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    冪指函數(shù)的研究

    2019-05-16 09:19:36常秀芳
    關(guān)鍵詞:山西大同冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)

    李 高,常秀芳

    (山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,山西大同037009)

    1 概念

    定義:形如

    y=[u(x)]v(x)

    的函數(shù),稱為冪指函數(shù)[1-3]。

    其中u(x)與v(x)都是自變量x的函數(shù),定義域是u(x)、v(x)與[u(x)]v(x)同時都有意義的自變量x的取值。

    在自變量的某個變化過程中,不定式 0∞、1∞、00、∞0型的函數(shù)極限[4-6],一般都是冪指函數(shù)的極限。至于0∞、1∞、00、∞0型的冪指函數(shù)都可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃位癁檫@兩種類型,然后利用洛必塔法則求之。當(dāng)然一部分的1∞型的冪指函數(shù)可以用第二重要極限求之。誠然1∞型不定式的冪指函數(shù)極限有第二重要極限這個利器解之,但并非是萬能的。

    冪指函數(shù)象冪函數(shù),但又不是冪函數(shù);又象指數(shù)函數(shù),卻又不是指數(shù)函數(shù)。因此,冪指函數(shù)的求導(dǎo)就不能按冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的顯函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式直接求之。

    2 對數(shù)法

    冪指函數(shù)y=u(x)v(x)[ ]u(x)>0取對數(shù)隱化,將顯函數(shù)化為隱函數(shù),得

    lny=v(x)lnu(x)。

    2.1 求極限

    對數(shù)法將顯函數(shù)變?yōu)殡[函數(shù)后兩邊取極限

    limlny=lim[v(x)lnu(x)],

    因?qū)?shù)函數(shù)是連續(xù)的,極限號與對數(shù)符號交換位置得

    lnlimy=lim[v(x)lnu(x)],

    由對數(shù)與指數(shù)互化的性質(zhì)得

    limy=elim[v(x)lnu(x)]。

    2.2 求導(dǎo)數(shù)

    冪指函數(shù)y=u(x)v(x)[u (x)>0]經(jīng)過對數(shù)法得到的隱函數(shù),利用隱函數(shù)以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,兩邊求導(dǎo)得

    3 恒等變形法

    對冪指函數(shù)y=u(x)v(x)在求極限或求導(dǎo)時,除了用對數(shù)法之外,還可利用恒等變形法把冪指函數(shù)化成復(fù)合的顯函數(shù)來求之。

    因為y=u(x)v(x)=eln[u(x)]v(x)=ev(x)lnu(x),則

    lim[u(x)]v(x)=elim[v(x)lnu(x)]

    例1求函數(shù)y=(tanx)sinx的導(dǎo)數(shù)。

    解法1:兩邊取對數(shù)得

    lny=sinxlntanx,

    兩邊再對x求導(dǎo)得

    所以

    y′=(tanx)sinx(cosxlntanx+secx)。

    解法2:因 y=(tanx)sinx=eln(tanx)sinx=esinxlntanx

    所以

    y′=(esinxlntanx)′=esinxlntanx(sinxlntanx)′=

    (tanx)sinx(cosxlntanx+secx)。

    從例1也可得知,如果不明確什么是冪指函數(shù),或用冪函數(shù)法則求導(dǎo),結(jié)果得到 y′=sinx(tanx)sinx-1;或用指數(shù)函數(shù)法則求導(dǎo),得y′=(tanx)sinxlntanx y′=xsinxlnx等都是錯誤的做法。

    例2求函數(shù)的xli→m0+(tanx)sinx極限。

    解法1:設(shè)y=(tanx)sinx,兩邊取對數(shù)得

    lny=sinxlntanx

    等式兩邊取極限得,

    解法2:因 y=(tanx)sinx=eln(tanx)sinx=esinxlntanx,

    所以

    總之,首先觀察函數(shù),確認(rèn)為冪指函數(shù)后,是采用對數(shù)求導(dǎo)法還是恒等變形法,是非常重要的一環(huán)。

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