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    初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)研究—例談問題解決理論下的數(shù)學(xué)建?;顒?dòng)

    2019-05-17 08:30:56
    名師在線 2019年12期
    關(guān)鍵詞:旗桿綜合與實(shí)踐仰角

    吳 威

    (福建省福州第一中學(xué),福建福州 350000)

    引 言

    在本文的數(shù)學(xué)建?;顒?dòng)研究中,問題解決模式為:指導(dǎo)教師引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)中提取信息,與已學(xué)的知識(shí)加以聯(lián)系,并進(jìn)行信息加工,從而將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,在自身能力所及的范圍內(nèi)解決此問題,再爭(zhēng)取將數(shù)學(xué)問題的解決應(yīng)用到實(shí)際生活中[1]。

    一、問題解決理論下的數(shù)學(xué)建?;顒?dòng)

    強(qiáng)調(diào)“問題解決”是目前構(gòu)建數(shù)學(xué)課程改革的重要趨勢(shì)。目前的國(guó)際數(shù)學(xué)課程改革強(qiáng)調(diào)以下三點(diǎn):(1)強(qiáng)調(diào)“解決問題和數(shù)學(xué)應(yīng)用”;(2)強(qiáng)調(diào)“綜合活動(dòng)”,我國(guó)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào),在初中學(xué)段,學(xué)生將進(jìn)一步參與綜合實(shí)踐活動(dòng),探討一些具有挑戰(zhàn)性的研究課題,發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的意識(shí)和能力;(3)強(qiáng)調(diào)“非常規(guī)問題”。

    二、“測(cè)量學(xué)校內(nèi)建筑物高度”的建模過程和指導(dǎo)

    (一)原始問題

    測(cè)量建筑物高度是一個(gè)常見的數(shù)學(xué)問題。測(cè)量的方法可以以幾何為主,也可以結(jié)合三角方法和物理方法,如求線段長(zhǎng)、相似三角形、氣壓性質(zhì)、自由落體試驗(yàn)、幾何光學(xué)試驗(yàn)等。

    測(cè)量的對(duì)象:(1)本校旗桿的高度;(2)校外高建筑物(不可及)的高度。

    (二)實(shí)施過程

    (1)學(xué)生。小組成員經(jīng)過討論,需要確定建模過程中的小組成員分工、測(cè)量目標(biāo)、測(cè)量方式和測(cè)量工具,及時(shí)記錄測(cè)量數(shù)據(jù),做好多種方法的設(shè)計(jì)。有能力的小組可以做誤差分析。

    (2)教師。指導(dǎo)學(xué)生查閱資料,了解相關(guān)的測(cè)量方法和技巧。鼓勵(lì)學(xué)生合作完成測(cè)量,不局限測(cè)量的方式。對(duì)學(xué)生提出的新穎的測(cè)量方式要及時(shí)加以引導(dǎo)和組織討論;在測(cè)量過程中,對(duì)學(xué)生不合理的方法和做法,要適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)他們發(fā)現(xiàn)問題,讓他們自己尋求解決方法,也可以將其作為反思的例子;在學(xué)生完成測(cè)量后,組織各小組進(jìn)行討論交流,讓學(xué)生將測(cè)量結(jié)果、測(cè)量方式、誤差估計(jì)方式等一一做交流,讓學(xué)生談?wù)勛约旱氖斋@。

    (三)測(cè)量方法總結(jié)報(bào)告

    (1)測(cè)量本校旗桿的高度。由于學(xué)校的旗桿下有階梯和底座,因此可以將這個(gè)模型看作被測(cè)建筑物底部不可到達(dá)的模型。

    方法一:鑒于旗桿的前方是空曠的操場(chǎng),選擇測(cè)量的位置比較自由,C組利用量角器測(cè)量,運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)求值(見圖 1)。

    ①設(shè)旗桿建筑MN底部的階梯高度為m,在旗桿建筑底部N所在的水平面上,選取A,B兩個(gè)位置,使A,B,N三點(diǎn)共線;

    ②在人眼的位置,分別測(cè)量A,B兩個(gè)位置的仰角,測(cè)得仰角的度數(shù)為x,y,兩觀測(cè)點(diǎn)間的距離AB=a,人眼高度AA'=b;

    圖1

    方法二:由于在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn),利用量角器測(cè)量仰角得到的數(shù)據(jù)誤差比較大,于是D組同學(xué)將C組的方法做了改進(jìn),不測(cè)量角度,轉(zhuǎn)而利用三角函數(shù)定義,測(cè)量三角形兩邊之比(見圖 2)。

    ①設(shè)旗桿建筑MN底部的階梯高度為m,在旗桿建筑底部N所在的水平面上,選取A,B兩個(gè)位置,使A,B,N三點(diǎn)共線,人眼的位置為A'和B';

    ②分別在C,D位置豎一根桿子,使人的視線經(jīng)過桿的頂端時(shí),剛好能看見旗桿的頂端M,測(cè)量BD,AC間的距離a和b,A,B兩個(gè)位置間的距離c,桿子的長(zhǎng)度DD'為h,在D位置到旗桿的距離DN為d,設(shè)MB高度為x,人的高度為n;

    圖2

    如果有平面鏡等工具,也可以利用平面鏡放射等光學(xué)原理來設(shè)計(jì)試驗(yàn)。

    2.在校內(nèi)測(cè)量校外高建筑物的高度

    由于校外的樓比較龐大,學(xué)生在校內(nèi)測(cè)量,樓底被遮擋,測(cè)量遇到一定困難。

    方法一:由于在校內(nèi)有教學(xué)樓(其他建筑物)可以利用,教師指導(dǎo)C組學(xué)生采取與上文測(cè)量旗桿相類似的方法,在豎直方向選擇兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行操作(見圖3)。

    ①在教學(xué)樓底部A的豎直方向上,再找一個(gè)測(cè)量點(diǎn)C(在教學(xué)樓的一層);

    ②分別測(cè)量A'和C兩個(gè)位置的仰角,測(cè)得仰角的度數(shù)為x和y,測(cè)得人眼高度AA'=b,教學(xué)樓一層的高度為a;

    圖3

    與此方法同理,學(xué)生也可以借助之前試驗(yàn)中求得的教學(xué)樓高為數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。

    方法二:考慮到高建筑物在學(xué)校外,無(wú)法看到其底部,因此無(wú)法準(zhǔn)確判斷點(diǎn)是否與建筑物底部質(zhì)點(diǎn)共線,容易產(chǎn)生誤差。D小組的學(xué)生沒有采用測(cè)量旗桿的方法,而是結(jié)合平面幾何的知識(shí),即三角形中線定理給出了一個(gè)更具普遍性和應(yīng)用性的方法(見圖4)。

    ①由于被測(cè)的高樓比較龐大,樓底被遮擋難以確定位置。因此,在被測(cè)對(duì)象前方,也就是學(xué)校內(nèi),與被測(cè)高樓同一水平面上任取共線的三點(diǎn)A',E',D',使E'為A'D'的中點(diǎn);

    ②測(cè)得AE=ED=a,學(xué)生分別站在A',E',D'處測(cè)量仰角,測(cè)得 ∠BAC=x,∠BEC=y,∠BDC=z,人眼高度為m,

    設(shè)AB=b,BE=c,BD=d,BC=x;

    ③根據(jù)中線定理,可得b2+d2= 2a2+ 2c2,

    由三角函數(shù)知識(shí)可以得知:b· ta nx=c· ta ny=d· ta nz=x, 由 此可得則被測(cè)高樓的高度為

    圖4

    三、模型結(jié)果和評(píng)估

    (一)測(cè)量本校旗桿的高度

    在實(shí)際模擬中,測(cè)得a=5m,b==1.5m, 44x= °, 65y°= ,m=0.6m,代入得

    由于大多數(shù)學(xué)校的旗桿高度為10米到12米,因此借助測(cè)角儀測(cè)得的數(shù)據(jù),用于模擬計(jì)算旗桿高度較為準(zhǔn)確。

    但這種設(shè)計(jì)方式,對(duì)于較遠(yuǎn)的建筑而言,由于底部看不清位置,無(wú)法準(zhǔn)確選定三點(diǎn)共線的位置,估算的數(shù)值容易有較大誤差。

    (二)在校內(nèi)測(cè)量校外高建筑物的高度

    由于校外的樓比較龐大,學(xué)生在校內(nèi)測(cè)量,樓底被遮擋,無(wú)法看到其底部,因此無(wú)法準(zhǔn)確判斷點(diǎn)是否與建筑物底部質(zhì)點(diǎn)共線,容易產(chǎn)生誤差, 操作時(shí)采取方法二,即被測(cè)高樓的高度為測(cè) 得x= 7 0°,y= 6 5°z=62°,m=1.5m,a=10m, 代 入 得

    結(jié) 語(yǔ)

    在建模過程完成后,學(xué)生需要回顧自己已經(jīng)解決的模型,正視自己正在解決的模型,展望自己能夠解決的模型。在將自己的新想法付諸實(shí)踐時(shí),需要不斷地學(xué)習(xí)、改進(jìn),使這些觀念適合現(xiàn)實(shí)的問題情境。由此可見,通過數(shù)學(xué)建?;顒?dòng),能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、知識(shí)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí),在活動(dòng)中使學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn),提高學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問題的能力。

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