基于改進區(qū)間值直覺模糊熵的投資方案優(yōu)選

江曉珍

(福州外語外貿(mào)學(xué)院 經(jīng)管學(xué)院， 福州 350202)

自從Zadeh[1]教授提出直覺模糊集理論之后，對其研究就沒有停止過。熵理論始終是模糊理論研究的一個熱點，熵也被廣泛應(yīng)用在模糊集理論中。熵是一種用來表征系統(tǒng)紊亂程度的度量，最早在熱力學(xué)中用來表示物質(zhì)的狀態(tài)，在化學(xué)中也被廣泛應(yīng)用。Zadeh[1]教授將熵的概念引入模糊集(FS)中，對熵進行定義，用來度量模糊集的不確定性程度或模糊程度。熵值越大，模糊集越模糊；熵值越小，模糊集越清晰。熵被廣泛應(yīng)用在多屬性決策中，通過熵權(quán)法的轉(zhuǎn)換后可用于確定屬性權(quán)重或?qū)＜覚?quán)重。此后，有學(xué)者專門研究如何度量模糊集的熵，Luca和Termini[2]給出了構(gòu)建模糊集熵的公理化條件。自從Atanassov[3]在Zadeh教授所定義的模糊集的基礎(chǔ)上定義了直覺模糊集(IFS)之后，研究直覺模糊集的不確定性程度成為一個重要的課題。Szmidt 和Kacprzyk[4]將Luca和Termini提出的模糊集公理化條件擴展到直覺模糊集，給出了構(gòu)建直覺模糊集熵的公理化條件。Burillo and Bustince[4]提出了另外的直覺模糊集的公理化條件。模糊熵只考慮隸屬度和非隸屬度對熵的影響，而直覺模糊熵既考慮隸屬度和非隸屬度對熵的影響，又考慮根猶豫度對直覺模糊熵的影響。因此，相對于模糊熵而言，直覺模糊熵更具合理性和可行性。據(jù)這些公理化條件，許多學(xué)者取得了不少成果，定義了各種不同的熵。例如：魏翠萍等[6]基于三角函數(shù)構(gòu)建了直覺模糊熵；劉滿鳳等[7]用余弦函數(shù)構(gòu)建了直覺模糊熵；尹勝等[8]定義了指數(shù)形式的改進直覺模糊熵，并擴展到區(qū)間值直覺模糊環(huán)境；熊升華等[9]在對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上定義了廣義的直覺模糊熵，考慮了決策者的風(fēng)險態(tài)度；Mao等[10]認為直覺模糊熵由直覺信息(猶豫度)和模糊信息(隸屬度和非隸屬度之差的絕對值)構(gòu)成。Szmidt 和Kacprzyk考慮了模糊信息而忽略了直覺信息，Burillo 和 Bustince考慮了直覺信息而忽略了模糊信息，因此這兩個公理化條件都有其不足之處，據(jù)此提出了改進的直覺模糊熵公理化條件并構(gòu)建包含直覺信息和模糊信息的直覺模糊熵。高明美等[11]針對Szmidt 和 Kacprzyk以及Burillo 和 Bustince的缺陷提出新的公理化條件，構(gòu)建了比較合理的直覺模糊熵。Zhu等[12]也定義了與文獻[11]相同的公理化條件。此外，Szmidt 和 Kacprzyk從直覺模糊集所包含的信息量的角度定義了信息量μ+υ和可靠度|μ-υ|，該理論與Mao等[10]提出的直覺信息和模糊信息的理論一致，可用于直覺模糊熵和區(qū)間值直覺模糊熵的構(gòu)建。

Atanassov 和 Gargov[14]將直覺模糊集擴展到區(qū)間值直覺模糊集，使得人們能更好地對模糊問題進行處理。也有不少學(xué)者對區(qū)間值直覺模糊熵進行了研究。Wei等[15]將直覺模糊集拓展到區(qū)間值直覺模糊集，并給出了區(qū)間值直覺模糊熵公式。Jin等[16]使用連續(xù)有序加權(quán)集結(jié)算子(COWA)構(gòu)造了區(qū)間值直覺模糊連續(xù)熵。高明美等[17]將改進的直覺模糊熵公理化條件拓展到區(qū)間值直覺模糊熵，給出了區(qū)間值直覺模糊集的新的熵。Zhao等[18]基于MULTIMOORA定義了連續(xù)加權(quán)型區(qū)間值直覺模糊熵。

雖然高明美等[11]根據(jù)新的公理化條件構(gòu)建了新的熵，但該熵不能區(qū)分隸屬度為0.5或非隸屬度為0.5時的直覺模糊熵，同樣的情況也存在于文獻[11]構(gòu)建的區(qū)間值直覺模糊熵中。文獻[6-8]不能將隸屬度和非隸屬度相等的直覺模糊熵區(qū)分開來。同樣，文獻[15-17]也不能將隸屬度和非隸屬度相等的區(qū)間值直覺模糊熵區(qū)分開來。為了克服上述缺陷，本文基于高明美等[11]和Zhu等[12]定義的公理化條件，考慮直覺信息(信息缺乏)和模糊信息(信任缺乏)的情況構(gòu)建新的直覺模糊熵和區(qū)間值直覺模糊熵。最后，將新的區(qū)間值直覺模糊熵應(yīng)用于投資方案優(yōu)選。

1 基本知識

下面給出直覺模糊集的一些基本概念。

A={|x∈X}

對于任意的A,B∈IFSs(X)，?x∈X，它們之間的關(guān)系為：

1)A?B當(dāng)且僅當(dāng)μA(x)≤μB(x),υA(x)≥υB(x)；

2)A=B當(dāng)且僅當(dāng)A?B，A?B；

3)A的補集AC={|x∈X}。

為計算直覺模糊集A和B之間的距離，可采用以下的直覺模糊集漢明距離公式[20]進行計算：

直覺模糊熵的構(gòu)建必須滿足一定的公理化條件，本文根據(jù)高明美等[11]和Zhu等[12]提出的下列直覺模糊熵的公理化條件構(gòu)建改進的直覺模糊熵：

(P1)E(A)=0，當(dāng)且僅當(dāng)A是一個清晰集；

(P2)E(A)=1?μA(x)=0,υA(x)=0；

(P3)E(A)=E(Ac)；

(P4) 對于任意的A,B?IFSs，x∈X，E(A)≤E(B)，如果A是B的銳化集，即A?B，μB(x)≤υB(x)或A?B，μB(x)≥υB(x)；

(P5) 當(dāng)πA(x)=πB(x)，|μA(x)-υA(x)|≥|μB(x) -υB(x)|時或當(dāng)|μA(x)-υA(x)|= |μB(x)-υB(x)|，πA(x)≤πB(x) 時，E(A)≤E(B)。

其中：|μA(x)-υA(x)| 為模糊信息；πA(x)為直覺信息[10]。

此外，區(qū)間值直覺模糊熵的構(gòu)建也必須滿足一定的公理化條件，本文根據(jù)高明美等[17]給出的下列區(qū)間值直覺模糊熵的公理化條件構(gòu)建改進的區(qū)間值之間模糊熵：

2 改進的直覺模糊熵

2.1 改進的直覺模糊熵

根據(jù)文獻[11-12]定義的新直覺模糊公理化條件，考慮直覺信息和模糊信息對熵的影響，Szmidt和Kacprzyk[4]從信息量的角度，把μ+υ定義為直覺模糊集所含的信息量的大小，因此猶豫度πA(x)=1-μA(x)-υA(x)可以理解為信息量的缺乏，它同時也是直覺信息。文獻[13]定義了可靠性|μ-υ|，它也是模糊信息，1-|μ-υ|可以理解為可靠性的缺乏。根據(jù)這兩個理論，在同時考慮直覺信息(信息的缺乏)和模糊信息(可靠性的缺乏)的情況下，使用對數(shù)函數(shù)定義新的直覺模糊熵。

定義2對于任意的直覺模糊集A∈IFSs(X)，?x∈X，其熵為：

(1)

其中：1-|μA(x)-υA(x)|為可靠性的缺乏程度；πA(x)為信息量的缺乏程度；e為自然對數(shù)底數(shù)。

定理1式(1)定義的熵E(A)是一個直覺模糊熵。

證明式(1)滿足公理化條件(P1)到(P5)，則E(A)是直覺模糊熵。

(P1) 若A={|x∈X}或A={|x∈X}，

反之，若E(A)=0，則1-|μA(x)-υA(x)|=0或πA(xi)·(1-|μA(xi)-υA(xi)|)+e-1=1，因為0≤1-|μA(x)-υA(x)|≤1，0≤πA(xi)≤1，0|x∈X}或A={|x∈X}。

(P2) 若A={|x∈X}，則

反之，若E(A)=1，因為存在0≤1-|μA(x)-υA(x)|≤1，0≤πA(xi)≤1，0|x∈X}。

(P3) 從A和其補集AC的關(guān)系可知該條件成立。證明過程略。

(P4) 令E(A)=f(x,y)，考慮函數(shù)

f(x,y)=(1-x)ln(xy+e-1)

其中：x=|μA(x)-υA(x)|；y=πA(xi)，0≤x,y≤1。對x求偏導(dǎo)，得

因此，E(A)隨|μA(x)-υA(x)|的增大而減小，隨|μA(x)-υA(x)|的減小而增大。

下面分兩種情況進行討論。

(P5)從(P4)的證明中可知E(A)隨|μA(x)-υA(x)|的增大而減小，隨|μA(x)-υA(x)|的減小而增大，因此當(dāng)πA(x)=πB(x)，|μA(x)-υA(x)|≥|μB(x)-υB(x)|時，E(A)≤E(B)。

與(P4)一樣，令E(A)=f(x,y)，考慮函數(shù)

f(x,y)=(1-x)ln(xy+e-1)

其中：x=|μA(x)-υA(x)|；y=πA(xi)，0≤x,y≤1。對y求偏導(dǎo)，得

可見，E(A)隨πA(x)的增大而增大，隨πA(x)的減小而減小。

由此，當(dāng) |μA(x)-υA(x)|=|μB(x)-υB(x)|，πA(x)≤πB(x) 時，E(A)≤E(B)。

從上述的證明可知：式(1)定義的熵E(A)是一個直覺模糊熵。

2.2 與現(xiàn)有直覺模糊熵的比較

為體現(xiàn)本文中所提出的改進區(qū)間值直覺模糊熵的優(yōu)越性，有必要將其與已有的部分直覺模糊熵進行比較。

從上述的文獻綜述中可以看到：很多學(xué)者根據(jù)直覺模糊熵公理化條件給出了各種不同的熵。Szmidt和Kacprzyk[4]給出的熵為ESK(A)，Burillo and Bustince[4]提出直覺模糊熵為EBB(A)，魏翠萍等[6]構(gòu)建的熵為EWCP(A)，劉滿鳳等[7]用余弦函數(shù)構(gòu)建了直覺模糊熵為ELMF(A)，當(dāng)p=q=1時，熊升華等[9]構(gòu)建的熵為EXSH(A)，高明美等[11]提出的新直覺模糊熵為EGMM(A)，分別如下：

當(dāng)有5個直覺模糊集：

A1={〈x,0.5,0.5〉|x∈X}；A2={〈x,0.3,0.3〉|x∈X}；A3={〈x,0,0〉|x∈X}

A4={〈x,0.5,0.3〉|x∈X}；A5={〈x,0.7,0.1〉|x∈X}

采用上述6個不同的直覺模糊熵公式與本文提出的直覺模糊熵公式計算A1-A5的熵，所得結(jié)果在表1中列出，以方便比較。

從表1中可以看出：ESK(A)、EWCP(A)、ELMF(A)和EXSH(A)不能區(qū)分A1、A2和A3。當(dāng)μA(x)=υA(x)時，ESK(A)、EWCP(A)、ELMF(A)和EXSH(A)都不能將其區(qū)分開來。EBB(A)不能區(qū)A4和A5。EGMM(A)不能區(qū)分A1和A4。通過計算可知，EGMM(A)不能區(qū)分〈0.5,0〉和〈0.5,0.5〉連線上的直覺模糊集的熵，也不能區(qū)分〈0,0.5〉和〈0.5,0.5〉連線上的直覺模糊集的熵。本文提出的直覺模糊熵E(A)能將所有的直覺模糊集的熵區(qū)分開來，因此可以看出：與上述6個直覺模糊熵相比較而言，本文提出的熵E(A)更加合理。

表1 不同直覺模糊熵下的計算結(jié)果

熵ESK(A)EBB(A)EWCP(A)ELMF(A)EXSH(A)EGMM(A)E(A)A1101110.50.541 3A210.41110.580.750 6A31111111A40.714 30.20.965 90.968 60.845 80.50.504 3A50.333 30.20.707 10.7290.433 80.340.234 7

3 改進的區(qū)間值直覺模糊熵

3.1 改進的區(qū)間值直覺模糊熵

將式(1)構(gòu)建的直覺模糊熵擴展到區(qū)間直覺模糊集，得到新的區(qū)間值直覺模糊集。

(2)

f(x,y)=(1-x)ln(xy+e-1)

下面分兩種情況進行討論。

因此，E(A)≤E(B)。

因此，E(A)≤E(B)。

求函數(shù)

f(x,y)=(1-x)ln(xy+e-1)

關(guān)于y的1階偏導(dǎo)，有

圖1 直覺模糊熵

3.2 與現(xiàn)有區(qū)間值直覺模糊熵的比較

為體現(xiàn)本文中提出的改進區(qū)間值直覺模糊熵的優(yōu)越性，有必要將其與已有的部分區(qū)間值直覺模糊熵進行比較。

現(xiàn)有6個區(qū)間值直覺模糊集：

表2 不同區(qū)間值直覺模糊熵下的計算結(jié)果

4 投資方案選擇

表3 方案評價矩陣

1) 用式(2)計算得到區(qū)間值直覺模糊熵矩陣，如表 4所示。

3) 用下面的算術(shù)平均加權(quán)集結(jié)算子[17]

對方案的各屬性進行集結(jié)，得到

4) 用文獻[17]給出的得分函數(shù)

計算得到各方案的得分值為：

5) 得分值越大，方案越優(yōu)，因此各方案的排序為：

表4 區(qū)間值直覺模糊熵矩陣

C1C2C3C4A10.584 90.298 90.576 90.323 5A20.597 90.298 90.576 90.323 5A30.589 90.696 50.225 70.340 1A40.559 20.345 40.433 80.225 7

5 結(jié)論

根據(jù)新的公理化條件，在考慮直覺信息(信息缺乏)和模糊信息(信任缺乏)的情況下，使用對數(shù)函數(shù)，定義了新的改進的直覺模糊熵和區(qū)間值直覺模糊熵，通過證明可知新的改進的直覺模糊熵滿足直覺模糊熵公理化條件，區(qū)間值直覺模糊熵滿足區(qū)間值直覺模糊熵的公理化條件。此外，與現(xiàn)有的直覺模糊熵和區(qū)間值直覺模糊熵進行比較可知：① 在猶豫度相同時，可通過隸屬度和非隸屬度之差來區(qū)分不同的熵；② 在隸屬度和非隸屬度之差相同時，通過猶豫度區(qū)分不同的熵；③ 最模糊的直覺模糊集是〈0,0,1〉；④ 新的區(qū)間值直覺模糊熵具有新直覺模糊熵的優(yōu)點；⑤ 也克服了文獻[17]存在的缺陷。因此，新熵具有一定的合理性和可行性。通過投資案例的應(yīng)用和比較，可知主觀賦權(quán)法和客觀賦權(quán)法對投資方案的優(yōu)選產(chǎn)生重要的影響。新定義的熵給決策者提供了更加精確的客觀賦權(quán)方法。