ULE?疊層反射鏡二維等效建模方法研究

丁鍇鋮 連華東

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ULE?疊層反射鏡二維等效建模方法研究

丁鍇鋮1,2連華東1

（1 北京空間機電研究所，北京 100094） （2 先進光學遙感技術北京市重點實驗室，北京 100094）

ULE?疊層反射鏡是實現(xiàn)大口徑、低面密度、高剛度空間反射鏡的有效途徑。為提高ULE?疊層反射鏡設計效率，文章基于蜂窩夾芯結構均質板等效理論，推導了疊層反射鏡二維等效模型建模方法，利用有限元法計算二維等效模型自由模態(tài)頻率，對比詳細模型計算結果，驗證等效模型計算精度，并結合設計實例驗證該二維等效模型在疊層反射鏡優(yōu)化設計中的有效性。分析結果表明，疊層反射鏡面密度大于40kg/m2時，二維等效模型模態(tài)頻率計算誤差優(yōu)于4%，滿足優(yōu)化設計精度要求。文章提出的疊層反射鏡二維等效建模方法大幅縮減疊層反射鏡有限元模型規(guī)模，實現(xiàn)疊層反射鏡有限元模型高度參數(shù)化，有效提高了疊層反射鏡設計效率。

疊層反射鏡 等效理論 輕量化 有限元分析 航天遙感

0 引言

ULE?疊層反射鏡是為實現(xiàn)大口徑、低面密度、高剛度空間反射鏡而提出的新型蜂窩夾芯構型，蜂窩芯采用多層不同形狀、不同尺寸的組合蜂窩結構[1-3]。地球之眼系列（Geo-Eye）1.1m口徑空間主鏡采用疊層技術實現(xiàn)了50kg/m2面密度[4]，為制備4~8m口徑的空間反射鏡，文獻[5]已研制出面密度為45kg/m2，口徑分別為430mm與 1 500mm口徑鑒定產品，我國也已實現(xiàn)500mm口徑與3m口徑鑒定產品的研制，可以預見其在大口徑空間反射鏡輕量化設計中的應用前景[6]。隨著疊層反射鏡應用需求增加，對其設計效率提出了更高要求。

為提高反射鏡設計效率，通常先確定一個面形精度、基頻、質量等指標接近或滿足設計指標的初始鏡體結構。傳統(tǒng)方法利用設計經驗或經驗公式確定反射鏡徑厚比，蜂窩胞元形狀、大小，面板厚度等結構參數(shù)[7-8]，而疊層反射鏡結構形式新穎，缺乏設計參考，采用經驗公式誤差較大，設計結果不可靠；文獻[9]、[10]提出一種基于二維等效模型的反射鏡結構優(yōu)化方法，將具有蜂窩孔的輕量化反射鏡等效成一層均質薄板，在有限元軟件中用一層2D殼單元表征鏡體結構，簡化模型，縮短建模及計算耗時，從而提高設計效率：然而文獻[9]中總結的二維等效模型僅考慮了單一蜂窩構型，不能直接應用于由多層不同尺寸、形狀的蜂窩芯組合成型的疊層反射鏡。因此，在疊層反射鏡優(yōu)化設計過程中，目前要通過描述全部筋板、面板等結構的詳細有限元模型進行分析。這類模型建模復雜、修改困難、規(guī)模龐大、計算費時，導致ULE?疊層反射鏡的設計效率較低。

針對上述問題，本文基于蜂窩夾芯結構均質板等效理論推導了ULE?疊層反射鏡二維等效建模方法，通過數(shù)值仿真驗證了二維等效模型的計算精度，基于二維等效模型建立了疊層反射鏡優(yōu)化設計流程，并結合設計實例驗證了二維等效建模方法在ULE?疊層反射鏡優(yōu)化設計中的實用性與高效性。

1 疊層反射鏡二維等效模型公式推導

疊層反射鏡結構如圖1所示，定義反射鏡光學表面中心為坐標原點；f、b為前、后面板厚度；c為蜂窩芯壁厚；A為光學平面至中性面之間的距離；h、B分別為第層蜂窩的芯層高度以及蜂窩孔筋板間距，下標代表第層蜂窩芯對應屬性，一般≤3；為反射鏡總高度。

圖1 疊層反射鏡示意圖

文獻[10]中單一蜂窩胞元結構等效建模方法，定義第層蜂窩芯密實度比α為

中性面A計算方法如下

式中()為距光學表面處蜂窩芯的密實度比。

二維等效模型是將疊層反射鏡等效為一層均質薄板，在有限元中用1層板殼單元計算，提高反射鏡建模與計算效率[11]。二維等效均質薄板的等效厚度eq，等效密實度比，單位寬度上的彎曲慣性矩b和剪切深度計算方法如下

根據面內剛度等效、面外剛度等效、質量等效原理[12-15]，推導得二維等效均質薄板的材料參數(shù)計算方法

式中k為第層蜂窩芯蜂窩形狀修正系數(shù)[16]，正六邊形蜂窩k=2，正三角形蜂窩k=3；、、、為反射鏡材料的泊松比、彈性模量、剪切模量和密度；eq、eq、eq、eq分別代表等效板的泊松比、彈性模量、剪切模量和密度。

2 二維等效模型精度分析

2.1 反射鏡有限元建模

本文利用Hypermesh進行建模、分析。針對三層蜂窩的平面疊層反射鏡，建立二維等效模型計算1階自由模態(tài)頻率，以詳細模型計算結果作為精確值，分析二維等效模型精度[17]。保持其它參數(shù)不變，分別改變反射鏡總高度和層高比f︰1︰2︰3︰b，研究不同徑厚比、面密度對二維等效模型計算精度的影響。反射鏡的不變參數(shù)如表1所示。圖2為=60mm，f︰1︰2︰3︰b=1︰2︰4︰2︰1時兩種建模方法的有限元模型。

表1 反射鏡主要幾何參數(shù)

Tab.1 Main geometric parameters of the stacked-core mirror mm

如圖2所示，詳細模型中面板、蜂窩壁、內外環(huán)均采用板單元，總單元數(shù)為112 812個；二維等效模型在反射鏡中面位置建立板單元，反射鏡內、外環(huán)以梁單元表示，單元數(shù)為3 840個，其中板單元3 600個，梁單元240個。可以看出，二維等效模型在建模復雜程度上遠低于詳細模型，對于結構復雜的疊層反射鏡，建模時間可從數(shù)小時縮短至幾分鐘，建模與分析時間大幅降低。

圖2 疊層反射鏡有限元模型

2.2 二維等效模型精度驗證

保持層高比f︰1︰2︰3︰b=1︰2︰4︰2︰1不變，反射鏡總高度以10mm為步長從30mm增加至110mm，計算反射鏡模態(tài)頻率。結果如表2所示。

表2 徑厚比對二維等效模型精度影響

Tab.2 Influence of diameter-thickness ratio on natural frequency error

保持反射鏡高度=80mm不變，改變層高比，研究不同面密度對二維等效模型頻率計算精度的影響，結果如表3所示。不同參數(shù)對二維等效模型計算精度的影響如圖3所示。

表3 輕量化程度對二維等效模型精度影響

Tab.3 Influence of lightweight degree on natural frequency error

綜合表2、表3及圖3可以看出：二維等效模型分析結果普遍偏高，疊層結構在等效過程中剛度得到加強；二維等效模型計算結果在變化趨勢上與詳細模型計算結果高度一致；徑厚比變化對疊層反射鏡二維等效模型精度影響有限，面密度對二維等效模型頻率計算精度影響更明顯，當疊層反射鏡面密度大于40kg/m2時，二維等效模型頻率計算誤差小于4%。綜上所述，疊層反射鏡二維等效模型計算精度滿足優(yōu)化設計要求，相較于詳細模型，二維等效模型在簡化模型、縮短計算耗時方面有巨大優(yōu)勢，可有效提高疊層反射鏡設計效率。

圖3 不同參數(shù)對二維等效模型頻率誤差的影響

2.3 算例分析

基于疊層反射鏡二維等效模型對某大口徑非球面反射鏡進行輕量化設計，進一步驗證二維等效模型在疊層反射鏡優(yōu)化設計中的實用性及有效性。反射鏡設計要求如表4所示[12]。

表4 反射鏡設計要求

Tab.4 Design requirements of the mirror

以質量最小為目標，光軸平行重力時背部36點卸載面形為約束優(yōu)化反射鏡。首先，根據反射鏡形 狀參數(shù)建立1層板殼有限元模型，結合工程經驗確定各變量設計范圍，利用中心復合設計法建立采樣 點[18-20]，計算等效參數(shù)并更新有限元模型進行分析，提取儲存面形分析結果直至所有采樣點計算完成，然后擬合完全二次多項式響應面模型，基于響應面模型進行優(yōu)化[21-23]，最后根據優(yōu)化結果建立詳細模型進行驗證，直至滿足設計要求。優(yōu)化流程如圖4所示，疊層反射鏡各結構參數(shù)對反射鏡面形的影響程度如圖5所示。

按圖4所示流程及圖5靈敏度分析結果，建立響應面模型進行優(yōu)化，結果如表5所示。

根據表5所示參數(shù)建立以板殼結構為主的詳細模型進行校核，二維模型與詳細模型計算結果如表6所示。

對比二維等效模型設計結果與詳細模型仿真結果，面形計算誤差為7.43%，頻率計算誤差為2.33%，質量計算誤差為2.56%，滿足設計要求；基于二維等效模型建立的疊層反射鏡優(yōu)化設計方法將有限元模型高度參數(shù)化，大幅提高了這類反射鏡的設計效率。

圖4 疊層反射鏡優(yōu)化流程

圖5 疊層反射鏡各結構參數(shù)對面形的影響

表5 反射鏡結構參數(shù)優(yōu)化結果

Tab.5 The optimized results of the mirror structur parameters mm

表6 等效模型與詳細模型計算結果對比

Table.6 Comparison of results between 2D model and detailed model

3 結束語

基于蜂窩結構均質板等效理論，推導出ULE?疊層反射鏡二維等效剛度模型各參數(shù)計算方法。研究不同徑厚比、面密度下二維等效模型一階自由模態(tài)頻率計算精度，結果表明面密度大于40kg/m2時，二維等效模型頻率計算誤差優(yōu)于4%，具有工程實用價值；通過具體算例驗證了該二維等效模型在疊層反射鏡優(yōu)化設計中的有效性。后續(xù)將進一步研究變剛度分布的疊層反射鏡等效建模方法，提高疊層反射鏡二維等效模型適用范圍；利用二維等效建模方法實現(xiàn)疊層反射鏡設計過程自動化，提高疊層反射鏡設計效率。

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2D Equivalent Modeling Method for ULE?Stacked-core Mirrors

DING Kaicheng1,2LIAN Huadong1

（1 Beijing Institute of Space Mechanics & Electricity, Beijing 100094, China） （2 Beijing Key Laboratory of Advanced Optical Remote Sensing Technology, Beijing 100094, China）

ULE?stacked-core mirror technology provides an effective way to make space mirrors with large aperture, low areal density and high stiffness.In order to improve the design efficiency and accuracy for ULE?stacked-core mirrors, a 2D equivalent modeling method is derived based on equivalent plate theory for sandwich structure in this paper. The finite element method is used to calculate the free modal frequency of the 2D equivalent model, and then the results are compared with those obtained by detailed model to verify the accuracy of the equivalent method. The validity of the 2D equivalent model in the optimization design of the stacked-core mirror is verified by a simulation example. The results show that the frequency error of 2D equivalent model is less than 4% when the areal density of the stacked-core mirror is greater than 40kg/m2, which can satisfy the requirements of the mirror design optimization.The 2D equivalent method proposed in the paper can greatly reduce the scale of the finite element model and increase the parameterization level highly, thus effectively improving the design efficiency for the stacked-core mirrors.

stacked-core mirrors; equivalent method; lightweight; finite element analysis; space remote sensing

TH75；V414.6

A

1009-8518(2019)02-0099-08

10.3969/j.issn.1009-8518.2019.02.011

丁鍇鋮，男，1991年生，2014年獲哈爾濱工業(yè)大學航空宇航科學與技術專業(yè)學士學位，現(xiàn)在中國空間技術研究院飛行器設計專業(yè)攻讀碩士學位。研究方向為光學遙感器總體設計。E-mail：mldingding@sina.com。

2018-06-07

國家重大科技專項工程

（編輯：龐冰）