楊輝算法中的比類問題
——以《田畝比類乘除捷法》上卷為例

趙 晨，宋芝業(yè)

（內(nèi)蒙古師范大學科學技術(shù)史研究院，內(nèi)蒙古呼和浩特010022）

關(guān)于楊輝算書的研究，前輩學者做出了大量極有價值的研究成果。李儼的《宋楊輝算書考》對楊輝所著各算書傳本做了詳盡的描述，此外嚴敦杰以及郭書春等人，對在楊輝算書自古至今流傳的過程中遺失的部分，通過輯錄《永樂大典》和《諸家算法》等文集進行了補錄。其它對于楊輝算書的研究大部分以算術(shù)內(nèi)容的考證及分析為導(dǎo)向。

但在這些工作之外，對于楊輝在《田畝比類乘除捷法》中運用到的比類思想?yún)s很少被提及，有待于進一步的研究及發(fā)掘；但楊輝的該種比類思想?yún)s在中國古代的數(shù)學發(fā)展中占有著重要的地步，并且對于當今社會的數(shù)學教育的發(fā)展也有著借鑒意義[1-4]。通過探討比類這一思想，來分析和歸納楊輝在《田畝比類乘除捷法》該著作中運用到的數(shù)學思維方法，來試圖找出在數(shù)學教學發(fā)展上的些許啟發(fā)。

1 楊輝與《田畝比類乘除捷法》概述

楊輝，字謙光，漢族，錢塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的數(shù)學家和數(shù)學教育家，生平履歷不詳。曾擔任過南宋地方行政官員，為政清廉，足跡遍及蘇杭一帶。

他在總結(jié)民間乘除捷算法、“垛積術(shù)”、縱橫圖以及數(shù)學教育方面，均做出了重大的貢獻。他是世界上第一個排出豐富的縱橫圖和討論其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學家。著有數(shù)學著作5種21卷，即《詳解九章算法》12卷（1261），《日用算法》2卷（1262），《乘除通變本末》3卷（1274），《田畝比類乘除捷法》2卷（1275）和《續(xù)古摘奇算法》2卷（1275）（其中《詳解》和《日用算法》已非完書）。后三種合稱為《楊輝算法》。朝鮮、日本等國均有譯本出版，流傳世界。

楊輝還曾論證過弧矢公式，時人稱為“輝術(shù)”。與秦九韶、李冶、朱世杰并稱“宋元數(shù)學四大家”。

《田畝比類乘除捷法》該書，通過楊輝的自序“目之曰：田畝比類乘除捷法。庶少裨汲引之梯徑云爾。時歲在乙亥德祐改元小暑節(jié)。錢塘楊輝謹序?！蔽覀兛梢缘贸?，該書成書于南宋德祐乙亥年(公元1275年)小暑時節(jié)。

《田畝比類乘除捷法》上卷共有三十七問，分別為：步法直田,比斤、匹、斛三問；直田步下帶尺，比斤兩、匹尺二問；直田步下帶寸，比斤兩銖、匹尺寸二問；方里田，比方圍箭；圓田，畹田比牛角丘田三問；環(huán)田，比方箭、圓箭二問；圭田，比勾股梭田二問；梯田，比田垛周圍十四問。

《田畝比類乘除捷法》下卷共有二十七問，分別為：桑墻四不等田三問；截直田兩問；差步問長闊和三問；和步問長闊差三問；直田演段四問；共積分方徑、截圭、梯、環(huán)、圓田八問；錢田三問。

書中主要是講述有關(guān)平面圖形面積計算的問題，其提到的直田、方田、圓田、環(huán)田、圭田、梯田等，分別指代今天的長方形、正方形、圓形、圓環(huán)形、三角形、梯形等。同時楊輝將其他的計算問題諸如求價格、重量等也比類為平面圖形面積計算的問題，來進行求解。

2 《田畝比類乘除捷法》上卷中例題

楊輝于《田畝比類乘除捷法》該書上下兩卷中創(chuàng)造性的將一般數(shù)學問題比類為田畝的面積?，F(xiàn)根據(jù)楊輝在書中對數(shù)學問題的分類將例題歸納為以下幾類：

2.1 直田法

銅三十六砣，每砣重四十八斤，問共若干。

答曰：一千七百二十八斤。

草曰：以三十六砣，乘四十八斤。于砣上定斤，得一千七百二十八斤。合問。

現(xiàn)在有銅一共三十六砣，每砣銅重四十八斤，問一共有多少

答案：一共有一千七百二十八斤。

計算過程：用三十六砣，乘上每砣的重量四十八斤，從而得到總重量為一千七百二十八斤，見圖1。

圖1 直田法示意圖

2.2 直田步下帶尺寸

物七斤六兩，每斤八貫二百文，問錢幾何。

答曰：六十貫四百七十五文。

草曰：以十六兩通七斤，并六兩，共一百一十八兩;以八貫兩百乘，得九百六十七貫六百；以十六除之。合問。

物品的重量是七斤六兩，每斤的價格是八貫兩百文，問一共需要多少錢？

答案：一共需要六十貫四百七十五文。

計算過程：一斤是十六兩，來進行換算，得到一共是一百一十八兩，再乘以每斤的價格，八貫兩百文，之后再除以十六，見圖2。

圖2 直田步下帶尺寸示意圖

2.3 比類斤、匹通分

銀九斤六兩六銖，每兩三貫四百文,問共幾何。

答曰：五百一十貫八百五十文。

草曰：以十六兩通九斤，并六兩;又二十四銖?fù)▋桑⑷肓彙?/p>

共為三千六百六銖。借兩價三貫四百為乘。用銖法二十四除之。得答數(shù)。

一草：不通銖以六銖為兩下二分五厘，便用兩價三貫四百乘一百五十兩二分五厘。亦合問。

有銀子九斤六兩六銖，銀子的價格是每兩三貫四百文，問總價格是多少？

答案：價格是五百一十貫八百五十文。

計算過程：用一斤等于十六兩來換算九斤，再加上六兩，再用一兩等于二十四銖進行換算，在加上六銖，一共得到三千六百六銖，再乘以銀子每兩的價格三貫四百文，后再除以二十四，便得到答案，見圖3。

另一算法：不用銖進行通分，用六銖換算為零點二五兩，后用銀子每兩的價格三貫四百文乘以總重一百五十兩二分五厘，也可以得到答案。

圖3 比類斤、匹通分示意圖

2.4 方里田

方箭外圍四十枝，問共箭若干。

答曰：一百二十一枝。

本法：外圍添八;以乘外圍;十六而一;添心箭。

借方田法：外圍兩折半;增一，為方面，自乘之。又借用梯田法：并內(nèi)、外圍;折半;以層數(shù)乘之;外圍求積以八除之，為層數(shù)。

有成方形箭枝一捆，外圍一共有四十枝，問一共有多少枝箭。

答案：一共有一百二十一枝。

計算過程：用外圍箭支的數(shù)目四十加上八之后，再乘以四十，再除以十六，再加一，見圖4。

借用方田的方法：外圍箭支的數(shù)目除以四，再加一，之后再平方?；蛘呓栌锰萏锓ǎ瑢?nèi)外圍的數(shù)字相加，除以二，再乘以層數(shù)；外圍的平方除以八所得數(shù)即為層數(shù)。

圖4 方里田示意圖

2.5 梯田法

圓箭外圍三十六枝，問共幾枝。

答曰：一百二十七枝。

本法：外圍添六;以乘外周;十二而一;增心箭。

借梯田法：以內(nèi)圍六枝，并外圍三十六枝，共四十二;以六層乘之，得二百五十二;折半;加心箭。合問。以六除外圍.即知層數(shù)。

有成圓形箭枝一捆，外圍一共有三十六枝，問一共有多少枝箭。答案：一共有一百二十七枝。

計算方法：用外圍數(shù)加上六，再乘以外周數(shù)，除以十二，再加一，見圖5。

借用梯田的方法：用內(nèi)圍的六枝，加上外圍的三十六枝，一共得到四十二枝，乘以六層，得到二百五十二，除以二，再加一。用外圍數(shù)除以六，即可得到層數(shù)。

圖5 梯田法示意圖

2.6 圭田法

今有圭垛一堆，上一束，底闊八束。梯草垛二堆：小堆上有六束、底闊十三束；大堆上有九束、底闊十六束。問共幾束。

答曰：二百一十二束。

術(shù)曰：依梯垛，并三堆上下廣，以髙乘之；折半。

草曰：并三堆上、下廣，共五十三；以高八層乘，得四百二十四；折半，得二百一十二束。合問。

現(xiàn)在有圭垛一堆，上邊有一束，下面有八束；梯草垛二堆：小梯草垛上邊有六束，下邊有十三束；大梯草垛上邊有九束，下邊有十六束。問一共有多少束。

答案：一共有二百一十二束。

計算方法：按照梯垛的計算方法，將三堆的上邊長和下邊長相加，乘以高，再除以二。

計算過程：將三堆的上邊長和下邊長相加，得到五十三；再乘以高，高為八層，得到四百二十四；再除以二，得到二百一十二，見圖6。

圖6 圭田法示意圖

2.7 差步問長闊和

給銀八百六十四兩，只云所得銀之兩數(shù)比總分人數(shù)，其銀多十二兩。問總是幾人，每人各得幾兩。

答曰：二十四兩，三十六人。

銀多為長，人少為闊。銀多十二兩即長闊之差數(shù)也。取用同前。帶從開平方除之。

現(xiàn)在一共有銀子八百六十四兩，只知道每個人分到的銀子的數(shù)目比總?cè)藬?shù)多十二，問一共有多少人，每個人分得多少兩銀子。

答案：每個人分得二十四兩，一共有三十六人，見圖7。

圖7 差步問長闊和示意圖

3 比類的定義

何為比類？筆者認為要理解此概念，不妨將比類二字進行拆分，一為比，二為類；

關(guān)于比的定義如下：比者，密也。二人爲從，反從爲比。凡比之屬皆從比。夶，古文比，毗至切。兩人相隨構(gòu)成“從”字，反寫“從”字遂成“比”。所有與比相關(guān)的字，都采用“比”作邊旁。夶，這是古文寫法的“比”字。

而“類”字，在中國古代文化中的意思指“相似”、“相象”、“有”、“相同”或“相等”，例如，楊輝在此處，將普通的乘法運算比類為田畝面積的求證，究其根本原因二者存在著相似性，在此處都是簡單的相乘。據(jù)此，簡而言之,相同即為同類,相異則為是異類。

同時，在“比類”一詞中，“類”，是作為行動來實現(xiàn)其義的,是作為一個動詞出現(xiàn)在具體語句中的?？傊?在中國古代文化中,“類”與同異、有無的認識聯(lián)系在一起?！邦悺笔紫仁鞘挛镩g同異關(guān)系的概括,但主要指“類別”、“類同”或“不類”。

據(jù)此可以推斷出“比類”二字的釋義，即通過比較物間的同異關(guān)系和聯(lián)系，以進行歸納和演繹，并從而做出進一步的釋義和分析。

4 楊輝采用比類的原因

以今天的角度來看，上述三題的解答并不是十分的困難，只是簡單的乘法運算。但楊輝卻將問題比類，并做出了圖示，來解決這一問題，探究其原因，歸結(jié)為以下幾點：

4.1 數(shù)形結(jié)合的意義

談及數(shù)形結(jié)合的意義，我國著名的數(shù)學家華羅庚先生曾寫過一首非常有名的詩，該詩生動形象地描述了數(shù)形結(jié)合的思想，以及數(shù)與形的復(fù)雜的內(nèi)在關(guān)系，“數(shù)形本是相依好，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休。幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系莫分離”。

同時，我們知道，人類在上古時期對“形”的認識比對“數(shù)”的認識遠為直接而深刻。無疑這是由于“形”的概念可以直接從生活、生產(chǎn)實踐中獲得，而“數(shù)”的概念則只能是人類頭腦抽象思維的產(chǎn)物，有史實作證：在法蘭西和西班牙地穴里。大約1萬5千年前就繪有圖形，在中國西安半坡遺址也發(fā)現(xiàn)圓形與正方形房屋地基。出土器皿有各種規(guī)則的形狀，其上有幾何圖案紋飾。這些都反應(yīng)了古代人類對方、圓、直、曲有清晰的認識。

在數(shù)學研究中，我們大體上可以將分析的問題分為兩大方面，分別為：“數(shù)”與“形”，此二者具有本質(zhì)的，內(nèi)在的聯(lián)系，且二者具有高度的對立統(tǒng)一關(guān)系。在分析數(shù)學問題時，二者是相輔相成的，若將其分割開來，則將會使問題復(fù)雜以及困難化。單一的數(shù)字或者圖表往往使人難以理解，及產(chǎn)生困倦，當將二者統(tǒng)一結(jié)合時，往往可以使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題直觀化，瑣碎的問題具體化，從而最終實現(xiàn)解決數(shù)學問題，提升數(shù)學思維這一最終目的。

據(jù)此，楊輝為了令自己的問題看起來更加的直觀，更加的令學者便于理解，啟發(fā)學者的數(shù)學思維，所以采用了數(shù)形結(jié)合這種的處理方式。同時，楊輝的這種處理方法也再次體現(xiàn)了中國古代數(shù)學中“數(shù)”與“形”相統(tǒng)一的觀點。

4.2 楊輝的“須責實有”思想

楊輝不僅是一位杰出的數(shù)學家，還是一位杰出的教育家，關(guān)于采用“田畝”進行比類，也與其的教育思想有關(guān)。楊輝在其本人的著作：《日用算法》序中提出：“以乘除加減為法，稱斗尺田為問”“用法必載源流，命題須責實有”?！绊氊煂嵱小本褪且髷?shù)學學習的內(nèi)容，必須以社會生產(chǎn)、生活實踐中所提出的問題為依據(jù)，換句現(xiàn)代用語，就是必須與實踐相結(jié)合。結(jié)合楊輝曾在臺州地區(qū)進行土地測量工作，因此其將算術(shù)問題比類為田畝就不足為奇了。其在書中先后5次引用臺州量田圖，在《續(xù)古摘奇算法》卷上，還記有“輝伏睹京城見官斛號杭州百合，浙郡一體行用”。這種與實踐緊密結(jié)合進行數(shù)學教學與數(shù)學研究的方法，也是中國古代數(shù)學家的優(yōu)良傳統(tǒng)。

楊輝的這種實踐與教學相統(tǒng)一的觀點是具體與抽象完美的結(jié)合，對于剛剛接觸算術(shù)的學者是十分有益的。這也是作為數(shù)學教育家的楊輝的匠心之所在。

5 比類的影響

楊輝的“比類”思想，從本質(zhì)上講，可以歸類為推類邏輯，該邏輯的積極方面便是對中國古代數(shù)學產(chǎn)生了深刻的促進作用,進一步的講是該方法推動了中國古代數(shù)學的持續(xù)發(fā)展。

同時,中國古代數(shù)學形成了以“推類”為主導(dǎo)推理范式的自身邏輯思路,并且持續(xù)到宋元時期。事實上,演繹性的“推類”在劉徽時代就已經(jīng)發(fā)展到很高的水平;到宋元時代,從秦九韶的工作來看,此時的數(shù)學思維與數(shù)學推理已經(jīng)開始具有公理化特征。

而西方則與中國不同，與中國的推類相反的是，西方注重的則是對數(shù)學定理的證明及運用。從畢達哥拉斯定理的證明作為開始一直到牛頓-萊布尼茲的微積公式的發(fā)現(xiàn)，西方數(shù)學界走上了一條與古代中國不相同的道路。直到明清以后，西方數(shù)學開始領(lǐng)先于中國，這并不能說明西方在數(shù)學研究上采用的方法領(lǐng)先于中國。造成這種結(jié)果的原因是多方面，不只是與研究所采用的方法有關(guān)。

因此所謂的“中國傳統(tǒng)思維方式束縛中國古代數(shù)學在明代以后進一步發(fā)展”的說法,是確實值得商榷的。中國古代數(shù)學受到了推類邏輯的影響,形成了自己的推理方法體系——以“類以合類”為方法論基礎(chǔ),以“類”和“分類”為推理的核心成分,以“推類”為主導(dǎo)推理范式。這一方法體系在相當長的時期內(nèi)使中國古代數(shù)學處于世界領(lǐng)先地位。

6 結(jié)語

關(guān)于楊輝采用“田畝”來進行比類，與楊輝當時所處的時代背景、數(shù)與形對于人的直觀的印象以及楊輝本人的教育思想有著深遠的關(guān)系。

楊輝當時所處的時期，正是南宋因為內(nèi)部的人口膨脹和外部的強敵壓境這二者雙重壓力之下的困難時期，這一內(nèi)一外的兩大因素造成了巨大的土地與人民的矛盾。同時也與楊輝曾在臺州地區(qū)擔任土地測量的官員和其本身“須責實有”的教育思想有關(guān)。南宋時期的土地矛盾和楊輝的曾經(jīng)的工作背景決定了其采用“田畝”來進行比類，而不是其它的物體，其“須責實有”的教育思想其最終會采用比類來解決其算術(shù)問題。綜合這幾大因素，楊輝采用“田畝”來比類其《田畝比類乘除捷法》上卷中的算術(shù)問題就不足為奇了。

因此，我們在研究楊輝的比類思想，以及其它的科技史著作時，我們不單單要研究其人，其著作，其思想，同時還要結(jié)合作者所處的時代背景，該時代的科技發(fā)展程度。才能對其研究的更加的透徹，從而得出正確的結(jié)論，領(lǐng)悟到古人高超的智慧。