基于時變Copula相關(guān)性分析及風(fēng)險度量

薛凱麗,盧俊香,2

(1.西安工程大學(xué) 理學(xué)院, 西安 710048;2.西安理工大學(xué) 經(jīng)濟與管理學(xué)院, 西安 710048)

0 引 言

Copula函數(shù)由 Sklar提出, 它能把多個隨機變量的分布函數(shù)及它們的多維分布函數(shù)組合起來[1]。 目前, Copula函數(shù)在理論與實證方面已經(jīng)取得了一些成果。盧俊香等[2-3]運用核密度擬合法結(jié)合Copula函數(shù)對股票間相關(guān)關(guān)系進行分析, 薛凱麗等[4-5]運用GARCH類模型結(jié)合Copula理論對金融資產(chǎn)間相關(guān)性進行研究。 Copula函數(shù)不僅可以很好地刻畫金融資產(chǎn)間相關(guān)關(guān)系, 還在農(nóng)業(yè)、雨潮等方面有了進一步研究。 謝鳳杰等[6-7]分別基于Copula函數(shù)在以大豆收入保險費率的測定和甬江流域雨潮遭遇組合方面進行實證研究。 以上研究都是基于參數(shù)靜態(tài)的常相關(guān)Copula函數(shù)進行, 但這種靜態(tài)Copula模型有一定局限性, 它與市場間相關(guān)性隨時間變化的實際情況相悖。 國外學(xué)者PATTON[8]早在2001年提出隨時間變化的Copula模型后, 國內(nèi)學(xué)者也開始研究動態(tài)Copula模型并取得了一定成果。

韋艷華等[9]利用時變Copula基本知識進行股票數(shù)據(jù)實證研究；袁洪[10]運用時變Copula模型刻畫能源業(yè)和銀行業(yè)的相關(guān)性；杜艷麗等[11-13]分別基于時變Copula函數(shù)研究了信用風(fēng)險傳染效應(yīng)和“一帶一路”沿線國家(地區(qū))股市聯(lián)動性。 系統(tǒng)性風(fēng)險度量是當(dāng)下金融管理研究的重要問題之一, 國內(nèi)許多學(xué)者均有研究并取得了一定成果。王永巧等[14]結(jié)合時變Copula度量金融系統(tǒng)性風(fēng)險, 并給出了實證實例。 采俊玲等[15-16]采用時變Copula方法，針對股票市場的投資組合風(fēng)險、股票-外匯市場間風(fēng)險進行研究。 李月琪等[17]在研究滬、港股市聯(lián)動與風(fēng)險溢出效應(yīng)時采用時變Copula方法，并對滬港通實施前后對比分析。 楊湘豫等[18]基于貝葉斯方法與時變Copula模型對基金風(fēng)險的度量進行探究。

文中針對資產(chǎn)收益率序列采用ARMA-EGARCH-t模型擬合邊緣分布, 并判斷其具有杠桿效應(yīng)。 再采用Normal-Copula和SJC-Copula的靜態(tài)參數(shù)與動態(tài)參數(shù)模型對比分析資產(chǎn)間相關(guān)關(guān)系。 根據(jù)所選取的最優(yōu)模型, 采用蒙特卡洛模擬其VaR值刻畫資產(chǎn)間風(fēng)險。

1 預(yù)備知識及模型構(gòu)建

時變Copula[8]也稱為條件Copula, 主要是指參數(shù)隨時間變化的 Copula函數(shù)。 在模型中，度量參數(shù)隨時間變化的基本過程是時變 Copula 函數(shù)在實際股票相關(guān)性分析時最核心的模塊。

1.1 二元正態(tài)Copula 時變參數(shù)模型

正態(tài)Copula函數(shù)[8]能夠很好地捕捉變量間對稱信息, 并刻畫其相關(guān)關(guān)系, 它的動態(tài)參數(shù)模型如下:

(1)

1.2 二元SJC-Copula時變參數(shù)模型

二元SJC-Copula函數(shù)[8]能夠很好地捕捉非對稱尾部信息, 并刻畫其相關(guān)關(guān)系, 它的動態(tài)參數(shù)模型如下:

SJC-Copula上尾參數(shù)

(2)

SJC-Copula下尾參數(shù)

(3)

1.3 ARMA-EGARCH-t-Copula模型的構(gòu)建

k=1,2,t=1,2,…,T

(ξ1t,ξ2t)～Ct(F1(ξ1t),F2(ξ2t))

且

gk(ξkt)=γk(|ξkt|-E[|ξkt|])+θkξkt

1.4 蒙特卡洛模擬算法

算法具體實施步驟如下：

第一步 采集上證B指與深證B指的日收盤價并計算其日收益率;

第二步 根據(jù)日收益率數(shù)列分別構(gòu)建ARMA-EGARCH-t邊緣分布;

第三步 采用不同的Copula模型實證分析兩股指間相關(guān)性,并選擇最優(yōu)Copula模型;

第四步 在最優(yōu)Copula模型基礎(chǔ)上構(gòu)建兩股票指數(shù)序列的聯(lián)合概率分布模型;

第五步 生成上證B指數(shù)與深證B指數(shù)服從[0,1]均勻分布的二維隨機數(shù)u,v;

第七步 將得到的隨機數(shù)(xi,yi)，i=1,2，…，1 000，根據(jù)不同的權(quán)重組合(λ1,λ2)代入組合收益率公式R=ln(λ1exp(xi)+λ2exp(yi)), 其中λ1+λ2=1, 在不同的置信水平α下, 計算VaR值。

其中,VaR[7]是傳統(tǒng)的風(fēng)險度量指標, 表示在一定的置信水平α下, 金融資產(chǎn)(或組合)Z在未來某時間內(nèi)所承受的最大損失,即

P(Z≥VaR)=α

2 實證分析

2.1 數(shù)據(jù)采集及描述性統(tǒng)計

在國泰安官網(wǎng)下載上證B指數(shù)與深證B指數(shù)從2010—11—16到2018—12—24的日收盤價數(shù)據(jù)Pt,合計1 975組。 對這些收盤價數(shù)據(jù)一階對數(shù)差分，并擴大100倍,則得到日收益率

Rt=(lnPt-lnPt-1)×100

對這2個統(tǒng)計量進行分析, 結(jié)果見表1。兩個對數(shù)收益率峰度的值大于3, 偏度值比0小, 因此這2個序列的高峰、左偏特征非常顯著。如圖1所示, 上證B股和深證B股日對數(shù)收益率分布不服從高斯分布。

表 1 基本統(tǒng)計量

(a) 上證B股

(b) 深證B股圖 1 上證B股和深證B股日對數(shù)收益率分布圖

采用ADF檢驗是否存在單位根時發(fā)現(xiàn), 上證B股的統(tǒng)計量是-32.337 9, 深證B股的統(tǒng)計量是-40.002 1, 說明這2個序列都沒有單位根, 即2個序列是平穩(wěn)的。根據(jù)所選取的上證B指數(shù)與深證B指數(shù)數(shù)據(jù)獲得的對數(shù)收益率序列繪制了序列圖, 如圖2所示。從圖2也可看出這2個序列都是平穩(wěn)的。

2.2 邊緣分布的構(gòu)建

在95%的置信區(qū)間內(nèi),測試發(fā)現(xiàn)上證B股和深證B股2個序列的P值都小于0.05, 說明這2個序列不是白噪聲序列。 結(jié)合時序圖2的平穩(wěn)性特點, 最終選擇ARMA 模型刻畫2個序列。 選擇最優(yōu)模型時, 運用AIC 準則判斷, 發(fā)現(xiàn)當(dāng)采用ARMA(1,1)模型時, 其值最小, 結(jié)果最優(yōu), 所以這里選用ARMA(1,1)模型建模。 又根據(jù)2.1的描述性統(tǒng)計結(jié)果, 考慮到上證B股指數(shù)收益率序列和深證B股指數(shù)收益率序列具有波動起伏并且集聚一起的現(xiàn)象, 所以在ARMA模型刻畫后得到的殘差序列采用EGARCH(1,1)-t模型擬合, 用ARCH-LM test方法檢測, 發(fā)現(xiàn)有效數(shù)據(jù)提取完成。 下表2是運用極大似然估計法估計邊際分布中參數(shù)的結(jié)果。

表 2 邊緣分布參數(shù)估計結(jié)果

注:括號的值為相應(yīng)的標準差, 表中參數(shù)值在0.05水平下顯著。

(a) 上證B股

(b) 深證B股圖 2 上證B股、深證B股對數(shù)收益率序列圖

杠桿效應(yīng)方面,表2中的兩指標系數(shù)c值都顯著不為0且小于0,而c值對應(yīng)的概率值小于0.05,表明這兩股指確實存在著信息的不對稱性,存在明顯的杠桿效應(yīng)。

運用ARMA-EGARCH-t模型進行參數(shù)估計, 得到兩標準殘差序列, 這兩序列的均值分別為-0.012 7,0.006 6, 標準差分別為0.986 9,0.995 9, 然后運用J-B檢驗法檢驗, 結(jié)果表明兩序列不服從高斯分布。 接著對兩序列進行自相關(guān)性和偏自相關(guān)性檢測, 結(jié)果顯示兩序列不存在自相關(guān)性, 但是存在異方差性。 最后對兩序列進行概率積分變換并進行KS檢驗, 發(fā)現(xiàn)在95%的置信區(qū)間內(nèi), 它們都服從(0,1) 均勻分布。 所以采用ARMA-EGARCH-t模型構(gòu)建邊緣分布效果較為好。從圖3兩標準殘差序列的t分位數(shù)圖中, 也可以發(fā)現(xiàn)模型擬合較好。

(a) 上證B(S032)

(b) 深證B(S082)圖 3 上證B股和深證B股指數(shù)標準殘差t分位數(shù)圖

2.3 Copula模型的構(gòu)建

由于不同的 Copula 函數(shù)具有不同的特征, 所以在刻畫兩股票指數(shù)間相關(guān)性時, 選擇合適的Copula 模型就非常重要。 在常見的模型中, 正態(tài)Copula雖然能夠較好的刻畫對稱變量間的關(guān)聯(lián)性, 但它容易遺失尾部有用信息, 而Symmetrized Joe-Clayton Copula(簡稱 SJC-Copula)相比正態(tài)Copula就能夠很好地捕捉尾部信息, 并刻畫其相關(guān)關(guān)系。 時變 Copula 模型是其參數(shù)隨時間變化的模型, 它相比于靜態(tài) Copula模型更能夠切合實際股票情況擬合其相關(guān)性。 文中從比較有代表性的 Copula模型中選擇正態(tài) Copula與SJC Copula的靜態(tài)和動態(tài)參數(shù)模型來分析上證B股和深證B股指數(shù)之間的相依結(jié)構(gòu), 模型參數(shù)估計結(jié)果見表3。

表 3 Copula模型參數(shù)估計結(jié)果

選擇最優(yōu)模型時, 采用AIC 、BIC 準則進行判斷。當(dāng)其值越小, 說明模型擬合的越好。表3可以看出，上面4種模型中, AIC 和BIC值較小的是時變SJC-Copula。相對于靜態(tài)Copula模型來說, 動態(tài)Copula 模型刻畫要更符合實際股票數(shù)據(jù)情況, 所以在建立模型時選擇時變SJC-Copula函數(shù)。

結(jié)合表3及圖4可以看出, 在2010年11月中旬到2018年12月底, 兩股票指數(shù)間采用SJC Copula模型擬合的上尾常相關(guān)系數(shù)為0.550 6, 下尾相關(guān)系數(shù)為0.686 4，明顯高于上尾相關(guān)系數(shù)。表明兩股票指數(shù)會面臨同時下跌的可能性較大, 即兩序列在活躍時期的相關(guān)性要低于低迷時期的相關(guān)性,在市場樂觀時二者不容易同漲, 而在市場悲觀時二者容易同跌。 從圖4還也可看出兩序列指數(shù)具有較強的相關(guān)性, 說明上證B指數(shù)影響深證B指數(shù), 而且深證B指數(shù)也影響上證B指數(shù)。 從圖5中也可以看出兩股指不對稱且下尾相關(guān)性比上尾強。

2.4 度量在險價值VaR

目前金融界度量風(fēng)險最常用的方法是VaR,文中根據(jù)所選取的最優(yōu)時變SJC-Copula模型, 采用蒙特卡洛模擬VaR, 在置信水平0.001和0.005下, 不同權(quán)重組合的動態(tài)在險價值VaR如圖6所示。

(a) 上尾相關(guān)系數(shù)

(b) 下尾相關(guān)系數(shù)圖 4 SJC Copula上、下尾常參數(shù)與時變參數(shù)圖Fig.4 SJC Copula upper and lower tail constant constant parameter and time-varying parameter diagram

圖 5 上證B指數(shù)與深證B指數(shù)標準殘差相關(guān)性散點圖Fig.5 Scatter plot of standard residual correlation bet-ween Shanghai B index and Shenzhen B index

從不同權(quán)重組合在不同置信水平下的時變SJC-VaR圖(圖6)可看出，置信度不同, VaR不同, 權(quán)重發(fā)生改變, VaR也改變。 當(dāng)固定某一權(quán)重組合時, 提高置信度, VaR也提高。說明兩股票指數(shù)的尾部存在著比較強的相關(guān)性, 即發(fā)生意外時兩指數(shù)風(fēng)險損失的可能性增大。

(a) 0.005置信水平(0.1,0.9)組合的VaR

(b) 0.001置信水平下,(0.1,0.9)組合的VaR值

(c) 0.005置信水平下,(0.5,0.5)組合的VaR值

(d) 0.001置信水平下, (0.5,0.5)組合的VaR值

(e) 0.005置信水平下, (0.9,0.1)組合的VaR值

(f) 0.001置信水平下, (0.9,0.1)組合的VaR值圖 6 不同權(quán)重組合在不同置信水平下的時變SJC-VaR圖Fig.6 Time-varying SJC-Copula-VaR graphs with different weight combinations and different confidence levels

3 結(jié) 語

針對上證B指數(shù)與深證B指數(shù)的對數(shù)日收益率相關(guān)關(guān)系進行實證研究。采用ARMA-EGARCH-t模型對邊際分布進行擬合, 運用靜態(tài)Copula和時變Copula模型構(gòu)建兩序列間的相關(guān)性,比較發(fā)現(xiàn)動態(tài)的SJC-Copula來探究上海與深圳兩市間的相關(guān)關(guān)系更合理, 從而揭示了兩者之間存在著顯著的尾部相關(guān)性。而SJC-Copula 函數(shù)的上尾相關(guān)性低于下尾相關(guān)性, 揭示了兩序列在活躍時期的相關(guān)性要低于低迷時期的相關(guān)性,即在牛市時二者不容易同漲, 在熊市時二者易同跌。根據(jù)最優(yōu)時變SJC-Copula 函數(shù)，采用蒙特卡洛模擬其VaR值來刻畫兩者間風(fēng)險。結(jié)果表明，在同一置信水平下，不同權(quán)重組合的VaR值不同，在相同權(quán)重組合下，置信區(qū)間提高，VaR值增加。