基于抽樣分布理論的P-Ⅲ型分布均值的不確定性分析

劉可新，胡宇豐，李 匡，劉 鵬，梁犁麗

（1.中國水利水電科學(xué)研究院 北京中水科水電科技開發(fā)有限公司，北京 100038；2.河南黃河水文勘測設(shè)計院，河南 鄭州 450000）

1 研究背景

P-Ⅲ型分布廣泛應(yīng)用于我國水文頻率計算中［1］，在推求設(shè)計暴雨、設(shè)計洪水等方面發(fā)揮著重要作用。水文過程受氣候、地形和下墊面條件等因素影響，存在諸多不確定性規(guī)律［2］，如頻率計算時往往存在線型選擇、參數(shù)估計的不確定性等。近些年來，國內(nèi)外學(xué)者圍繞水文不確定性進(jìn)行了大量研究工作［3-6］，并取得了較好的效果，其中基于貝葉斯理論的研究最具代表性，早在1975年，Wood等［7］就應(yīng)用貝葉斯理論對統(tǒng)計參數(shù)不確定性做了分析，近年來，圍繞貝葉斯理論在水文方面的應(yīng)用，我國學(xué)者也取得了大量研究成果，劉攀等［8］將貝葉斯理論應(yīng)用于水文頻率的線型選擇，結(jié)果表明線型的后驗概率越大則擬合越好；梁忠民等［9］應(yīng)用貝葉斯理論進(jìn)行參數(shù)估計，并介紹了貝葉斯理論在水文不確定性方面的研究進(jìn)展［10］。諸多學(xué)者研究表明，貝葉斯理論應(yīng)用于水文不確定性分析具有較好的效果［11-14］，貝葉斯理論體系較完備，應(yīng)用于頻率計算參數(shù)不確定性分析效果較好，貝葉斯理論與經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)理論有所不同，其特點是認(rèn)為不確定性既來自于參數(shù)的隨機(jī)性，也來自于樣本的隨機(jī)性，應(yīng)用貝葉斯理論分析參數(shù)不確定性需對其先驗分布做出假設(shè)，這將產(chǎn)生較大的主觀性。為盡量避免主觀性，本文將應(yīng)用經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)理論分析P-Ⅲ型分布參數(shù)的不確定性，經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)理論認(rèn)為分布參數(shù)應(yīng)看作常數(shù)處理，是確定性的，通常所說的參數(shù)不確定性可理解為參數(shù)估計量的不確定性，這種不確定性往往是由于以有限的、離散的且存在不確定性的樣本去近似總體分布特征（如均值）而產(chǎn)生的，具體又可表述為兩方面，一是樣本總是有限的、離散的，而總體是無限的、連續(xù)的，以有限描述無限、離散描述連續(xù)必然存在一些不確定性；二是樣本本身存在不確定性，如洪水過程受復(fù)雜條件影響而產(chǎn)生不確定性。

鑒于貝葉斯理論分析參數(shù)不確定性存在主觀因素，本文從經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)理論出發(fā)，提出基于抽樣分布理論的P-Ⅲ型分布均值的不確定性分析方法，在總體分布的離勢系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)已知情況下，應(yīng)用經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)理論分析均值的不確定性。首先推導(dǎo)樣本均值的分布函數(shù)，而后構(gòu)造輔助隨機(jī)變量并推導(dǎo)其分布函數(shù)，最后應(yīng)用輔助隨機(jī)變量分析總體均值的不確定性。

2 方法介紹

我國水文系列頻率分析普遍采用P-Ⅲ型分布，為更好分析其參數(shù)不確定性，提出了基于抽樣分布理論的P-Ⅲ型分布均值的不確定性分析方法，該方法是指當(dāng)隨機(jī)變量服從P-Ⅲ型分布時，采用抽樣分布理論分析其總體均值的不確定性，重點是研究總體均值的置信區(qū)間，分析該置信區(qū)間與樣本均值、離勢系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)的關(guān)系，主要包括以下推導(dǎo)過程和實現(xiàn)步驟。首先闡述抽樣分布的概念，推導(dǎo)P-Ⅲ型分布樣本均值的分布函數(shù)，然后構(gòu)造輔助隨機(jī)變量，該隨機(jī)變量自身含有總體均值，但分布函數(shù)與總體均值無關(guān)，最后應(yīng)用輔助隨機(jī)變量，結(jié)合上、下概率分位點得到總體均值的置信區(qū)間。

2.1 P-Ⅲ型分布樣本均值分布P-Ⅲ型分布的樣本均值是指服從P-Ⅲ型分布的隨機(jī)變量樣本均值，簡稱為P-Ⅲ型分布的樣本均值。樣本均值的分布屬于抽樣分布的范疇，所謂抽樣分布是指在總體分布已知的情況下，由樣本系列經(jīng)連續(xù)函數(shù)構(gòu)造而成的各統(tǒng)計量的分布，如樣本均值的分布、樣本方差的分布等［15］。我國水文系列大都服從P-Ⅲ型分布，本文將基于該分布推導(dǎo)樣本均值的概率密度函數(shù)。P-Ⅲ型分布的概率密度函數(shù)如下式：

式中，a0、α 、 β 分別為P-Ⅲ型分布的位置、形狀和尺度參數(shù)。

為便于推導(dǎo)，引入特征函數(shù)概念，設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f (x) ，則有：

式（2）為隨機(jī)變量X的特征函數(shù)，其中t為實數(shù)，i為虛數(shù)單位。

由以上定義，對應(yīng)于P-Ⅲ型分布的特征函數(shù)為：

特征函數(shù)具有以下性質(zhì)：

（1）性質(zhì)1。分布函數(shù)與特征函數(shù)是一一對應(yīng)關(guān)系；

（2）性質(zhì)2。設(shè)X，Y為兩隨機(jī)變量，且Y=cX+d（c、d為實常數(shù)），則Y的特征函數(shù)為：

（3）性質(zhì)3。設(shè)X，Y為二相互獨立的隨機(jī)變量，且Z=X+Y，則：

根據(jù)以上性質(zhì)推導(dǎo)樣本均值的特征函數(shù)。設(shè)隨機(jī)變量X 服從P-Ⅲ型分布，特征函數(shù)如式（3），X1，X2，…，Xn為總體的樣本，則它們均相互獨立，樣本均值為根據(jù)性質(zhì)2 和性質(zhì)3有的特征函數(shù)為：

比較式（6）與式（3）的形式，根據(jù)特征函數(shù)的性質(zhì)1 可知仍然服從P-Ⅲ型分布，令α′=nα ， β′=nβ ，則其概率密度函數(shù)為：

2.2 輔助隨機(jī)變量及μ 的不確定性分析令稱為輔助隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為FY( y )，則有：

令Y的概率密度函數(shù)為fY( y )，則有：

整理得：

由式（11）可知，Y 服從P-Ⅲ型分布，且概率密度僅與X 的CV和CS有關(guān)，與μ 無關(guān)，其均值、離勢系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)分別為：

當(dāng)X 的CV和CS為已知時，可利用Y 的分布函數(shù)分析X 均值( μ )的不確定性，包括μ 的置信區(qū)間、 μ 處于某一有限區(qū)間的概率、 μ 大于或小于某特定值的概率等問題，其中獲得μ 的置信區(qū)間是水文上經(jīng)常關(guān)心的問題，因此本文對μ 的置信區(qū)間做如下推導(dǎo)。

給定置信度1-a，則有：

具體步驟如下：

（1）獲取水文系列總體X的離勢系數(shù)CV和偏態(tài)系數(shù)CS，可移用已有參數(shù)或通過矩法、極大似然法等方法估算之；計算樣本均值；

（4）對應(yīng)于置信度1-a的μ 的置信區(qū)間如式（13）所示。

μ 的不確定性分析包括但不限于獲取置信區(qū)間，置信區(qū)間是本文關(guān)注的重點，它可進(jìn)一步應(yīng)用于對設(shè)計值的不確定性分析，轉(zhuǎn)步驟（5）。

2.3 μ 的置信區(qū)間與參數(shù)的關(guān)系μ 的置信區(qū)間與樣本均值、總體的離勢系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)有關(guān)，下面在理論上對其做定性分析。

式（13）可化簡為：

3 實際流域應(yīng)用與分析

上猶江屬江西省贛江水系章江的一條支流，發(fā)源于湖南省汝城縣和江西省崇義縣、上猶縣至南康縣的三江口匯入章江，全長200 km。干流上修建有上猶江水庫，壩址以上控制面積為2750 km2，上猶江水庫流域?qū)儆趤啛釒駶櫦撅L(fēng)氣候，冬夏季風(fēng)盛行，冬季盛行極地大陸性氣團(tuán)，氣候干冷而少雨雪；夏季盛行來自熱帶的海洋氣流，氣候濕潤而多雨，多年平均降水量為1675.5 mm，分配極不均勻，4—9 月占全年70.3%，暴雨雖一年四季都會出現(xiàn)，但主要出現(xiàn)在春夏兩季，暴雨出現(xiàn)的機(jī)率占全年的80%以上，而冬季（12、1、2月）暴雨日數(shù)僅占全年的1%，多年平均流量為79.5 m3/s。

本文將該方法應(yīng)用于上猶江流域，分別采用矩法和適線法以1997—2016年20年的水文資料推求洪峰系列的樣本均值、離勢系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)，并將樣本的離勢系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)近似代替總體的離勢系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)，給定置信度為90%，計算洪峰系列均值的置信區(qū)間，并推求對應(yīng)于上述置信區(qū)間的十年一遇、百年一遇和千年一遇的設(shè)計洪峰。方法參數(shù)及設(shè)計洪峰結(jié)果如表1和表2。

表1 洪峰系列統(tǒng)計參數(shù)

表2 不同頻率設(shè)計洪峰

圖1 適線法結(jié)果

表3 輔助隨機(jī)變量Y的分布參數(shù)及上下概率分位點

表4 90%置信度洪峰均值及設(shè)計洪峰置信區(qū)間

以樣本離勢系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)作為總體離勢系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)，計算隨機(jī)變量Y的分布參數(shù)，并計算置信度為90%的上下概率分位點如表3。按式（13）得到洪峰均值的置信區(qū)間，進(jìn)而計算各頻率下的洪峰流量及置信區(qū)間如表4。

以上結(jié)果顯示新方法應(yīng)用于總體均值和設(shè)計值的不確定性分析是可行的，從表4結(jié)果看，90%置信度下，矩法和適線法的區(qū)間估計結(jié)果略有不同，矩法洪峰均值的置信區(qū)間為［1180，1724］，其區(qū)間寬度略小于適線法［1172，1738］；洪峰設(shè)計值的區(qū)間估計也有所差異，各頻率下矩法的結(jié)果整體偏小于適線法，但仍具有較大的重合部分，千年一遇、百年一遇和十年一遇區(qū)間重合率（重合部分/總區(qū)間寬度）分別為0.876、0.882和0.907，表明兩種方法的分析結(jié)果具有一定的一致性，且一致性隨預(yù)見期的減小而增大。

雖然矩法和適線法的分析結(jié)果具有一定的一致性，但其差異也較顯著，主要是離勢系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)的估計值不同所致，下面通過實例分析離勢系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)與總體均值置信區(qū)間的關(guān)系。

表1中，適線法的樣本均值取計算結(jié)果1420 m3/s；離勢系數(shù)經(jīng)調(diào)整后取0.54較合適；根據(jù)上猶江流域的水文特點，偏態(tài)系數(shù)一般取離勢系數(shù)的3.5倍［16］為1.89，適線結(jié)果如圖1。

取適線法的相關(guān)參數(shù)，僅對總體離勢系數(shù)做調(diào)整，總體均值的置信區(qū)間如表5，其寬度變化趨勢如圖2。

表5 不同離勢系數(shù)對應(yīng)總體均值的置信區(qū)間

圖2 離勢系數(shù)與總體均值置信區(qū)間的關(guān)系

表6 不同偏態(tài)系數(shù)對應(yīng)總體均值的置信區(qū)間

表5結(jié)果顯示，離勢系數(shù)對總體均值的置信區(qū)間具有較大影響，不同的離勢系數(shù)對應(yīng)的區(qū)間寬度具有較大差異。圖2顯示，當(dāng)其他條件一定時，總體均值的置信區(qū)間下限隨離勢系數(shù)的增大而減小，上限則恰好相反，因此，正如圖中所示置信區(qū)間寬度將隨離勢系數(shù)的增大而增大，且較小的置信區(qū)間包含于較大者之中，這與2.3節(jié)理論分析結(jié)果是一致的。

同理可進(jìn)一步分析偏態(tài)系數(shù)的影響，結(jié)果如表6和圖3。

綜上，離勢系數(shù)與偏態(tài)系數(shù)對總體均值不確定性的分析結(jié)果具有一定影響，但其程度及影響效果不同，離勢系數(shù)的影響效果較為顯著，且隨著離勢系數(shù)增大置信區(qū)間寬度也增大；而偏態(tài)系數(shù)恰好相反，其影響遠(yuǎn)不如離勢系數(shù)顯著，且影響效果也與離勢系數(shù)相反，表現(xiàn)為隨偏態(tài)系數(shù)的增大，置信區(qū)間寬度略有減小。

圖3 偏態(tài)系數(shù)與總體均值置信區(qū)間的關(guān)系

4 結(jié)論與展望

4.1 結(jié)論本文首先闡述了對分布參數(shù)不確定性的理解，認(rèn)為通常所說的參數(shù)不確定性可表述為參數(shù)估計量的不確定性，進(jìn)而提出了基于抽樣分布理論的P-Ⅲ型分布均值的不確定性分析方法，在分析過程中首先應(yīng)用抽樣分布理論，推導(dǎo)了P-Ⅲ型分布樣本均值的分布函數(shù)，構(gòu)造了輔助隨機(jī)變量并推導(dǎo)了其分布，最終在總體離勢系數(shù)、偏態(tài)系數(shù)已知情況下推導(dǎo)了均值的置信區(qū)間并應(yīng)用于上猶江流域。經(jīng)理論推導(dǎo)與實際應(yīng)用，得到以下幾點結(jié)論：（1）P-Ⅲ型分布的樣本均值服從P-Ⅲ型分布，如果總體分布的均值、離均系數(shù)、偏態(tài)系數(shù)為μ 、CV、CS，則樣本均值的均值、離均系數(shù)、偏態(tài)系數(shù)為（2）如果水文系列X服從P-Ⅲ型分布（參數(shù)為μ，CV，CS），則輔助隨機(jī)變量服從參數(shù)為的P-Ⅲ型分布，可見其分布參數(shù)僅與CV和CS有關(guān)，而與μ 無關(guān)；（3）P-Ⅲ型分布已知總體的離均系數(shù)、偏態(tài)系數(shù)時，應(yīng)用抽樣分布理論可分析總體均值的置信區(qū)間，并且可避免主觀因素影響；（4）實際流域應(yīng)用效果表明應(yīng)用新方法分析設(shè)計洪峰的不確定性是可行的，其分析結(jié)果受總體離勢系數(shù)的影響較大，而受偏態(tài)系數(shù)影響較小。

4.2 展望本文提出的新方法可分析P-Ⅲ型分布均值的不確定性，但前提是總體的離勢系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)已知，該條件較為苛刻，今后將進(jìn)一步加強(qiáng)理論研究，以期放寬應(yīng)用條件，主要有以下幾點展望：（1）該方法無需先驗分布假設(shè)，很大程度上避免了主觀因素影響，在今后研究中應(yīng)把放寬應(yīng)用條件作為重點，并通過理論推導(dǎo)逐步擴(kuò)展到對CV和CS的不確定性分析；（2）t分布和χ2分布是由正態(tài)分布衍生而來，可用以輔助正態(tài)分布均值和方差的區(qū)間估計，參考上述關(guān)系，有望推導(dǎo)相應(yīng)于P-Ⅲ型分布的衍生分布，在不附加任何條件的情況下，用以分析P-Ⅲ型分布各參數(shù)的不確定性。