三維耗散型電流體動力學系統(tǒng)在齊次Triebel-Lizorkin空間中的BKM型爆破準則*

李秀蓉， 梁洪

(西北農林科技大學理學院，陜西 楊凌 712100)

本文主要研究一類來源于電流體動力學中刻畫帶電離子漂移、擴散和對流現(xiàn)象的數(shù)學模型。該模型中流體的運動由含源項的不可壓Navier-Stokes方程刻畫, 而帶電離子的運動由Poisson-Nernst-Planck方程給出，具有強非線性，奇異性和強耦合性，其三維初值問題如下：

(1)

其中，u=(u1,u2,u3)和π分別表示流體的速度場和壓力場，ψ表示電子靜電勢，v和w分別表示流體中帶正電荷和負電荷離子的密度函數(shù)。為簡單起見，我們已經假設流體密度、粘性系數(shù)、電荷遷移率和介電常數(shù)均為1。

系統(tǒng)(1)由Rubinstein于20世紀末在文獻[1]中首次提出，主要用來刻畫等溫不可壓粘性流體中電場和流場間的相互作用和發(fā)展演變原理。2002年，基于Kato半群理論，Jerome在文獻[2]中建立了系統(tǒng)(1)局部光滑解的適定性理論。隨后，諸多學者考慮了系統(tǒng)(1)在各種初邊值條件下的弱解問題，得到了與不可壓Navier-Stokes方程類似的一些結果。例如：Schmuck在文獻[3]中利用能量不等式和Schauder不動點定理，針對NSPNP系統(tǒng)的Neumann 初邊值問題，證明了三維整體弱解的存在性以及若干唯一性和正則性結果。隨后，Jerome和Sacco在文獻[4]中利用Rothe半離散化方法對NSPNP系統(tǒng)的混合邊界問題建立了任意維空間中整體弱解的存在性。Ryham在文獻[5]中研究了賦予No-flux邊界條件的NSPNP系統(tǒng)初邊值問題二維弱解的整體存在性、唯一性和正則性以及三維情形下小穩(wěn)態(tài)解附近整體弱解的存在性。另一方面，對于系統(tǒng)(1)的初值問題，Zhao等在文獻[6-8]中建立了其在臨界Lebesgue空間、負數(shù)階臨界Besov空間和Besov-Triebel-Lizorkin空間中的局部適定性和小初值問題的整體適定性，并建立了自相似解的存在性及其漸近穩(wěn)定性。特別地，他們還建立了在臨界Besov空間中的最優(yōu)衰減估計。但是注意到，由于Navier-Stokes方程是系統(tǒng)(1)的子系統(tǒng)(此時v=w=ψ=0)，所以類似于Navier-Stokes方程，三維情形下系統(tǒng)(1)整體弱解的正則性和唯一性或局部光滑解是否在有限時間發(fā)生爆破仍然是電流體動力學中極具挑戰(zhàn)性的問題。針對整體弱解的正則性和唯一性問題, Fan等在文獻[9-11]和Zhao在文獻[12]中分別建立了系統(tǒng)(1)三維整體弱解若干與速度場相關的正則性準則和唯一性準則；Zhao在文獻[13]中建立了系統(tǒng)(1)三維整體弱解在齊次Besov空間中與壓力場相關的對數(shù)型正則性準則。

本文主要考慮系統(tǒng)(1)局部光滑解的爆破問題。最近在文獻[14]中，Zhao-Bai建立了系統(tǒng)(1)局部光滑解的BKM型爆破準則和Prodi-Serrin型爆破準則。特別地，他們還建立了如下改進的BKM型爆破準則：若系統(tǒng)(1)的局部光滑解(u,v,w)在時刻T*發(fā)生爆破，則一定有

(2)

1 定理的提出

(3)

注1 在定理1的假設條件下，如果對某個時間0

(4)

則局部光滑解(u,v,w)可以延拓至時間T。

注2 在文獻[15]中, Dong-Zhang建立了Navier-Stokes方程局部光滑解關于速度場水平分量的爆破準則，即如果

(5)

2 預備知識

對于更一般的情形f∈S′(R3)，其Fourier變換可由標準的對偶方法來定義，即

?ξ∈R3{0}

基于上述φ的構造，令φj(ξ)=φ(2-jξ)，h(x)=F-1(φ)(x),其中F-1表示Fourier逆變換。 則對任意的f∈S′(R3),我們定義二進制分解算子Δj和Sj如下:

其中，

最后，我們給出證明定理1需要用到的Bernstein不等式。

引理1[16](Bernstein不等式) 對任意f∈S′(R3)，任意非負整數(shù)k，任意實數(shù)對(p,q)滿足1≤p≤q≤∞，存在常數(shù)C，有如下不等式成立：

3 定理1的證明

我們利用反證法來證明定理1，即假設(3)不成立，則存在正常數(shù)K，有

(6)

基于文獻[14]中的定理1.4的證明，為證明定理1，我們只需推導出如下估計：

(7)

其中，常數(shù)C0僅僅依賴于初值

T和K。

首先，由文獻[14]可知，在定理1的假設條件下，帶電離子密度函數(shù)v,w≥0，且對任意0≤t≤T，有如下的能量不等式成立：

(8)

(9)

?3u3=-(?1u1+?2u2)，ω3=?1u2-?2u1

則I1可表示為

于是，我們有

(10)

從而由(10)可得

(11)

為估計I1，一方面，由Biot-Savart定律可知：

其中，

表示Riesz算子。另一方面，由于Riesz算子是L2(R3)上的有界線性算子，因此有下面估計成立：

(12)

下面我們估計I1。對I11，由 H?lder不等式，Bernstein不等式和式(12)可推得

(13)

可得

(14)

(15)

結合式(13)～(15)，我們得到了I1的估計?，F(xiàn)將這些估計代入(11)，有

(16)

對I2，利用式(1)的第五個方程，能量不等式，Gagliardo-Nirenberg不等式及式(12)可得

(17)

將式(16)和式(17)代入式(9)，我們有

(18)

則由(18)可得

(19)

應用Gronwall不等式，我們有

即

從而由(19)可知u∈L∞(0,T;H1(R3))∩L2(0,T;H2(R3))，即式(7)成立。定理1證畢。