伯努利雙紐線右半有界區(qū)域內(nèi)廣義解析函數(shù)類的三階Hankel行列式*

湯獲，張海燕，牛瀟萌

(赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

設(shè)C表示復(fù)平面，A表示在單位圓盤D={z:|z|<1}內(nèi)解析且適合如下形式

(1)

的函數(shù)類。

設(shè)函數(shù)f(z),g(z)在單位圓盤D內(nèi)解析，如果存在D內(nèi)的Schwarz函數(shù)ω(z)，滿足ω(0)=0，|ω(z)|<1，使得f(z)=g(ω(z))，則稱f(z)從屬于g(z)，記為f(z)g(z)(見文[1-2])。

用P表示在單位圓盤D內(nèi)具有如下形式

p(z)=1+p1z+p2z2+

(2)

且滿足條件Re(p(z))>0的解析函數(shù)族。若p(z)∈P，則|pn|≤2(n=1,2,)(見文獻(xiàn)[2])。

1996年，Sokol 和 Stankiewicz在文[3]中引入了伯努利雙紐線右半有界區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)類SR*，并討論了該類函數(shù)的凸半徑問題。

定義1 設(shè)SR*表示定義如下

圖1 函數(shù)類SR*的圖像(其中Fig.1 The graph of the function classSR*

(3)

{ω∈C:Reω>0,|ω2-1|<1}的伯努利雙紐線右半有界區(qū)域內(nèi)(見圖2)。

圖2 函數(shù)類的圖像

圖3 函數(shù)類的圖像

1976年，Noonan和Thomas 在文[4]中引進(jìn)函數(shù)f的q階Hankel行列式Hq(n)，其定義如下：

其中n≥1，q≥1。

特別地，若f∈A,a1=1，則有

1 若干引理

為了證明本文主要結(jié)論，我們需要如下引理。

引理1[17]如果p(z)∈P適合式(2)，則有

(4)

且

(iv)如果υ=1，則當(dāng)且僅當(dāng)p(z)是使得υ=0時(shí)等號(hào)成立的函數(shù)的倒數(shù)。

引理2[17]如果p(z)∈P適合式(2)，則對(duì)于任一復(fù)數(shù)υ，有

引理3[18]如果p(z)∈P適合式(2)，則存在復(fù)數(shù)x,z滿足|x|≤1,|z|≤1,使得

2 主要結(jié)果及其證明

且

并且這些結(jié)果都是精確的。

(5)

利用式(5)和從屬關(guān)系，有

(6)

定義函數(shù)

顯然，p(z)∈P，這意味著

(7)

綜合式(6)和式(7)，可得

而

1+(1+λ)a2z+(1+2λ)a3z2+

(1+3λ)a4z3+

分別比較上兩式中z,z2和z3的系數(shù)，并經(jīng)簡單計(jì)算可得

機(jī)組電源由于發(fā)電機(jī)輸出受電機(jī)磁通限制等一系列因素制約，輸出頻域不可能太廣。而對(duì)于電力電子變頻器為核心的靜態(tài)變頻電源而言，可以輕松實(shí)現(xiàn)寬頻域輸出。例如，本廠重型試驗(yàn)站和18 000 kW試驗(yàn)站均實(shí)現(xiàn)了1～120 Hz輸出或者12～80 Hz正弦滿容輸出，而風(fēng)電試驗(yàn)站和直流試驗(yàn)站的機(jī)組電源設(shè)計(jì)上均只能滿足45～65 Hz滿容輸出。

(8)

(9)

(10)

進(jìn)一步，根據(jù)式(6)和式(7)，有

再用引理1，可得

定理1證畢。

證明由于

(11)

(12)

證明由式(8)-式(10)，有

設(shè)p1=c∈[0,2]，|x|=t∈[0,1]，則由三角不等式及引理3，可得

|32c(1 + 2λ)2(4-c2)(1-t2) + 8λ2(4-c2)c2t+

16(4 + 16λ+ 12λ2+λ2c2)(4-c2)c2t2+

(1 + 4λ+ 5λ2)c4|

記

[32c(1+2λ)2(4-c2)(1-t2)+

8λ2(4-c2)c2t+16(4+16λ+12λ2+λ2c2)

(4-c2)c2t2+(1+4λ+5λ2)c4]

假設(shè)F(c,t)在矩形區(qū)域[0,2]×[0,1]的內(nèi)部點(diǎn)存在上界，將上式關(guān)于t求導(dǎo)，有

[32(4+16λ+12λ2+λ2c2)(4-c2)c2t-

64c(1+2λ)2(4-c2)t]

maxF(c,t)=F(c,1)=

[8λ2(4-c2)c2+16(4+16λ+12λ2+λ2c2)·

(4-c2)c2+(1+4λ+5λ2)c4]

令

[8λ2(4-c2)c2+16(4+16λ+12λ2+λ2c2)·

(4-c2)c2+(1+4λ+5λ2)c4]

則

[190λ2c-96λ2c3-32(4+16λ+12λ2+λ2)c+

4(1+4λ+5λ2)c3]

[190λ2-288λ2c2-32(4+16λ+12λ2+λ2)+

12(1+4λ+5λ2)c2]

因?yàn)閏=0是G′(c)=0的根，且G′′(c)<0，所以函數(shù)G(c)在c=0處取得最大值。 綜上可知，函數(shù)F(c,t)在t=1，c=0處取得最大值，即有

定理3得證。

(13)

證明由式(8)-式(10)，有

設(shè)p1=c∈[0,2]，|x|=t∈[0,1]，則由三角不等式及引理3，可得

|16(1+λ)(1+2λ)(4-c2)(1-t2)+

(8+24λ+8λ2)(4-c2)ct+8(1+λ)(1+2λ)·

(4-c2)ct2+(2+6λ+2λ2)c3|

記

[16(1+λ)(1+2λ)(4-c2)(1-t2)+

(8+24λ+8λ2)(4-c2)ct+8(1+λ)·

(1+2λ)(4-c2)ct2+(2+6λ+2λ2)c3]

假設(shè)F1(c,t)在矩形區(qū)域[0,2]×[0,1]的內(nèi)部點(diǎn)存在上界，將上式關(guān)于t求導(dǎo)，有

[(8+24λ+8λ2)(4-c2)c+

16(1+λ)(1+2λ)(4-c2)ct-

32(1+λ)(1+2λ)(4-c2)t]

maxF1(c,t)=F1(c,0)=

令

G1(c)=

則

定理4得證。

(14)

(15)

(16)

[(1-λ)f(z)+λzf′(z)]2=z2(1+ω(z))

其中ω(z)是Schwarz函數(shù)且滿足

ω(0)=1,|ω(z)|<1,z∈D

[(1-λ)f(z)+λzf′(z)]2=

[z+(1+λ)a2z2+(1+2λ)a3z3+

(1+3λ)a4z4+]2

所以有

[z+(1+λ)a2z2+(1+2λ)a3z3+

分別比較上式中z3,z4,z5,z6的系數(shù)，并經(jīng)簡單計(jì)算可得

又因?yàn)閨ω(z)|<1，|z|≤1，|Cn|≤1，故

定理5得證。

|H3(1)|≤

證明由于

故由三角不等式，可得

(17)

將式(11)～(16)代入式(17)，即得定理6。