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    平移傳遞 巧尋“存在”

    2019-05-23 02:52:48佘小莉
    初中生世界 2019年18期
    關(guān)鍵詞:存在縱坐標(biāo)同理

    佘小莉

    探討平行四邊形的存在性問題是近年來數(shù)學(xué)中考的熱點(diǎn)。本文介紹一種坐標(biāo)平移策略,可以幫我們簡(jiǎn)潔明了地解決平行四邊形的存在性問題。

    策略呈現(xiàn)如圖1,點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是坐標(biāo)平面內(nèi)不在同一直線上的三點(diǎn)。平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)D,使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)。

    圖1

    圖2

    【解析】首先,四邊形四個(gè)頂點(diǎn)排序未定,可以分別以△ABC三條邊AB、AC、BC為對(duì)角線作為分類依據(jù)進(jìn)行討論(如圖2)。

    其次,若以BC作為對(duì)角線,把?ABD1C的一組對(duì)邊AC、BD1看成線段AC平移至BD1處,點(diǎn)A→B,橫、縱坐標(biāo)分別增加x2-x1、y2-y1,根據(jù)坐標(biāo)平移的性質(zhì),點(diǎn)C→D1,橫、縱坐標(biāo)也分別增加x2-x1、y2-y1,所以D1坐標(biāo)為(x2+x3-x1,y2+y3-y1)。

    最后,以AC、AB為對(duì)角線的兩種情形,同理,求出D2、D3坐標(biāo)分別為(x1+x3-x2,y1+y3-y2)、(x1+x2-x3,y1+y2-y3)。

    策略應(yīng)用(2012·黑龍江綏化)如圖3,四邊形ABCD為矩形,C點(diǎn)在x軸上,A點(diǎn)在y軸上,D點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0),B點(diǎn)坐標(biāo)是(3,4),矩形ABCD沿直線EF折疊,點(diǎn)A落在BC邊上的G處,E、F分別在AD、AB上,且F點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,4)。(1)求G點(diǎn)坐標(biāo);(2)求直線EF解析式;(3)點(diǎn)N在x軸上,直線EF上是否存在點(diǎn)M,使以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由。

    【解析】(1)根據(jù)折疊等已知條件得,F(xiàn)G=AF=2,F(xiàn)B=1。在Rt△BFG中,BG=3。所以G點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,4-3)。

    (2)如圖4,過點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P,設(shè)OE=m,在Rt△GEP中,EG2=GP2+EP2,即(4-解得根據(jù)E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo),解得直線EF的解析式為

    圖3

    (3)設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為(a,0),分別以△NFG三條邊NF、NG、FG為對(duì)角線分三種情形展開討論。

    情形一:以NF為對(duì)角線,應(yīng)用坐標(biāo)平移策略,點(diǎn)G→N,橫、縱坐標(biāo)分別增加a-3、-4,點(diǎn)F→M,橫、縱坐標(biāo)也分別增加a-3、則點(diǎn)M坐標(biāo)為(a-3+2,-4+4),即為(a-1,),代入直線EF解析式y(tǒng)=,解得,點(diǎn)M的坐標(biāo)為

    情形二:以NG為對(duì)角線,同理,應(yīng)用坐標(biāo)平移策略,點(diǎn)M坐標(biāo)為(a+1,-),代入直線EF解析式,求出a+1的值,得點(diǎn)M的坐標(biāo)為

    情形三:以FG為對(duì)角線,同理,應(yīng)用坐標(biāo)平移策略,點(diǎn)M坐標(biāo)為(5-a,8-3),代入直線EF解析式,求出5-a的值,得點(diǎn)M的坐標(biāo)為

    圖4

    總結(jié)坐標(biāo)平移策略可以避免畫圖的“煩惱”,回避了復(fù)雜圖形的分析推理,而且考慮全面、不易遺漏。這種策略不僅適用于多個(gè)動(dòng)點(diǎn)的探討,也適用于菱形、矩形、正方形存在性的探討。隨著日后學(xué)習(xí)的深入,當(dāng)平行四邊形與其他問題相結(jié)合時(shí),越發(fā)可以顯示它的“威力”。

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