理解本質(zhì) 抓住特征 厘清關(guān)系

吳玲芳

我們學(xué)習(xí)了與圓有關(guān)的一些概念以及圓的性質(zhì)，并運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，在此過(guò)程中，容易混淆一些概念和知識(shí)點(diǎn)，在解題時(shí)也較容易出錯(cuò)。我們要理解它們的本質(zhì)，并理清部分知識(shí)之間的區(qū)別和聯(lián)系，為正確解答、靈活運(yùn)用做好準(zhǔn)備。

一、易混概念剖析

1.圓的定義。

圓的描述性定義：在平面內(nèi)，把線段OP繞著端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)1周，端點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形叫做圓?！霸谄矫鎯?nèi)”不能漏，否則，旋轉(zhuǎn)1周后的圖形不一定是圓。

2.同圓、等圓與同心圓。

同圓指的是同一個(gè)圓，而等圓、同心圓都是指兩個(gè)圓。等圓是指半徑相等、圓心不同的兩個(gè)圓；同心圓指的是圓心相同、半徑不同的兩個(gè)圓。

3.等弧與同弧。

等弧指的是能夠重合的弧，同弧指的是同一條弧。等弧只能出現(xiàn)在同圓或等圓中，它們所對(duì)的圓心角的度數(shù)相等，并且弧長(zhǎng)也相等。

4.弦與弧。

連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，弦是直的。圓上任意兩點(diǎn)之間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，弧是圓的一部分，是曲線。

5.等圓與等弧。

它們的共同特征是“能夠互相重合”，它們都是指兩個(gè)圖形。圓是封閉的曲線，弧是圓的一部分。

6.直徑與弦。

直徑是經(jīng)過(guò)圓心的弦，是特殊的弦，是圓中最長(zhǎng)的弦。但弦不一定是直徑。

7.優(yōu)弧、劣弧與半圓。

圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，所以半圓是特殊的弧。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧。優(yōu)弧用三個(gè)字母表示，例如︵CED。劣弧用兩個(gè)字母表示，例如︵BC。半圓既不是優(yōu)弧，也不是劣弧。

8.圓心與圓周角。

頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。二者的差別：圓周角必須滿足兩個(gè)條件，僅有“頂點(diǎn)在圓上”，不能構(gòu)成圓周角。

9.外接圓、內(nèi)切圓、內(nèi)接三角形與外切三角形。

“接”說(shuō)明圓經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，“切”說(shuō)明圓與三角形的各邊相切。“內(nèi)”和“外”是相對(duì)的，以一個(gè)圖形為標(biāo)準(zhǔn)，說(shuō)明另一個(gè)圖形在它的里面或外面。“圓的內(nèi)接三角形”是以圓為標(biāo)準(zhǔn)，三角形在它的里面；“三角形的外接圓”是以三角形為標(biāo)準(zhǔn)，圓在它的外面；“三角形的內(nèi)切圓”是以三角形為標(biāo)準(zhǔn)，圓在它的里面；“圓的外切三角形”是以圓為標(biāo)準(zhǔn)，三角形在它的外面。

10.內(nèi)心、外心與重心。

三角形的內(nèi)心是內(nèi)切圓的圓心，是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。三角形的外心是外接圓的圓心，是三角形角平分線的交點(diǎn)，到三邊的距離相等。三角形的重心是三條中線的交點(diǎn)，把每一條中線分成2∶1的兩部分。

11.切線與切線長(zhǎng)。

切線是一條直線，與已知圓只有一個(gè)公共點(diǎn)。切線長(zhǎng)指的是切線上的一條特殊線段的長(zhǎng)度：在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的切線上，該點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做該點(diǎn)到圓的切線的長(zhǎng)。如圖1，直線PA和直線PB是⊙O的切線，PA=PB，這兩條線段的長(zhǎng)就是P點(diǎn)到⊙O的切線長(zhǎng)。

圖1

12.正多邊形、中心與半徑。

各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形。僅有各邊相等或各角相等，不能判別正多邊形。例如，矩形的各角相等，由于各邊不一定相等，所以不是正四邊形；菱形的各邊相等，但因?yàn)楦鹘遣灰欢ㄏ嗟龋圆皇钦倪呅?。正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。不僅圓有半徑，正多邊形也有半徑。

二、易錯(cuò)點(diǎn)剖析

1.圓的對(duì)稱性。

在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弦、兩條弧中有一組量相等，那么這組量所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。這里一定要有前提“同圓或等圓”，否則結(jié)論不一定成立。例如，圖2中，在兩個(gè)同心圓中，AB=EF，但是弧AB≠弧EF，∠AOB≠∠EOF；在這兩個(gè)同心圓中，∠DOC=∠GOH，但是 CD≠GH，弧 CD≠弧GH。已知兩條弧相等，則其他兩組量一定相等，因?yàn)榈然≈荒艹霈F(xiàn)在同圓或等圓中。

圖2

2.垂徑定理。

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。但是若一條弦被直徑平分，那么它與直徑不一定垂直。從一般情形來(lái)看，如圖3，當(dāng)弦CD被直徑AB平分時(shí)，可利用OD=OC，根據(jù)等腰三角形的三線合一，推得弦CD與直徑AB垂直。但是在特殊情形下（圖4），這條弦CD是特殊的弦——直徑時(shí)，由于任意兩條直徑一定互相平分，所以，它們不一定垂直。

圖3

3.確定圓的條件。

過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)圓；經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)圓，圓心在兩點(diǎn)連線的垂直平分線上；不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，前提是“三點(diǎn)不在同一條直線上”。

4.圓周角定理。

同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。該定理的逆命題是：如果在同圓或等圓中，兩個(gè)圓周角相等，那么這兩個(gè)圓周角所對(duì)的弧也相等或相同。該逆命題是真命題，但是不能直接運(yùn)用。在解題時(shí)，可以通過(guò)圓心角轉(zhuǎn)化，或者先說(shuō)明圓周角的度數(shù)是所對(duì)弧的度數(shù)的一半。

例1 在⊙O中，A、B、C、D都在圓上，已知AC平分∠BAD，求證BC=DC。

【解析】本題考查圓周角定理、圓的對(duì)稱性。

法一：如圖5，因?yàn)锳C平分∠BAD，所以∠1=∠2。由于“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半”，而圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)，所以圓周角的度數(shù)是所對(duì)弧的度數(shù)的一半?？芍?/p>

圖5

法二：如圖6，連接OB、OC、OD，利用圓周角定理，圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半，可得∠BOC=2∠1，∠COD=2∠2，所以∠BOC=∠COD，根據(jù)圓的對(duì)稱性，BC=DC。

圖6

【點(diǎn)評(píng)】由于圓周角定理︵沒(méi)有︵逆定理，所以根據(jù)∠1=∠2，不能直接得到BC=CD，需要通過(guò)“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半”來(lái)轉(zhuǎn)化，或者利用輔助線，通過(guò)圓周角定理、等量代換等來(lái)證明結(jié)論。

5.扇形的弧長(zhǎng)與面積公式。

扇形為l）。第二種方法類似于三角形的面積公式，把扇形的弧長(zhǎng)看成“底”，扇形的半徑看成“高”，S=×底×高，這樣也便于記憶。扇形扇形的弧長(zhǎng)與面積公式較為相似，容易混淆。我們并不需要死記硬背，可以利用扇形和圓的關(guān)系來(lái)推導(dǎo)。若有半徑相同的扇形與圓，則扇形的弧長(zhǎng)是圓的周長(zhǎng)的，扇形的面積是圓的面積的。

圖7

6.圓錐與扇形。

將圓錐沿一條母線剪開(kāi)，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。展開(kāi)后的扇形半徑R是圓錐的母線l母線，扇形的弧長(zhǎng)l弧長(zhǎng)是圓錐底面圓的周長(zhǎng)。為了避免混淆，我們?cè)诹谐龉綍r(shí)，可以在相應(yīng)的字母下面標(biāo)注下標(biāo)。S側(cè)面積=πr底l母線，在具體的問(wèn)題中還要挖掘已知條件中的隱含信息。

例2 一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為R的半圓，那么圓錐的底面圓的半徑是。

【解析】半圓的半徑R是圓錐的母線l母線，半圓的弧長(zhǎng)l弧長(zhǎng)=圓錐底面圓的周長(zhǎng)。設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，由題意可知，所以R=2r

【點(diǎn)評(píng)】本題主要根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖與圓錐底面圓的關(guān)系解答，需要弄清兩個(gè)半徑的不同意義。這里還有個(gè)隱含的信息，就是半圓是特殊的扇形，圓心角為180度。

7.外心的位置。

內(nèi)心只能在三角形的內(nèi)部，當(dāng)問(wèn)題中已知內(nèi)心時(shí)，情況單一。若外心已知，但圖未給出，則我們?cè)诋?huà)圖時(shí)，要注意三角形的外心可能在形內(nèi)、形上或形外，要分類討論。

例3 △ABC的外心為O，且∠BOC=110°，則∠BAC= 。

【解析】本題考查圓的外心的知識(shí)、圓周角定理、分類思想。若點(diǎn)O在△ABC內(nèi)，如圖8，則∠BAC=∠BOC=55°。若點(diǎn)O在△ABC外，如圖 9，則∠BAC=·優(yōu)角∠BOC=×（360°-110°）=125°。所以∠BAC=55°或125°。

圖8

圖9

【點(diǎn)評(píng)】因?yàn)轭}目中未給出圖形，所以需要我們畫(huà)出圖形，根據(jù)外心的可能位置分類討論。我們要考慮是否有多種可能，從而避免漏解。

8.直線與圓相切。

直線與圓相切的判定方法有三種：有唯一公共點(diǎn)；用d與r的關(guān)系來(lái)探求（d是圓心到直線的距離）；直線經(jīng)過(guò)半徑的外端并且與這條半徑垂直。問(wèn)題通常分為兩大類：一是直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，二是直線與圓已知公共點(diǎn)。若沒(méi)有公共點(diǎn)，則過(guò)圓心作直線的垂線，證明d=r。若直線與已知圓有公共點(diǎn)，則連接過(guò)公共點(diǎn)的半徑，證明直線垂直于該半徑。

例4 如圖10，點(diǎn)D是∠AOB的平分線OC上任意一點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥OB于E，以DE為半徑作⊙D，求證：⊙D與OA相切.

圖10

【解析】直線OA與⊙D沒(méi)有已知的公共點(diǎn)，只能利用“圓心D到直線OA的距離等于⊙D的半徑DE”，說(shuō)明⊙D與OA相切。

證明：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OA于F，如圖11?！唿c(diǎn)D是∠AOB的平分線OC上任意一點(diǎn)，DE⊥OB，DF⊥OA，∴DF=DE，即D到直線OA的距離等于⊙D的半徑DE。∴⊙D與OA相切。

圖11

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定與角平分線的性質(zhì)，難度不大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線。既然沒(méi)有給出公共點(diǎn)，則不能連接過(guò)公共點(diǎn)的半徑，運(yùn)用“經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來(lái)證明。我們要學(xué)會(huì)根據(jù)不同類型，選擇恰當(dāng)方法，尤其不要忘記d=r這種基本判別方法。

9.其他兩解情況。

（1）過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的切線，有兩條，不能漏解。

（2）已知兩條平行弦（非直徑），長(zhǎng)度確定，若圖形未給出，則兩條平行弦的位置有兩種情況，兩條弦位于圓心的同側(cè)或位于圓心的兩側(cè)。