函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的對稱性“三問”

■王承哲

同學(xué)們都知道，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)都具有對稱性，它們的圖像不僅是軸對稱圖形，而且是中心對稱圖形。那么，由正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的對稱性，如何來探究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的對稱性呢？

問題1：如何求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）與y=Acos（ωx+φ）的對稱軸方程？

答：與正弦曲線、余弦曲線一樣，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的圖像的對稱軸都通過函數(shù)圖像的最值點且垂直于x軸。

函數(shù)y=Asin（ωx+φ）對稱軸方程的求法：令sin（ωx+φ）=±1，得ωx+φ=（k∈Z），則所以函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像的對稱軸方程為

函數(shù)y=Acos（ωx+φ）對稱軸方程的求法：令cos（ωx+φ）=±1，得ωx+φ=kπ（k∈Z），則所以函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖像的對稱軸方程為x=

例1已知函數(shù)y=sin（2x+φ）圖像的一條對稱軸在區(qū)間內(nèi)，則滿足此條件的一個φ值為（ ）。

解：令2x+φ=解得x

問題2：如何求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）與y=Acos（ωx+φ）的對稱中心？

答：與正弦曲線、余弦曲線一樣，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）圖像的對稱中心，即為函數(shù)圖像與x軸的交點。

函數(shù)y=Asin（ωx+φ）對稱中心的求法：令sin（ωx+φ）=0，得ωx+φ=kπ（k∈Z），則所以函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像關(guān)于點Z）成中心對稱。

函數(shù)y=Acos（ωx+φ）對稱中心的求法：令cos（ωx+φ）=0，得ωx+φ=kπ+π 2（k∈Z），則（k∈Z），所以函數(shù) y=Acos（ωx+φ）的圖像關(guān)于點成中心對稱。

例2已知函數(shù)（ω＞0）的最小正周期為π，則該函數(shù)圖像（ ）。

問題3：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像的對稱性，一般可用到哪些重要結(jié)論？

答：函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖像的對稱性有以下結(jié)論：①函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖像關(guān)于點（x0，0）中心對稱，當(dāng)且僅當(dāng)f（x0）=0時成立。②函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖像關(guān)于直線x=x0對稱，當(dāng)且僅當(dāng)f（x0）=A 或f（x0）=-A 時成立。上述結(jié)論，若換成函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）同樣成立。

例3（1）已知函數(shù)f（x）=a2sin2x+（a-2）cos2x的圖像關(guān)于點中心對稱，求a的值。

（2）已知函數(shù)f（x）=a2sin2x+（a-2）·cos2x的圖像關(guān)于直線對稱，求a的值。

解：由函數(shù)f（x）=a2sin2x+（a-2）·cos2x的圖像關(guān)于點中心對稱，可得所以a=2。

例4已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的最小正周期是π，若將函數(shù)f（x）的圖像向右平移個單位后得到的函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，則函數(shù)f（x）的圖像（ ）。

解：由f（x）的最小正周期為π，可得=π，即ω=2，所以函數(shù)f（x）的圖像向右平移個單位后得到函數(shù)g（x）=的圖像。又g（x）的圖像關(guān)于原點對稱，所以可得Z）。由可得Z），所以故函數(shù)f（x）=