一種新的連續(xù)面形變形鏡的解耦控制方法

劉成 于飛 丁琳 宋莉 黃剛 郝中洋,2 李超 林喆,2

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一種新的連續(xù)面形變形鏡的解耦控制方法

劉成1于飛1丁琳1宋莉1黃剛1郝中洋1,2李超1林喆1,2

（1 北京空間機(jī)電研究所，北京 100094）（2 先進(jìn)光學(xué)遙感技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094）

文章針對(duì)空間遙感器鏡面由于應(yīng)力釋放和溫度變化等引入像差的問(wèn)題，利用連續(xù)表面變形鏡校正像差展開(kāi)解耦控制技術(shù)研究。對(duì)于基于Zernike系數(shù)求解影響矩陣的傳統(tǒng)方法的波前復(fù)原精度有限的情況，文章提出了一種新的直接波前影響矩陣的變形鏡解耦方法，適用于點(diǎn)陣表達(dá)的波前面形和Zernike多項(xiàng)式表達(dá)的波前面形。經(jīng)過(guò)仿真驗(yàn)證，該影響矩陣解耦方法比基于Zernike系數(shù)方法的解耦精度高、穩(wěn)定性好。文章在新的直接波前影響矩陣的基礎(chǔ)上，討論了采樣方式與驅(qū)動(dòng)器分布對(duì)擬合面形的影響，論證了驅(qū)動(dòng)器的三角分布比四角分布更適合擬合面形。同時(shí)通過(guò)仿真分析，得出當(dāng)變形鏡要實(shí)現(xiàn)的面形采樣點(diǎn)數(shù)足夠時(shí)，求解精度的提升效果有限的結(jié)論。這些研究成果可為連續(xù)表面變形鏡對(duì)空間遙感器的像差校正提供相應(yīng)的技術(shù)支持。

采樣方式 采樣點(diǎn) 驅(qū)動(dòng)器分布 解耦控制 變形鏡 空間遙感器

0 引言

隨著對(duì)空間光學(xué)遙感器的分辨率水平和性能要求越來(lái)越高，高分辨率遙感器需要大口徑、長(zhǎng)焦距來(lái)保證遙感器的性能。在空間遙感應(yīng)用中，光學(xué)系統(tǒng)受到應(yīng)力釋放、溫度變化等影響導(dǎo)致有明顯的像差[1]，最終這些像差會(huì)導(dǎo)致成像品質(zhì)的降低，因此需要像差精密校正。1953年美國(guó)天文學(xué)家Babcock提出了用實(shí)時(shí)測(cè)量和實(shí)時(shí)校正來(lái)克服像差的設(shè)想[2]。此后，由于大型激光工程和光學(xué)系統(tǒng)對(duì)克服動(dòng)態(tài)誤差的需求迫切，而支撐技術(shù)日益成熟，自適應(yīng)光學(xué)在20世紀(jì)70年代得到了迅速發(fā)展[3]。目前，自適應(yīng)光學(xué)技術(shù)已經(jīng)在地基天文觀測(cè)、高能激光等多個(gè)領(lǐng)域獲得成功應(yīng)用[4]，也廣泛應(yīng)用于在軌光學(xué)誤差檢測(cè)和校正來(lái)保證成像系統(tǒng)的光學(xué)性能[5]。

變形鏡驅(qū)動(dòng)及控制技術(shù)是自適應(yīng)光學(xué)領(lǐng)域的一項(xiàng)核心技術(shù)，變形鏡是自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)的核心器件之一[6-7]。在外加電壓的控制下，通過(guò)其鏡面形變改變?nèi)肷洳ㄇ暗南辔?，從而改善系統(tǒng)成像的品質(zhì)[8-9]。根據(jù)入射畸變波前的相位信息，穩(wěn)定、精確的求出校正電壓是變形鏡實(shí)現(xiàn)波前校正的關(guān)鍵。

目前多個(gè)參考文獻(xiàn)[10-14]采用了基于Zernike多項(xiàng)式系數(shù)表達(dá)的影響矩陣，并據(jù)此求取驅(qū)動(dòng)電壓，這種表達(dá)方法不夠精確，對(duì)求解電壓的精度和穩(wěn)定性有很大影響，同時(shí)在引入Zernike描述時(shí)，又會(huì)引入誤差，基于此問(wèn)題，根據(jù)空間遙感器的特點(diǎn)，目前連續(xù)變形鏡的運(yùn)用廣泛[15-16]，參考文獻(xiàn)[1，17-19]都是選擇這種變形鏡進(jìn)行像差校正，探索其原因是連續(xù)表面變形鏡具有響應(yīng)速度快、波前擬合誤差小、光能利用率高、空間分辨率高、能保持相位連續(xù)和易于拋光鍍膜等優(yōu)點(diǎn)[20]。因此，本文選擇基于連續(xù)表面變形鏡建模展開(kāi)控制研究，引入了新的影響矩陣求解方法，提高了電壓的求解精度和穩(wěn)定性，為后期在空間遙感器中的像差校正提供參考。

1 變形鏡的建模與影響矩陣

變形鏡的主要性能指標(biāo)包括面形影響函數(shù)和交聯(lián)值，根據(jù)系統(tǒng)的要求變形鏡的變形量一般為幾個(gè)微米，位移分辨率為幾個(gè)納米，還有一個(gè)重要的指標(biāo)是對(duì)不同空間頻率波前像差的校正能力。該校正能力與變形鏡的單位面積驅(qū)動(dòng)器數(shù)量是密切相關(guān)的，如果需要進(jìn)一步優(yōu)化，同樣的驅(qū)動(dòng)器密度對(duì)不同結(jié)構(gòu)的變形鏡的校正能力是不同的，這就需要建立完整的模型，進(jìn)行詳細(xì)的分析。

1.1 影響函數(shù)與連續(xù)表面變形鏡的建模

變形鏡影響函數(shù)是建立在變形鏡的兩個(gè)重要規(guī)律之上的[21-24]：1）各個(gè)電極單獨(dú)作用時(shí)變形量的線性疊加等于變形鏡總的變形量；2）在單個(gè)電極作用下，變形鏡的變形與電壓的大小成正比。當(dāng)僅有一個(gè)驅(qū)動(dòng)電極加單位電壓而其它電極僅由彈性力約束時(shí)，鏡面的形變稱為此電極的影響函數(shù)[25]。

單個(gè)驅(qū)動(dòng)器的影響函數(shù)是與高度正相關(guān)的，但仍存在相交變形。變形鏡的整個(gè)面形由各個(gè)驅(qū)動(dòng)器影響函數(shù)疊加所確定。那么對(duì)一個(gè)指定的面形，可以有表達(dá)式

一般變形鏡的主孔徑為圓形，每個(gè)驅(qū)動(dòng)電極都是圓形結(jié)構(gòu)。在建模過(guò)程中，對(duì)驅(qū)動(dòng)器的大小忽略不計(jì)，通過(guò)文獻(xiàn)資料的查詢，驅(qū)動(dòng)器的分布方式一般為四邊形分布和三角分布（也可稱為六邊形分布）。本文選擇三角分布，以直徑為50mm、驅(qū)動(dòng)器37個(gè)的OKO變形鏡建模，取驅(qū)動(dòng)器分布如圖1所示。變形鏡在37個(gè)驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)量都為單位量的情況下的圖像如圖2所示。

圖1 變形鏡驅(qū)動(dòng)器的分布圖

圖2 單位驅(qū)動(dòng)量下變形鏡的立體圖像

圖2是全部驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)相同的位移形成的是類似圓錐體的立體圖。這是因?yàn)榻宦?lián)值對(duì)每個(gè)驅(qū)動(dòng)器的控制產(chǎn)生了耦合作用，控制產(chǎn)生需要的面形或者校正波前面形需要精確求解每個(gè)驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)量，需要對(duì)算法進(jìn)行研究。影響矩陣由此而來(lái)。

1.2 傳統(tǒng)Zernike方法

Zernike多項(xiàng)式在20初世紀(jì)提出，之后經(jīng)過(guò)完善用來(lái)描述波前像差。Zernike多項(xiàng)式可以用來(lái)明確地表示像差的物理意義，并在圓域內(nèi)相互正交。公式為

另一方面，傳統(tǒng)Zernike方法是將各個(gè)驅(qū)動(dòng)器的影響函數(shù)的Zernike系數(shù)向量保存在影響函數(shù)矩陣中，于是可以將式（6）改寫為式（7）的形式，則得到變形鏡與全部驅(qū)動(dòng)器電壓之間的關(guān)系

即

又因?yàn)樽冃午R是對(duì)波前的校正，根據(jù)校正的原理，有

式中是波前像差Zernike系數(shù)組成的向量，表示和同維度的零向量。

所以，在已知波前的情況下，變形鏡的驅(qū)動(dòng)電壓或者驅(qū)動(dòng)量為

由于影響函數(shù)矩陣的在通常情況下是不可求解的，所以一般采取奇異值分解。

Zernike多項(xiàng)式僅適合表達(dá)緩變波前，驅(qū)動(dòng)器影響函數(shù)具有在局部位置隨空間快速變化的特征，很顯然，Zernike多項(xiàng)式是不適合用于描述驅(qū)動(dòng)器影響函數(shù)的，那么它在求解驅(qū)動(dòng)量或驅(qū)動(dòng)電壓時(shí)的精度會(huì)受到限制。而且原始影響矩陣一旦確定之后，當(dāng)作為輸入的Zernike系數(shù)的項(xiàng)數(shù)存在變化時(shí)，方程就無(wú)法求解。若給的是一個(gè)點(diǎn)陣表達(dá)的波前面形，那么再用Zernike多項(xiàng)式表達(dá)，又會(huì)降低波前信息的準(zhǔn)確性，對(duì)于求解的精度產(chǎn)生不良影響。所以，需要一種新的方法來(lái)進(jìn)行解耦運(yùn)算。

2 直接波前影響矩陣

針對(duì)Zernike系數(shù)對(duì)波前難以進(jìn)行完全準(zhǔn)確的表達(dá)，結(jié)合空間遙感器像差矯正時(shí)需要帶寬較低而精度較高的特點(diǎn)，提出直接使用波前像差平面對(duì)變形鏡的通道驅(qū)動(dòng)量進(jìn)行求取，即通過(guò)直接波前影響矩陣進(jìn)行波前到驅(qū)動(dòng)量的解耦。

在求解過(guò)程中，對(duì)于一個(gè)指定大小的面形，由式（1）和式（2）可以得到

式中

又因?yàn)槊總€(gè)波前曲面的面形可以用Zernike的表達(dá)式進(jìn)行表達(dá)。對(duì)于指定區(qū)域內(nèi)的面形，可以表達(dá)為

那么根據(jù)變形鏡波前補(bǔ)償原理有

如果波前信息是一個(gè)面形，那么有

如果波前信息是用Zernike系數(shù)向量的形式給出的，那么有

從式（14）看出，如果波前面形的信息用Zernike系數(shù)的形式給出，不管Zernike項(xiàng)數(shù)多少，同樣可以算出需要面形的驅(qū)動(dòng)量或者驅(qū)動(dòng)電壓。

因此，利用上述的直接波前影響矩陣方法，無(wú)論波前信息是直接給出波前面形還是Zernike系數(shù)向量表達(dá)式，都可以對(duì)其求解，而且可以不受Zernike項(xiàng)數(shù)的限制，也不受波前表達(dá)的局限。同時(shí)，該方法與傳統(tǒng)Zernike方法求逆都是使用奇異值分解的方式。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 兩種影響矩陣控制比較

圖3 兩種影響矩陣的控制效果誤差比較

表1 兩種影響矩陣控制面形誤差值的均值和方差

Tab.1 The mean and variance of the control error for two kinds influence matrices nm

從表1可見(jiàn)，傳統(tǒng)Zernike方法的誤差值的均值和方差比直接波前影響矩陣方法的誤差的均值大5倍左右，說(shuō)明直接波前影響矩陣方法的求解精度更高、穩(wěn)定性更好?？梢?jiàn)與通常采用的Zernike方法相比，本文提出的直接波前影響矩陣的面形解耦控制方法不但有更高的精度，而且解耦過(guò)程表現(xiàn)的更加穩(wěn)定。

3.2 驅(qū)動(dòng)器分布方式和波前采樣方式的影響分析

（1）驅(qū)動(dòng)器的分布影響

驅(qū)動(dòng)器的分布方式一般為四角分布和三角分布（也可稱為六邊形分布）。但是，對(duì)于解耦控制而言，哪種分布方式更好，需要進(jìn)一步驗(yàn)證。選擇面形的大小相同，材料相同的變形鏡，它們的交聯(lián)值相同。四角分布選擇驅(qū)動(dòng)器44個(gè)，如圖4所示，三角分布選擇驅(qū)動(dòng)器37個(gè)，如圖5所示。

圖4 驅(qū)動(dòng)器四角分布示意圖

圖5 驅(qū)動(dòng)器三角分布示意圖

四角分布變形鏡的面形大小為42mm，驅(qū)動(dòng)器間的距離為5.92mm，中間是正方形分布，驅(qū)動(dòng)器每行6個(gè)，每列6個(gè)，在正方形的每條邊的旁邊還有2個(gè)，一共44個(gè)驅(qū)動(dòng)器。

圖6 四角采樣方式下的兩種驅(qū)動(dòng)器分布方式控制效果誤差值

三角分布變形鏡的大小為42mm，驅(qū)動(dòng)器之間的間距為7mm，驅(qū)動(dòng)器一共37個(gè)，其中中間1個(gè)，第一圈6個(gè)，第二圈12個(gè)，第三圈18個(gè)，每一圈都是在圓環(huán)內(nèi)均勻分布。

對(duì)應(yīng)驅(qū)動(dòng)器的四角分布和三角分布，波前面形的采樣方式也對(duì)應(yīng)的有四角方式和三角方式。因此需要結(jié)合驅(qū)動(dòng)器的分布情況，對(duì)不同波前采樣方式和驅(qū)動(dòng)器分布方式進(jìn)行分析。這里對(duì)前10項(xiàng)Zernike系數(shù)所表達(dá)的面形的控制精度進(jìn)行分析，以原始面形和控制之后生成面形誤差值作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。

圖7 三角采樣方式下的兩種驅(qū)動(dòng)器分布方式控制效果誤差值

表2 兩種驅(qū)動(dòng)器分布方式與兩種采樣方式下的面形誤差的均值與方差

Tab.2 The mean and variance of error in two driver distribution modes and two sampling methods nm

根據(jù)圖6、圖7和表2可以看出，不管采樣方式是三角采樣還是四角采樣，驅(qū)動(dòng)器的三角分布相對(duì)于四角分布的情況，擬合面形的精度都要更高；在驅(qū)動(dòng)器四角分布中，三角采樣比四角采樣對(duì)面形的擬合精度差；在驅(qū)動(dòng)器三角分布中，四角采樣的方式與三角采樣的方式對(duì)面形的擬合精度差不多。

（2）波前采樣點(diǎn)數(shù)影響

從式（10）的理論推導(dǎo)求解公式中可見(jiàn)，對(duì)于驅(qū)動(dòng)量或驅(qū)動(dòng)電壓的精確求解主要是采樣點(diǎn)的多少，因此需要對(duì)采樣點(diǎn)數(shù)量需求進(jìn)行評(píng)估。在求解驅(qū)動(dòng)量或者驅(qū)動(dòng)電壓的過(guò)程中，采樣點(diǎn)的點(diǎn)數(shù)至少要和驅(qū)動(dòng)器的數(shù)目相等。為了評(píng)價(jià)采樣點(diǎn)的多少對(duì)于驅(qū)動(dòng)量的精確求解的客觀性，首先用不同的采樣點(diǎn)去求解驅(qū)動(dòng)量或者驅(qū)動(dòng)電壓，然后再用相同的采樣點(diǎn)去擬合相同的面形，通過(guò)原始面形與控制面形的誤差值大小來(lái)評(píng)價(jià)求解的精確性。

圖8 不同采樣間隔下的控制的誤差值

表3 不同采樣間隔的面形誤差值的均值與方差

Tab.3 The mean and variance of surface figure error under different sampling intervals

從圖8和表3看出，在采樣間隔為3mm時(shí)的RMS誤差值比采樣間隔為2mm時(shí)的RMS誤差值小，而其他線基本重合，說(shuō)明采樣點(diǎn)數(shù)少的情況下，求解的精度不是很穩(wěn)定。然而，達(dá)到一定采樣數(shù)量后，精度不會(huì)再提高，保持基本穩(wěn)定。進(jìn)而說(shuō)明在求解驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)向量時(shí)，采樣點(diǎn)并不是越多越好，采樣點(diǎn)達(dá)到一定數(shù)目之后，再多的采樣點(diǎn)對(duì)于驅(qū)動(dòng)量的求解精度作用有限。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)實(shí)際面形的大小和驅(qū)動(dòng)器數(shù)目的多少去選擇合適的采樣點(diǎn)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)于基于Zernike系數(shù)求解影響矩陣的傳統(tǒng)方法的波前復(fù)原精度有限的情況，提出了一種新的直接波前影響矩陣的變形鏡解耦方法，適用于點(diǎn)陣表達(dá)的波前面形和Zernike多項(xiàng)式表達(dá)的波前面形。經(jīng)過(guò)仿真驗(yàn)證，該影響矩陣解耦方法比基于Zernike系數(shù)方法的解耦精度高、穩(wěn)定性好。在該方法的基礎(chǔ)上，論證了驅(qū)動(dòng)器的三角分布比四角分布更適合擬合面形。同時(shí)通過(guò)仿真驗(yàn)證得出當(dāng)變形鏡采樣點(diǎn)數(shù)到達(dá)一定量后對(duì)解精度的提升效果有限的結(jié)論。這些研究成果可為連續(xù)表面變形鏡對(duì)空間遙感器的像差校正提供相應(yīng)的技術(shù)支持。

對(duì)于下一步的研究，將著重研究驅(qū)動(dòng)器數(shù)量與采樣點(diǎn)的定量關(guān)系，從而更好地對(duì)變形鏡的控制提出技術(shù)指標(biāo)。

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A New Decoupling Control Method for the Deformable Mirror with Continuous Surface Shape

LIU Cheng1YU Fei1DING Lin1SONG Li1HUANG Gang1HAO Zhongyang1,2LI Chao1LIN Zhe1,2

（1 Beijing Institute of Space Mechanics & Electricity, Beijing 100094, China） （2 Beijing Key Laboratory of Advanced Optical Remote Sensing Technology, Beijing 100094, China）

In order to solve the problem of aberration caused by stress release and temperature change of mirror of space remote sensor, the decoupling control technology is studied using aberration correction of continuous surface deformation mirror. Due to the limited accuracy of the traditional Zernike coefficient-based wavefront restoration methods, a new deformable mirror decoupling method using direct wavefront influence matrix is proposed, which is suitable for wavefront expressed by both lattice and Zernike polynomial. The simulation results show that the influence matrix decoupling method has higher accuracy and better stability than those based on Zernike coefficient. Based on the new direct wavefront influence matrix, the influence of sampling mode and driver distribution on the fitting surface is discussed. It is proved that the triangular distribution of the driver is more suitable in fitting the surface than the quadrangular distribution. At the same time, the simulation analysis shows that when the number of surface sampling points on the deformable mirror is enough, the improvement effect of solution accuracy is limited. These results can provide technical support for aberration correction of space remote sensor by continuous surface deformable mirror.

Sampling Modes; Sampling Points; Driver Distribution; Decoupling Control; Deformable Mirror; Space Remote Sensor

TP273.2

A

1009-8518(2019)02-0089-10

10.3969/j.issn.1009-8518.2019.02.010

劉成，男，1993年生，2016年獲西安電子科技大學(xué)學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)在中國(guó)空間技術(shù)研究院精密光電儀器控制專業(yè)攻讀碩士學(xué)位。研究方向?yàn)榛谶B續(xù)變形鏡的多變量解耦控制。E-mail：liucheng520zf@163.com。

2018-08-29

國(guó)家重大科技專項(xiàng)工程

（編輯：龐冰）