高中數(shù)學(xué)幾何解題技巧之“數(shù)”“形”結(jié)合策略探究

摘 要：數(shù)學(xué)是關(guān)于結(jié)構(gòu)、序和關(guān)系的科學(xué)，由計(jì)數(shù)、度量和描述物體形狀等基本實(shí)踐演化而來(lái)的，涉及了邏輯推理和數(shù)量計(jì)算。自17世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)一直是物理科學(xué)和技術(shù)必不可少的助手，以至被認(rèn)為是科學(xué)的基本語(yǔ)言?！皵?shù)”“形”結(jié)合原本是一種數(shù)學(xué)解題策略，該策略分為“以行助數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個(gè)方面，其中，“以行助數(shù)”是借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，“以數(shù)助形”是以“數(shù)”為手段，以“形”為目的，也就是用幾何圖形來(lái)解析數(shù)量關(guān)系。本文將舉例淺談高中數(shù)學(xué)幾何解題技巧之“數(shù)”“形”結(jié)合策略，并提出個(gè)人見(jiàn)解。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；幾何解題技巧；“數(shù)”“形”結(jié)合策略

高中數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，發(fā)端于計(jì)數(shù)與度量的實(shí)際問(wèn)題，該學(xué)科具有高度的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓院蛷V泛的適用性，包括數(shù)理邏輯、數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、函數(shù)論、概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)和計(jì)算數(shù)學(xué)等。通常在運(yùn)用“數(shù)”“形”結(jié)合策略解析高中數(shù)學(xué)幾何時(shí)，需要科學(xué)使用三種途徑，即將形轉(zhuǎn)化成數(shù)，將數(shù)轉(zhuǎn)化為性，促進(jìn)數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，從而有效解決抽象的幾何問(wèn)題，創(chuàng)新解題策略。本文將簡(jiǎn)單介紹“數(shù)”“形”結(jié)合策略的基本定義，并從優(yōu)化解題途徑，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，創(chuàng)新解題思路等三個(gè)方面舉例淺談高中數(shù)學(xué)幾何解題技巧之“數(shù)”“形”結(jié)合策略。

一、 “數(shù)”“形”結(jié)合策略的基本定義

從狹義視角來(lái)分析，“數(shù)”“形”結(jié)合策略主要是根據(jù)數(shù)量和圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化，以此解決相關(guān)問(wèn)題，簡(jiǎn)而言之，“數(shù)”“形”結(jié)合策略是一種智慧性解題技巧，能夠使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，多項(xiàng)問(wèn)題條理化。在數(shù)學(xué)界，“數(shù)”“形”結(jié)合策略具有極高的地位，華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)：“數(shù)與形本身相倚依，焉能分作兩邊飛，數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微?！庇纱丝梢?jiàn)，“數(shù)”“形”結(jié)合策略不僅是一種思想，而且是一種極為有效的解題方法。此外，“數(shù)”“形”結(jié)合策略分為三種途徑：第一種，將形轉(zhuǎn)化為數(shù)，這種途徑大多是指用代數(shù)方法來(lái)研究和解決幾何圖形問(wèn)題，將抽象的圖形轉(zhuǎn)化為具體代數(shù)。第二種，數(shù)轉(zhuǎn)化為形，這種途徑是根據(jù)代數(shù)式的具體結(jié)構(gòu)與特征，繪制和構(gòu)造相應(yīng)的幾何圖形，然后用幾何方法解析代數(shù)問(wèn)題。第三種，數(shù)形結(jié)合，這種途徑是整個(gè)“數(shù)”“形”結(jié)合策略的核心方法，主要是用幾何圖形研究和解決代數(shù)問(wèn)題，用代數(shù)式解決幾何問(wèn)題，使兩者互相結(jié)合，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題解決思路，提高解題效率，探索更為簡(jiǎn)潔、明了的解題方法。

二、 高中數(shù)學(xué)幾何解題技巧之“數(shù)”“形”結(jié)合策略

（一） 優(yōu)化解題途徑

在高中數(shù)學(xué)幾何解題中運(yùn)用“數(shù)”“形”結(jié)合策略，首先要注重優(yōu)化解題途徑，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的有效結(jié)合。通常，在將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”的過(guò)程中，要注意準(zhǔn)確繪制“形”，為數(shù)形結(jié)合的實(shí)現(xiàn)奠定基礎(chǔ)。不可忽視的是，“數(shù)”“形”結(jié)合策略的重點(diǎn)是“結(jié)合”，因此不能簡(jiǎn)單地用“數(shù)”代替“形”，或者用“形”代替“數(shù)”。相比之下，“形”具有直觀化和形象化的優(yōu)勢(shì)，卻無(wú)法代替“數(shù)”的具體推理、運(yùn)算與證明，在幾何解題過(guò)程中，“形”大多能夠充當(dāng)解題模式，“數(shù)”的解析運(yùn)算作用不容忽視。例如在計(jì)算向量時(shí)，就要注意優(yōu)化解題途徑，充分發(fā)揮“數(shù)”與“形”的優(yōu)勢(shì)。

（二） 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

在高中數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)模型能夠使抽象的幾何知識(shí)直觀化與清晰化，全面了解幾何的空間關(guān)系、特征與數(shù)量關(guān)系，減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)與壓力，增強(qiáng)知識(shí)領(lǐng)悟能力、問(wèn)題解決能力和空間思維能力。在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，應(yīng)注意細(xì)化六步流程：第一，做好模型準(zhǔn)備工作，全面了解幾何習(xí)題所涉及的知識(shí)模塊，分析問(wèn)題的相關(guān)背景，整合所有信息，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確描述數(shù)學(xué)問(wèn)題。第二，科學(xué)實(shí)施模型假設(shè)，即根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模目的，簡(jiǎn)化問(wèn)題，同時(shí)使用精確的語(yǔ)言做出合理地假設(shè)。第三，科學(xué)建立模型，運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系準(zhǔn)確描述幾何變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，組建完善的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)模型。第四，做好模型求解工作，對(duì)所建模型的所有參數(shù)進(jìn)行核算。第五，做好模型分析工作，即對(duì)幾何模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)分析。第六，全面做好數(shù)學(xué)模型檢驗(yàn)工作，對(duì)比分析模型求解結(jié)果和實(shí)際情形，科學(xué)驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確與否，對(duì)計(jì)算結(jié)果的實(shí)際意義進(jìn)行解釋與定論。例如在分析數(shù)列模型時(shí)，應(yīng)注意數(shù)列應(yīng)用主要是從生活中抽象出的一個(gè)等差數(shù)列或者等比數(shù)列問(wèn)題，然后，科學(xué)建模，并對(duì)模型進(jìn)行假設(shè)、分析、計(jì)算和驗(yàn)證。

（三） 創(chuàng)新解題思路

運(yùn)用“數(shù)”“形”結(jié)合策略解答高中數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題，應(yīng)充分發(fā)揮“數(shù)”與“形”的互補(bǔ)優(yōu)勢(shì)，勇于創(chuàng)新解題思路，在常規(guī)解題的同時(shí)探索新的解題方法。例如在解析三角函數(shù)時(shí)，準(zhǔn)確定位函數(shù)的自變量，列舉函數(shù)與自變量之間的對(duì)應(yīng)法則，然后把實(shí)際抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，繪制幾何示意圖，再利用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題。此外，要注意三角函數(shù)的解題規(guī)則具有個(gè)性與共性，對(duì)此，在使用“數(shù)”“形”結(jié)合策略的同時(shí)運(yùn)用一題多解和多題一解方法，從而有效提高問(wèn)題解決能力和知識(shí)應(yīng)用能力。

三、 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)幾何解題中，運(yùn)用“數(shù)”“形”結(jié)合策略簡(jiǎn)化解題方法，應(yīng)充分發(fā)揮“數(shù)”與“形”的作用，不斷優(yōu)化解題技巧，科學(xué)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并積極創(chuàng)新解題思路，探索新的解題方法。

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作者簡(jiǎn)介：

劉佳寅，山西省太原市，太原市第十二中學(xué)校。