Nekrasov矩陣逆的無(wú)窮范數(shù)估計(jì)式的改進(jìn)

王亞強(qiáng)

(寶雞文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西 寶雞 721013)

0 引 言

H矩陣是一類有著廣泛應(yīng)用背景的重要矩陣,物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和生物學(xué)中的許多問(wèn)題都和H矩陣有著密切的聯(lián)系[1-6]。 而Nekrasov 矩陣作為H矩陣的一個(gè)重要子類,一直都是廣大學(xué)者研究的熱點(diǎn)矩陣之一[7-11]。由于 Nekrasov矩陣的逆矩陣的無(wú)窮大范數(shù)在數(shù)值方法的收斂性分析及線性互補(bǔ)等問(wèn)題中的廣泛應(yīng)用[5-8],其上界估計(jì)問(wèn)題就成為了國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)問(wèn)題[12-21]。

1975年,VARAH.在文獻(xiàn)[12]中給出了嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)(簡(jiǎn)稱SDD)矩陣的逆矩陣的無(wú)窮范數(shù)的一個(gè)上界,即著名的Varah界。

定理1[12]若A=(aij)∈Cn,n是SDD矩陣,N={1,2,…,n},則

(1)

2013年,CVETKOVI等在文獻(xiàn)[8]中研究了Nekrasov矩陣的逆的無(wú)窮范數(shù)的上界估計(jì)問(wèn)題,得到如下定理:

定理2[8]若A=(aij)∈Cn,n為Nekrasov矩陣,則

(2)

及

(3)

其中

由于SDD矩陣是Nekrasov矩陣的一個(gè)子類,因此,CVETKOVI等給出的這個(gè)估計(jì)式在應(yīng)用范圍上比Varah 界更廣。 同時(shí),他們也證明了這個(gè)界比Varah界估計(jì)的更精確。 隨后關(guān)于該問(wèn)題的研究就比較活躍,文獻(xiàn)[9,11,13-19]對(duì)該問(wèn)題的作了進(jìn)一步研究。

文中在已有估計(jì)式的基礎(chǔ)上,通過(guò)引入帶參數(shù)ε的正對(duì)角矩陣X,構(gòu)造嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,并結(jié)合矩陣不等式的方法,繼續(xù)研究Nekrasov矩陣逆的無(wú)窮范數(shù)上界估計(jì)問(wèn)題。

1 預(yù)備知識(shí)

為敘述方便,下面給出一些記號(hào)、定義與引理。

設(shè)Cn(Rn)為復(fù)數(shù)域(實(shí)數(shù)域)上n維向量空間;Cn,n(Rn,n)為復(fù)數(shù)域(實(shí)數(shù)域)上所有n×n矩陣的集合,指標(biāo)集N={1,2,…,n}為非空子集。

定義1[5]設(shè)矩陣A=(aij)∈Cn,n,若?i∈N有

|aii|>ri(A)

則稱A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,簡(jiǎn)稱SDD矩陣。

定義2[5]設(shè)矩陣A=(aij)∈Rn,n,若A可逆,且A-1≥0,則稱A是M-矩陣。

定義3[5]設(shè)矩陣A=(aij)∈Cn,n,若A的比較矩陣〈A〉=(mij)∈Rn,n是M-矩陣,其中

則稱A是H-矩陣。

定義4[8]設(shè)矩陣A=(aij)∈Cn,n,若?i∈N有

|aij|>hi(A)

則稱A是Nekrasov矩陣。

引理1[5]若矩陣A=(aij)∈Cn,n是非奇異H-矩陣,則 |A-1|≤〈A〉-1。

2 主要結(jié)果

下面,給出Nekrasov矩陣逆的無(wú)窮范數(shù)上界的一個(gè)新估計(jì)式。

定理3設(shè)A=(aij)∈Cn,n為Nekrasov矩陣,若對(duì)i∈N,?j∈N且j>i，使得aij≠0,則X=diag(w1,w2,…,wn)為正對(duì)角矩陣且C=AX為SDD矩陣,其中

證明由條件“對(duì)i∈N,?j∈N且j>i使得aij≠0”，知hi(A)>0。又因?yàn)锳=(aij)∈Cn,n為Nekrasov矩陣,從而易證X=diag(w1,w2,…,wn)為正對(duì)角矩陣。

下證C=AX為SDD矩陣。為簡(jiǎn)單起見(jiàn),令C=(cij),則由C=AX得

(4)

對(duì)于i=2,3,…,n,

(5)

首先,由ε的取值范圍

易得

(6)

再由ε的取值范圍,hi(A)定義式及wi<1得,對(duì)i=2,3,…,n,有

(7)

最后,已知條件“對(duì)i∈N,?j∈N且j>i，使得aij≠0”保證了式(6)與(7)嚴(yán)格不等號(hào)成立,從而C=AX為SDD矩陣。

定理4設(shè)A=(aij)∈Cn,n為Nekrasov矩陣,若對(duì)i∈N,?j∈N且j>i使得aij≠0,則

(8)

式中：

證明由定理3知存在正對(duì)角矩陣X=diag(w1,w2,…,wn),使得C=AX為SDD矩陣,因此,A-1=XC-1,從而由引理1得

3 數(shù)值算例

定理4中估計(jì)式(8)含有可調(diào)節(jié)參數(shù)ε,理論上難以給出與已有估計(jì)式比較結(jié)果,接下來(lái)通過(guò)數(shù)值算例與已有結(jié)果進(jìn)行比較。

例1考慮如下Nekrasov矩陣

由定理4可得A的逆矩陣的無(wú)窮大范數(shù)估計(jì)式中,參數(shù)的取值范圍為ε∈(0,2.6181),分別取ε=0.1與ε=2.5,得到如表1的比較結(jié)果。

由表1不難發(fā)現(xiàn),選取適當(dāng)?shù)目烧{(diào)節(jié)參數(shù)值ε,本文的估計(jì)結(jié)果比已有文獻(xiàn)的估計(jì)更精確。

表 1 Nekrasov矩陣逆的無(wú)窮范數(shù)上界比較

4 結(jié) 語(yǔ)

討論了Nekrasov-矩陣逆矩陣的無(wú)窮范數(shù)的估計(jì)問(wèn)題,給出了Nekrasov-矩陣逆矩陣的無(wú)窮范數(shù)的一個(gè)含有可調(diào)節(jié)參數(shù)ε的新上界。 數(shù)值算例表明，選取適當(dāng)?shù)膮?shù)ε,新的上界估計(jì)式優(yōu)于文獻(xiàn)[8，15，18-19]的結(jié)果。