對指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)教學(xué)的幾點(diǎn)思考

官維航

指數(shù)函數(shù)是高一學(xué)生要學(xué)習(xí)的第一個(gè)具體函數(shù)，教學(xué)要求學(xué)生不僅要掌握其圖像和性質(zhì)，更要習(xí)得研究函數(shù)的一般方法，為以后學(xué)習(xí)其他類型的函數(shù)積累研究經(jīng)驗(yàn)。因此，“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”是高中數(shù)學(xué)中非常重要的一部分。在此，筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，從概念建構(gòu)、性質(zhì)探究、鞏固運(yùn)用和課堂小結(jié)四個(gè)方面，對“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”的教學(xué)提出幾點(diǎn)看法。

一、概念建構(gòu)

1.情境的創(chuàng)設(shè)

在指數(shù)函數(shù)的引入方面，折紙活動可能是除了課本提供的實(shí)例之外，教師們用得較多的一個(gè)例子。可是，如果單純地讓學(xué)生觀察紙張的折疊次數(shù)與折疊張數(shù)之間的關(guān)系，那就不足以顯示出高一學(xué)生的思維深度。因?yàn)樵谡奂埖倪^程中有很多量是變化著的，如將紙對折的次數(shù)、折后的層數(shù)、折后的面積、折后的厚度等，而且這些變量都處在同一個(gè)變化過程中。那么，這些變量能否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系？學(xué)生能獲得關(guān)于這些變量的哪些函數(shù)？

2.概念的建構(gòu)

在抽象概括出y=ax這一函數(shù)模型的過程中，可以讓學(xué)生再列舉出一些結(jié)構(gòu)類似的函數(shù)。因?yàn)閷W(xué)生在舉例子的過程中，心里肯定想著要抓住其特征。比如，解析式都是一個(gè)冪的形式，底數(shù)是常量，自變量是在指數(shù)這個(gè)位置上。這樣，就能夠幫助學(xué)生在多次感受指數(shù)函數(shù)實(shí)例之后順利地抽象出指數(shù)函數(shù)模型。

二、性質(zhì)探究

指數(shù)函數(shù)是學(xué)生進(jìn)入高中之后學(xué)習(xí)的第一個(gè)基本初等函數(shù)。應(yīng)該如何研究它以及研究些什么，是學(xué)生比較茫然的事。鑒于此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧以前學(xué)過的函數(shù)基本性質(zhì)，并提出所要研究的問題，讓學(xué)生去尋找研究問題的方法，進(jìn)而逐漸明確研究方向。

通過教師的啟發(fā)和引導(dǎo)，學(xué)生能夠根據(jù)已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，明確研究內(nèi)容和研究方法。部分學(xué)生會提出先選取不同的底數(shù)a，然后畫出圖像，觀察這些圖像的異同點(diǎn)，最后由特殊到一般，歸納出指數(shù)函數(shù)圖像的分布特征及性質(zhì);另一部分學(xué)生可能會先給底數(shù)a賦值，以便得出具體的函數(shù)，再從解析式入手研究其單調(diào)性、奇偶性等，進(jìn)而猜想一般指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，最后再畫圖像加以驗(yàn)證。但對于基本初等函數(shù)來說，其圖像可以通過列表、描點(diǎn)、連線的方式獲得，且圖像比解析式更直觀。這樣，教師仍可以引導(dǎo)學(xué)生先從具體函數(shù)圖像入手研究其性質(zhì)。

首先是選取底數(shù)?？梢宰寣W(xué)生自己選擇底數(shù)，以避免學(xué)生被動地認(rèn)識圖像。這樣，雖然有可能讓學(xué)生獲得較片面的認(rèn)識，但通過后續(xù)討論交流和相互補(bǔ)充，仍然可以使他們提升認(rèn)識，獲得正確的結(jié)論。另外，學(xué)生在這個(gè)過程中還能體會如何選擇數(shù)據(jù)，掌握研究方法。

其次是畫出圖像。因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的定義域是R，所以在取點(diǎn)時(shí)一定要全面。在為了后續(xù)觀察函數(shù)圖像之間的異同，總結(jié)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，如果只畫一個(gè)圖像肯定是不夠的，應(yīng)在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出至少兩個(gè)函數(shù)的圖像。這樣，不僅方便了后續(xù)歸納性質(zhì)，還能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)底數(shù)大小與圖像平緩之間的關(guān)系，更利于學(xué)生觀察底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)圖像的關(guān)系。

最后是觀察特征，歸納性質(zhì)。其實(shí)，在列表的過程中，學(xué)生就可以初步認(rèn)識函數(shù)的一些性質(zhì)，比如單調(diào)性、值域等。在畫出具體指數(shù)函數(shù)圖像之后，就可以直觀地觀察圖像的特征，還可以將圖形語言傳化為數(shù)學(xué)語言，從而獲得指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。這其實(shí)就是數(shù)與形的結(jié)合，也是一個(gè)由特殊到一般的猜想過程。既然是猜想，就應(yīng)該對其合理性進(jìn)行適當(dāng)?shù)尿?yàn)證。而驗(yàn)證的方式，一種是從數(shù)入手，比如當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，總有a0=1，所以圖像恒過定點(diǎn)（0，1）;另一種是通過形的方式，利用幾何畫板動態(tài)演示當(dāng)?shù)讛?shù)連續(xù)變化時(shí)的指數(shù)函數(shù)圖像，進(jìn)而驗(yàn)證猜想。

三、鞏固運(yùn)用

本節(jié)課是指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的第一課時(shí)，建構(gòu)指數(shù)函數(shù)的模型和探究其性質(zhì)應(yīng)是教學(xué)重點(diǎn)，所以在鞏固運(yùn)用這個(gè)環(huán)節(jié)只要求學(xué)生能利用所學(xué)知識解決一些簡單問題即可。比如利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決比較大小的問題，可以設(shè)計(jì)底數(shù)相同和底數(shù)不同兩種類型。當(dāng)?shù)讛?shù)不同時(shí)，就無法直接應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。這時(shí)，教師就可以提示學(xué)生;當(dāng)遇到困難時(shí)應(yīng)想到利用圖像，從形的方面找一個(gè)解決問題的突破口。學(xué)生在畫出兩個(gè)函數(shù)圖像之后，就能很快發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)聯(lián)，即都過點(diǎn)（0，1），最后通過分別與1比大小，來比較這兩個(gè)冪的大小。筆者認(rèn)為，此時(shí)不宜過早地對兩個(gè)冪的大小進(jìn)行比較、總結(jié)，因?yàn)閷蓚€(gè)冪大小的比較，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性只是其中的一種方式，并不是唯一的方式，在這個(gè)過程中更應(yīng)該關(guān)注學(xué)生是否認(rèn)識到單調(diào)性是比較大小的一個(gè)工具，進(jìn)而理解函數(shù)性質(zhì)。

四、課堂總結(jié)

回顧本節(jié)課的整體思路為“生活實(shí)例—定義—圖像—性質(zhì)—應(yīng)用”，它是以問題的形式，從知識和方法兩個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生回顧反思整節(jié)課的學(xué)習(xí)過程。其中涉及基本初等函數(shù)的一般研究方法：先觀察具體圖像，再從定義域、值域、單調(diào)性、特殊點(diǎn)等方面去歸納它的性質(zhì)。這也是學(xué)生今后學(xué)習(xí)、研究其他基本初等函數(shù)的方法和思路。

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅知道了指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，而且還習(xí)得了研究函數(shù)的一般方法和思路，為后續(xù)的學(xué)習(xí)積累了研究經(jīng)驗(yàn)。通過問題的引導(dǎo)，教師幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)了從概念層面談理解、從方法層面談提升、從思想層面談?wù)J識。如此反復(fù)，學(xué)生研究函數(shù)的方法越得當(dāng)，其領(lǐng)悟就越深刻，學(xué)習(xí)就越有效。