基于元胞自動機的傳染病傳播模型研究

吳成來

摘要：文章討論了一種基于元胞自動機的建模方法，并在該模型的基礎上模擬了流感病毒傳播與控制這一復雜的過程。模擬結(jié)果與現(xiàn)實生活中流感病毒的宏觀特征的結(jié)果大致相同，對傳染病的傳播與控制有著一定的參考意義。

關鍵詞：元胞自動機；傳染??；模型；模擬

中圖分類號：TP311 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）09-0185-02

傳染病是由病原體引起的一種具有傳染性的疾病，它主要通過人與人之間的交流、接觸、聯(lián)系來傳播，并且隨著時間、外界干預程度的變化而變化，因此對傳染病傳播的描述和控制是一個十分復雜的研究課題。

20世紀40年代初馮·諾依曼提出了元胞自動機的概念，20世紀80年代S.Wolfram對元胞自動機進行了全面研究。由于元胞自動機具有時間、空間和狀態(tài)都離散的特點，并且能夠以局部規(guī)則同步演化來反映整個系統(tǒng)的復雜變化，這與傳染病的傳播機制十分類似，因此元胞自動機成為研究傳染病傳播的一個重要方法。

1 模型

元胞自動機可以用一個四元組[A=（Ld，S，N，f）]，[A]表示元胞自動機系統(tǒng)，[Ld]表示一個[d]維的網(wǎng)格空間，這里取[d=2]，每一個網(wǎng)格單元就是一個元胞，[S]是離散集合，表示各個元胞的狀態(tài)，[N]表示元胞的鄰居集合，[f]是局部演化規(guī)則，就是根據(jù)[t]時刻某個元胞所有鄰居的狀態(tài)組合確定[t+1]時刻該元胞的狀態(tài)值。本文采用的是Moore鄰居，如圖1所示。

根據(jù)傳染病在人群中傳播的特點，將傳染病傳播中的人群分為三類：易感染者（S）、染病者（I）、免疫者（已經(jīng)治愈或死亡）（R）。從一輪病毒開始爆發(fā)，到治愈，再到新一輪的病毒開始肆虐，其狀態(tài)可以用圖2表示。

考慮一個2維的網(wǎng)格，每一個小格子[（i，j）]都有一個人，[Sti，j]表示[t]時刻[（i，j）]處人的狀態(tài)。根據(jù)上面的敘述，[Sti，j]有三個取值。[Sti，j=0]表示個體處于易感染狀態(tài)，還沒有被病毒傳染，不能傳染病毒給和他接觸的人群，但是對病毒沒有免疫力；[Sti，j=1]表示個體處于染病狀態(tài)，已經(jīng)感染了病毒，能把病毒傳染給和他接觸的易感染者，自身也在與病毒的對抗中逐漸產(chǎn)生抗體，到達一定時間后會自己治愈；[Sti，j=2]表示個體已被治愈或者已經(jīng)死亡，不能把病毒傳染給易感染者，自身的免疫力隨著時間的流逝逐漸變差。

對每個元胞引入發(fā)病持續(xù)時間[t（Sti，j）]和免疫力持續(xù)時間[T（Sti，j）]，[tmax，Tmax]分別表示發(fā)病時間和免疫力持續(xù)時間的最大值。

演化規(guī)則：對要模擬的在二維空間進行均勻的網(wǎng)格劃分，每一個小格子就是一個元胞，把所有元胞初始狀態(tài)設為[Sti，j=0]，即所有元胞都認為是易感染者，此時發(fā)病持續(xù)時間[t（Sti，j）=0]。隨機在網(wǎng)格中取很小比例（大概千分之一）的元胞作為感染病毒的患者，病毒感染者所在的網(wǎng)格初始狀態(tài)設[Sti，j=1]，發(fā)病持續(xù)時間[t（Sti，j）=1]。從[t=0]時刻開始，在每個時間步長對所有元胞進行掃描，并以下面的規(guī)則進行狀態(tài)更新。

（1）當[Sti，j=0]時，此時元胞不能傳染被人，但是很容易被別人感染。考慮[（i，j）]處元胞的被它周圍鄰居傳染的概率[pti，j]。該處的元胞以概率[pti，j]被傳染，狀態(tài)由[Sti，j=0]變?yōu)閇Sti，j=1]，發(fā)病持續(xù)時間變?yōu)閇t（Sti，j）=t（Sti，j）+1]。其中[pti，j]的計算公式[2]：

[pti，j=k*（Cti，j-1+Cti，j+1+Cti-1，j+Cti+1，j）4+l*（Cti-1，j-1+Cti+1，j+1+Cti-1，j+1+Cti+1，j-1）4]

其中[k]表示[（i，j）]處元胞的上、下、左、右鄰居對它的影響因子，[l]表示[（i，j）]處元胞的左上、右下、左下、右上鄰居對它的影響因子，且[k>l]。

（2）當[Sti，j=1]時，考慮元胞的發(fā)病持續(xù)時間，若[t（Sti，j）tmax]，此時元胞已經(jīng)自我治愈，狀態(tài)由[Sti，j=1]變?yōu)閇Sti，j=2]，染病時間變?yōu)閇t（Sti，j）=0]，免疫力持續(xù)時間[T（Sti，j）=T（Sti，j）+1]。

（3）當[Sti，j=2]，考慮元胞的免疫力持續(xù)時間[T（Sti，j）]，若[T（Sti，j）>Tmax]，此時元胞的免疫力隨著時間的流逝逐漸消失，變?yōu)橐赘腥菊?，元胞狀態(tài)由[Sti，j=2]變?yōu)閇Sti，j=0]。若[T（Sti，j）

基于以上的演化規(guī)則，網(wǎng)格空間中的所有元胞在每一仿真步都同步更新，局部的元胞相互作用的結(jié)果就是下一仿真步的初始狀態(tài)。

2 仿真結(jié)果與分析

根據(jù)傳染病傳播的人群狀態(tài)，將元胞演化規(guī)則應用到半徑為1的Moore鄰居，對傳染病傳播進行仿真模擬。設定元胞空間為[L×L=100×100]的網(wǎng)格，元胞初始被感染病毒的概率為0.0018。采用2009年6月16日至7月15日發(fā)生在中國大陸的甲型H1N1流感病毒數(shù)據(jù)[6]進行仿真模擬。假設[k=0.5，l=0.2]，發(fā)病持續(xù)時間為7天，康復者的免疫力持續(xù)時間為365天。圖3為40天內(nèi)的模擬仿真數(shù)據(jù)，仿真結(jié)果與實際數(shù)據(jù)基本吻合。

從圖3 可以看到，病毒爆發(fā)初期，流感病毒傳播速度比較快，患者人數(shù)增加迅速，到了后期流感病毒傳播速度下降，患者人數(shù)開始緩慢下降?；颊呷藬?shù)下降的原因，一是隨著醫(yī)療救治的進行，患者被治愈后有免疫力不再被感染；一是到病毒傳播后期，部分患者已經(jīng)死亡，不會再傳染給其他人群。

在現(xiàn)實生活中，大家一旦發(fā)現(xiàn)自己身體不舒服都會走進醫(yī)院，向醫(yī)生尋求幫助，醫(yī)生會對我們進行救治。這里假設醫(yī)生有特效藥物，只要向醫(yī)生求助，患者就會被治愈，因此就減少了發(fā)病的持續(xù)時間。保持初始參數(shù)不變，研究發(fā)病持續(xù)時間對傳染病傳播過程的影響。如圖4所示。

從圖4可以看出，當發(fā)病持續(xù)時間為[T=5]時，染病人數(shù)增加的速度比實際數(shù)據(jù)要小，而且染病人數(shù)也比實際數(shù)據(jù)要少；當發(fā)病持續(xù)時間為[T=9]時，染病人數(shù)增加的速度比實際數(shù)據(jù)要大，而且染病人數(shù)也比實際數(shù)據(jù)要多。病人發(fā)病持續(xù)時間越長，病人在活動期間接觸的易感染者就會越多，導致患者累計數(shù)量增多。因此在傳染爆發(fā)初期就當積極采取有效的方法對患者進行救助，或者對患者進行有效隔離，減少患者與其他人群的接觸，能夠?qū)魅静〉膫鞑テ鸬揭种谱饔谩?/p>

3 總結(jié)

利用元胞自動機建立模型來研究傳染的傳播過程，可以避免傳統(tǒng)微分方程的模型的復雜計算過程，并且比微分方程模型更加直觀、清晰、明了，更便于結(jié)果分析。

參考文獻：

[1] 賀明峰， 鄧成瑞.基于元胞自動機的SARS傳播模型[J].數(shù)學的實踐與認識，2008，38（3）：41-46.

[2] 余雷， 薛慧鋒， 高曉燕，等.基于元胞自動機的傳染病傳播模型研究[J].計算機工程與應用，2007，43（2）：196-198，237.

[3] 游愛麗， 閆萍.基于元胞自動機的甲型H1N1流感病毒的模型[J].新疆大學學報（自然科學版）， 2010，27（1）：56-59.

[4] 鄭三強， 韓曉卓.多因素制約下的SIR傳染病模型的元胞自動機仿真模型研究[J].廣東工業(yè)大學學報， 2018，35（5）：51-59.

[5] 李學偉，吳今培，李雪巖.實用元胞自動機導論[M].北京：北京交通大學出版社，2013.

【通聯(lián)編輯：光文玲】