變化對系統(tǒng)動力學特性的影響。所得結(jié)論如下。

1) 時變嚙合剛度激勵下，遠離共振轉(zhuǎn)速時，轉(zhuǎn)速變化對系統(tǒng)振動特性的影響不顯著。

2) 在1/3和1/2共振轉(zhuǎn)速N0處，發(fā)生了明顯的超諧波共振。

3) 齒輪副平均嚙合剛度值增大會使系統(tǒng)振動幅值減小，但共振轉(zhuǎn)速會發(fā)生改變，即系統(tǒng)固有頻率會發(fā)生改變，齒輪平均嚙合剛度越大，系統(tǒng)的共振轉(zhuǎn)速也越大。

4) 時變嚙合剛度波動幅值增大會使振動加劇，但不改變系統(tǒng)固有頻率。