一維可壓縮Navier-Stokes方程組趨向于接觸間斷波的零耗散極限

張思娜,鄭李云,陳正爭

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽合肥 230601)

1 引言

考慮如下一維非等熵的可壓縮Navier-Stokes方程組

其中v,u,θ,p,e分別表示流體的比容、速度、溫度、壓強和內(nèi)能,μ,κ分別是粘性系數(shù)和熱傳導(dǎo)系數(shù).

本文假設(shè)粘性系數(shù)μ是熱傳導(dǎo)系數(shù)κ的同階或高階函數(shù),且流體壓強p和內(nèi)能e由下式給出

其中R>0是氣體常數(shù),γ>1是絕熱指數(shù).

對于理想流體,即μ=0,κ=0,方程組(1.1)退化為如下可壓縮Euler方程組

本文考慮方程組(1.1)當(dāng)μ→0,κ→0時的零耗散極限問題,并且期望方程組(1.1)的光滑解趨向于相應(yīng)的Euler方程組(1.3)的Riemann問題的解.假設(shè)方程組(1.3)具有如下Riemann初值

其中v±>0,θ±>0,u±∈R為給定的常數(shù).眾所周知,當(dāng)

時,Riemann問題(1.3)–(1.4)具有如下接觸間斷解

對于可壓縮Navier-Stokes方程組(1.1),構(gòu)造接觸間斷波(vcd,ucd,θcd)(t,x)的一個光滑逼近(ˉv,ˉu,ˉθ)(t,x),稱之為“粘性接觸波”.類似于文獻[3],我們希望(ˉv,ˉu,ˉθ)(t,x)的壓強接近于一個特定常數(shù),即

這表明,當(dāng)不考慮高階項時,能量方程(1.1)3可寫成

將(1.7)式代入(1.8)式中,可得到一個非線性擴散方程

其中c1,c2為兩個僅依賴與θ?和?δ的正常數(shù).

有了Θ(t,x)的定義后,可以定義粘性接觸波(ˉv,ˉu,ˉθ)(t,x)如下:

從而(ˉv,ˉu,ˉθ)滿足

且

本文的主要結(jié)果如下.

定理 1.1假設(shè)常數(shù)狀態(tài) (v±,u±,θ±)滿足(1.5),(vcd,ucd,θcd)(t,x)是Euler方程組的黎曼問題(1.3)–(1.4)的一個接觸間斷解,且(ˉv,ˉu,ˉθ)(t,x)是由(1.11)給出的對應(yīng)于(vcd,ucd,θcd)(t,x)的粘性接觸波.進一步假設(shè)粘性系數(shù)μ是熱傳導(dǎo)系數(shù)κ的同階或高階函數(shù),并且可壓縮Navier-Stokes方程組(1.1)的初始值與(ˉv,ˉu,ˉθ)(t,x)的初始值相同.那么存在常數(shù)κ0>0,使得當(dāng)0<κ≤κ0時,方程組(1.1)存在唯一的整體光滑解(v,u,θ)(t,x),滿足對任意的常數(shù)T>0及h>0,有

其中C是一個不依賴于κ的正常數(shù).

注1.1在定理1.1中,接觸間斷波(vcd,ucd,θcd)(t,x)的強度|只要求是有限的,而不需要任何小性條件.

注1.2在文獻[1,2]中,作者研究了可壓縮Navier-Stokes方程組(1.1)的解趨向于接觸間斷波(vcd,ucd,θcd)(t,x)的零耗散極限,并且證明了方程組(1.1)的解趨向于接觸間斷波的收斂率分別為在定理1.1中,得到了一個更快的收斂率(見(1.15)式),因此在這種意義上,改進了文[1,2]中的主要結(jié)果.

下面簡要地回顧已有的相關(guān)結(jié)果,并且指出本文證明的主要思想.目前關(guān)于可壓縮流體力學(xué)方程趨向于基本波的零耗散極限問題已有許多結(jié)果.在不考慮初始層的情形下,Goodman和Xin[5]研究了粘性守恒律方程組趨向于無粘激波的粘性消失極限.后來,Yu[6]考慮了具有初始層的粘性守恒律方程組趨向于無粘激波的粘性消失極限問題.當(dāng)可壓縮Euler方程組存在一個激波解時,Hof f和Liu[7],Wang[8]以及Wang[9]證明了一維可壓縮Navier-Stokes方程組趨向于激波的粘性消失極限.Xin[10]研究了一維等熵的可壓縮Navier-Stokes方程組趨向于稀疏波的零耗散極限問題,并且得到了解在初始時間t=0以外的關(guān)于粘性系數(shù)的收斂率.后來,Jiang[11],以及Xin和Zeng[12]將文[10]中的結(jié)果分別推廣到非等熵的可壓縮Navier-Stokes方程組以及Boltzmann方程的情形.Ma[1,2]研究了一維非等熵的可壓縮Navier-Stokes方程組趨向于強接觸間斷波的零耗散極限,并且得到了收斂率.關(guān)于可壓縮流體力學(xué)方程趨向于復(fù)合波的零耗散極限問題,讀者可參見文獻[3,13–16]以及其中的參考文獻.

本文的主要目的在于改進文[1,2]中的收斂率.在文[1,2]中,作者在先驗假設(shè)

下,利用基本能量方法證明了一維非等熵的可壓縮Navier-Stokes方程組的解趨向于接觸間斷波的收斂率分別為這里ε>0是一個充分小的正常數(shù).與文[1,2]中的分析相比,在本文中,我們利用一個依賴于熱傳導(dǎo)系數(shù)κ的先驗假設(shè)(2.6),以及一些更加精細(xì)的能量估計得到了一個更快的收斂率κ78. 特別地,我們證明了擾動函數(shù) (φ,ψ,ζ)(τ,y)的估計為Cκ(C>0為正常數(shù)),這比文[1,2]中相應(yīng)的結(jié)果更優(yōu)(見以下引理2.2).

本文的結(jié)構(gòu)安排如下.在第二節(jié)中,首先將Navier-Stokes方程組(1.1)的解在粘性接觸波附近作擾動,從而得到擾動方程組;然后證明擾動方程組解的先驗估計;最后給出主要定理1.1的證明.

記號在本文中,a=(ai)表示Rn中的向量是矩.C表示某個常數(shù),且它在不同的能量估計中可能會改變.Lp(R)(1≤p≤+∞)表示通常的Lebesgue空間,Hl(R)是通常的l階-Sobolve空間,其范數(shù)為

2 主要結(jié)果的證明

2.1 問題的轉(zhuǎn)化

首先,假設(shè)方程組(1.1)的初始值與粘性接觸波(ˉv,ˉu,ˉθ)(t,x)的初始值相同,即(v,u,θ)(0,x)=(ˉv,ˉu,ˉθ)(0,x).定義擾動函數(shù)(φ,ψ,ζ)(t,x)為

則由(1.1)和(1.13)式可得

作如下坐標(biāo)變換

則方程組(2.2)可改寫成如下形式

其中τ0

Cauchy問題(2.4)的局部解的存在唯一性可類似于文[17]得到.為簡潔起見,在此省略其證明.為了得到Cauchy問題(2.4)的整體解,需要建立其解的一定形式的能量估計.

2.2 先驗估計

在這一小節(jié)中,將證明Cauchy問題(2.4)解的如下先驗估計.

命題 2.1(先驗估計)在定理1.1的條件下,假設(shè)(φ,ψ,ζ)∈ X(τ0,τ2)為Cauchy問題(2.4)的解,其中τ0<τ2≤τ1,并且滿足如下先驗假設(shè)

那么存在兩個不依賴于κ和τ2的正常數(shù)κ0和C0>0,使得當(dāng)0<κ≤κ0時,對任意的τ∈ [τ0,τ2]成立

在證明命題2.1之前,由先驗假設(shè)(2.6)及Sobolev不等式

得

此外,利用κ的小性有

及

命題2.1可由下面的一系列引理得到.對于低階估計,有

引理2.1在命題2.1的假設(shè)下,存在兩個不依賴于κ和τ2的正常數(shù)κ1和C1,使得當(dāng)0<κ≤κ1時,有

引理2.1的證明與文獻[1]中引理3.1的證明完全類似,其詳細(xì)過程在此省略.下面開始作高階能量估計.

引理2.2在命題2.1的假設(shè)下,存在兩個不依賴于κ和τ2的正常數(shù)κ2和C2,使得當(dāng)0< κ ≤ κ2時,對任意的 τ∈ [τ0,τ2]有

證為方便起見,記M=(v,u,θ)(x,t),ˉM=(ˉv,ˉu,ˉθ)(x,t),則方程組(1.1)可改寫為

其中

因此(1.13)式可以改寫為

其中ˉF=(0,0,R2)t.現(xiàn)在定義矩陣?A(M)為

其中

令W=M?ˉM,則由(2.15)–(2.17)式可推出

其中

將(2.18)式關(guān)于y求導(dǎo),再將所得方程乘以Wy,并在R上關(guān)于y求積分得

這里 h·,·i 表示 R3上的內(nèi)積,且

現(xiàn)在來逐項估計Ii,i=1,2,3,4.首先由(1.11),(2.1),(2.4),(2.5)及(2.10)–(2.12)式,有

類似地有

對于I4,有

利用Cauchy不等式,(2.5)式和引理3.1,有

由ˉM的定義,Cauchy不等式,(2.5)式和引理3.1得

聯(lián)立 (2.25)–(2.28) 式得

類似于I42的估計有

利用分部積分,Cauchy不等式以及(2.10)–(2.12)式可得

同理可得

將(2.24),(2.29)–(2.32)式代入(2.23)式得

聯(lián)立(2.19),(2.20)–(2.22)和(2.33)式,利用κ的小性有

將上式在 [τ0,τ]上積分,則有

將(2.35)式代入(2.34)式中,且令κ充分小,可以得到(2.13)式.引理2.2證畢.

類似于引理2.2的證明,可得

引理2.3在命題2.1的假設(shè)下,存在兩個不依賴于κ和τ2的正常數(shù)κ3和C3,使得當(dāng)0< κ ≤ κ3時,對任意的 τ∈ [τ0,τ2]有

令 κ0=min{κ1,κ2,κ3} 以及C0=max{C1,C2,C3},由引理 2.1–2.3 可得命題 2.1.

2.3 定理1.1的證明

現(xiàn)在開始證明本文的主要定理.

定理1.1的證明 由于命題2.1已證,可以選取(2.7)–(2.8)式中的κ充分小,使得這樣就封閉了先驗假設(shè)(2.6)式.再由標(biāo)準(zhǔn)的連續(xù)性技巧,可以將局部解延拓到τ=τ1時刻.此外,估計式(2.7)–(2.8)對τ2=τ1時刻也成立,即

從而對任意的常數(shù)T>0,由(2.37)–(2.38)式及Sobolev不等式得

又由(1.10)式可得

因此由(2.39)和(2.40)式可推出

這樣就證明了(1.15)式.定理1.1證畢.