“ 圓 ”源不斷

吳曉剛

在每年的中考數(shù)學(xué)大戲里，圓都是重頭戲。有關(guān)圓的中考試題很多來(lái)源于教材，下面，我們擷取兩例，以幫助同學(xué)們固本清源。

【原題再現(xiàn)】蘇科版九（上）57頁(yè)例2：

如圖1，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，∠ACD=60°，∠ADC=50°，求∠CEB的度數(shù)。

圖1

【解析】連接DB。AB是⊙O的直徑，根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”，可得∠ADB=90°，再 由 ∠ADC=50°可 得 ∠CDB=40°。 ∠ACD，∠ABD都是︵AD所對(duì)的圓周角，根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等”，可得∠ACD=∠ABD=60°，最后利用外角性質(zhì)，可得∠CEB=∠ABD+∠EDB=60°+40°=100°。

【點(diǎn)評(píng)】本題意圖是讓同學(xué)們掌握?qǐng)A周角定理，學(xué)會(huì)通過(guò)構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角來(lái)解決圓中的角度問(wèn)題。一條弦所對(duì)的弧有兩條，本題還可以利用另一個(gè)半圓上的點(diǎn)C，連接BC，構(gòu)造直角∠ACB來(lái)解決。

變式1 如圖2，AD為△ABC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD=50°，則∠ACB= 。

圖2

【解析】連接BD。由AD為△ABC的外接圓⊙O的直徑可得∠ABD=90°，若∠BAD=50°，則∠D=90°-∠BAD=90°-50°=40°，所以∠ACB=∠D=40°。

【點(diǎn)評(píng)】本題是教材例題的翻版，只是對(duì)圖形結(jié)構(gòu)進(jìn)行了異化，單純考查圓周角的知識(shí)，突出了“遇到直徑，構(gòu)造直角”的轉(zhuǎn)化方法。

變式2 如圖3，AC為⊙O的直徑，點(diǎn)B在圓上，OD⊥AC交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，∠BDO=15°，則∠ACB= 。

圖3

【解析】連接DC。由OD⊥AC，OD=OC，可得∠ODC=45°，又∠BDO=15°，則∠BDC=30°。根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等”，可得∠A=∠BDC=30°。由AC為⊙O的直徑可得∠ABC=90°，并由此求得∠ACB=60°。

【點(diǎn)評(píng)】本題的突破口是由“OD⊥AC”構(gòu)造出一個(gè)等腰直角三角形。如果連接AD，再利用弧AB轉(zhuǎn)化圓周角，亦可構(gòu)造求解。

【原題呈現(xiàn)】蘇科版九（上）93頁(yè)第16題：

如圖4，在△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F。若BD=6，AD=4，求⊙O的半徑r。

圖4

【解析】連接OE、OF，可得四邊形OECF是正方形，設(shè)OE=OF=CE=CF=r。由切線長(zhǎng)定理可得 BD=BE=6，AD=AF=4，則 BC=6+r，AC=4+r，再根據(jù)勾股定理，可得（6+r）2+（4+r）2=102，整理得r2+10r-24=0，解得r=2或-12（不合題意，舍去）。

【點(diǎn)評(píng)】本題是教材中的一個(gè)習(xí)題，圖形的基本框架是直角三角形內(nèi)切圓，主要考查了切線長(zhǎng)定理。解題的關(guān)鍵是在直角三角形中，以內(nèi)心、直角頂點(diǎn)、兩直角邊的切點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造正方形這個(gè)基本圖形，再運(yùn)用勾股定理、方程思想即可求解。

變式1 在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=8，CB=6，則△ABC內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為 。

圖5

【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=8，CB=6，則AB=10。如圖5，連接OE、OF，可得四邊形OECF是正方形。設(shè)OE=OF=CE=CF=r，則AD=AE=8-r，BD=BF=6-r，列方程，得（8-r）+（6-r）=10，解得r=2，則△ABC內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為4π。

【點(diǎn)評(píng)】本題的主體還是直角三角形內(nèi)切圓，圖形結(jié)構(gòu)與教材原題無(wú)異，只是計(jì)算與方程的建立是原題的逆向應(yīng)用。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的同學(xué)可以直接利用直角三角形內(nèi)切圓半徑公式（S是△ABC的面積，a、b為直角邊，c為斜邊）得到答案。

變式2 結(jié)果如此巧合！下面是小穎對(duì)一道題目的解。

題目 如圖6，Rt△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點(diǎn)D，AD=3，BD=4，求△ABC的面積。

圖6

解：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)E、F，CE的長(zhǎng)為x。

根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x。

根據(jù)勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2。

整理，得x2+7x=12.=12

小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3×4，即△ABC的面積等于AD與BD的積。這僅僅是巧合嗎？

請(qǐng)你幫她完成下面的探索。

已知：△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點(diǎn)D，AD=m，BD=n。

可以一般化嗎？

（1）若∠C=90°，求證：△ABC的面積等于mn。

倒過(guò)來(lái)思考呢？

（2）若AC·BC=2mn，求證：∠C=90°。

改變一下條件……

（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面積。

【解析】設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)E、F，CE的長(zhǎng)為x，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得：AE=AD=m，BF=BD=n，CF=CE=x。

證明：（1）如圖7，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得（x+m）2+（x+n）2=（m+n）2，整理，得x2+（m+n）x=mn，所以S=AC·BC=（x+m）（x+△ABCn）=x2+（m+n）x+mn］mn+mn）=mn。

圖7

證明：（2）由AC·BC=2mn，得（x+m）（x+n）=2mn，整理，得x2+（m+n）x=mn，∴AC2+BC2=（x+m）2+（x+n）2=2［x2+（m+n）x］+m2+n2=2mn+m2+n2=（m+n）2=AB2，根據(jù)勾股定理逆定理可得∠C=90°。

解：（3）如圖8，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，在Rt△ACG中，AG=AC·sin60°=x+m），CG=

在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理可得［3

2

（x+m）］2+［（x+n）-x+m）］2=（m+n）2，整理，得

x2+（m+n）x=3mn，∴S△ABC=BC·AG=×（x+n）·x+m）=x2+（m+n）x+mn］=（3mn+mn）=3mn。

圖8

【點(diǎn)評(píng)】本題是南京市中考數(shù)學(xué)的壓軸題，此題是對(duì)教材習(xí)題的深度挖掘。做這道中考題，同學(xué)們更應(yīng)該汲取的是其中的學(xué)習(xí)方法。研究一個(gè)問(wèn)題要從特殊到一般，思考不受局限，運(yùn)用多種角度、逆向思維，會(huì)有很多精彩的發(fā)現(xiàn)。事實(shí)上，本題可以進(jìn)一步推廣到一般三角形中：△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點(diǎn)D，AD=m，BD=n，∠C=α，則S△ABC=，同學(xué)們到了高中可以進(jìn)一步驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論。