有關(guān)冪等算子的Drazin逆等價(jià)性

成立花

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710048)

1 引言和預(yù)備知識(shí)

算子論是泛函分析中的一個(gè)極其重要的研究領(lǐng)域。自從20世紀(jì)初von Neumann、Hilbert、Fredolhm等人建立算子理論以來(lái),算子理論得到了迅速的發(fā)展并滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支,形成了一批經(jīng)久不衰的研究課題,其研究?jī)?nèi)容涉及到基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的許多分支,諸如代數(shù)學(xué)、幾何理論、算子擾動(dòng)理論等。

冪等算子是算子論中最基本的算子,在統(tǒng)計(jì)理論信息傳輸和廣義逆的擾動(dòng)等課題中具有廣泛的應(yīng)用,吸引了國(guó)內(nèi)外的大批學(xué)者進(jìn)行研究。目前，關(guān)于冪等算子的研究主要集中在研究?jī)绲人阕拥木€性組合,乘積在什么條件下依然冪等的,冪等算子線性組合的性質(zhì)特征,以及冪等算子的連通性等問(wèn)題,人們的研究主要集中在有限維的Hilbert空間[1-7]。

1958年,Drazin首先在文獻(xiàn)[1]中給出Drazin逆的概念并討論了環(huán)上非零冪等元Drazin的存在性問(wèn)題。這種特殊的廣義逆在Markov鏈、微分方程和逼近論等方面的研究中逐漸起著重要的作用,近年來(lái)算子論專家對(duì)于算子的Drazin逆問(wèn)題做了大量而深入的研究[7-15]。文獻(xiàn)[5-6]陸續(xù)給出2個(gè)、3個(gè)冪等矩陣線性組合的冪等性問(wèn)題；文獻(xiàn)[7]研究了乘積算子的Drazin逆問(wèn)題；文獻(xiàn)[9]討論了Drazin逆的存在和表示問(wèn)題。沿著這個(gè)方向,文獻(xiàn)[11]討論了投影算子差和乘積的Drazin逆問(wèn)題；文獻(xiàn)[12]得到了Drazin逆和g-Drazin的結(jié)果；文獻(xiàn)[13]在C*代數(shù)上研究此類問(wèn)題；文獻(xiàn)[14]則在Hilbert空間上研究Drazin逆的特征和表示。

基于大部分的研究涉及到的都是有限維的算子和的可逆性問(wèn)題,且此類問(wèn)題在算子的拆分和迭代中有很重要的用途。所以本文的初衷是在無(wú)線維的Hilbert空間上研究?jī)绲人阕拥膸缀谓Y(jié)構(gòu),并給出冪等算子的矩陣分塊形式,隨后討論兩個(gè)冪等算子和與差的Drazin逆性質(zhì),給出冪等算子積條件下Drazin逆的等價(jià)條件。由于文獻(xiàn)[16-17]要求算子的交換性,本文取消算子的交換性,盡可能的將算子的條件推廣到更一般的情形。

設(shè)H是一個(gè)無(wú)限維的Hilbert空間,其上的有界線性算子集合記為B(H)。 對(duì)于A∈B(H),σ(A),Acc(σ(A)),N(A),R(A)分別表示A的譜,孤立點(diǎn)譜,核空間和值域空間。 如果B(H)上的算子P滿足P2=P,則稱算子P是冪等的。如果?X∈B(H)和k∈N,使得PX=XP,XPX=X,Pk+1X=Pk,則稱算子是Drazin逆的,且記作PD。滿足矩陣方程Pk+1X=Pk的最小整數(shù)稱為算子P的指數(shù),且記作ind(A)=k。易知PD存在且唯一當(dāng)且僅當(dāng)0?Acc(σ(P))。

借助于以上的空間分解,以下給出Q1,I-Q1,Q4,I-Q4的Drazin性質(zhì),并且當(dāng)PQ=PQP時(shí),給出與文獻(xiàn)[7]中正交映射類似的結(jié)果,最后推廣其結(jié)論。

2 冪等算子和的Drazin逆性質(zhì)和等價(jià)結(jié)論

若P,Q為冪等算子,則對(duì)于相同的空間分解H=R(P)?N(P),容易證明以下引理：

引理1AB是Drazin逆的當(dāng)且僅當(dāng)BA是Drazin逆的。

(1) 若A11,A22是Drazin逆的,則A是Drazin逆的;

(2) 若A是Drazin逆的,且A11(或A22)是Drazin逆的,則A22(或A11)是Drazin逆的。

引理3設(shè)P,Q為冪等算子,則

(1)Q1是Drazin逆的當(dāng)且僅當(dāng)I-Q4是Drazin逆的;

(2)I-Q1是Drazin逆的當(dāng)且僅當(dāng)Q4是Drazin逆的。

引理4設(shè)A+B=I,則AB是Drazin逆的當(dāng)且僅當(dāng)A,B是Drazin逆的。

定理1設(shè)P,Q為冪等算子,則P-Q是Drazin逆的當(dāng)且僅當(dāng)I-PQ是Drazin逆的。

證明利用P,Q的算子矩陣形式,有

由譜映射定理,有0?Accσ((P-Q)2)當(dāng)且僅當(dāng)0?Accσ(P-Q),所以P-Q是Drazin逆的當(dāng)且僅當(dāng)(P-Q)2是Drzin逆的。利用引理2,則有P-Q是Drazin逆的當(dāng)且僅當(dāng)I-PQ是Drazin逆的。

推論1設(shè)P,Q為冪等算子,則下列結(jié)果是等價(jià)的:

(1)P-Q是Drazin逆的;

(2)I-PQ是Drazin逆的;

(3)P(I-Q)是Drazin逆的;

(4) (I-Q)P是Drazin逆的;

(5)P(I-Q)P是Drazin逆的;

(6) (I-Q)P(I-Q)是Drazin逆的;

(7)I-QP是Drazin逆的;

(8)Q(I-P)是Drazin逆的;

(9) (I-P)Q是Drazin逆的;

(10)Q(I-P)Q是Drazin逆的;

(11) (I-P)Q(I-P)是Drazin逆的;

(12)I-(I-P)(I-Q)是Drazin逆的;

(13)λP+μQ是Drazin逆的,其中λ,μ≠0。

利用等式

可得到0?Accσ(λP+μQ)當(dāng)且僅當(dāng)0?Accσ(I-PQ),故(13)與(2)等價(jià)。

注：當(dāng)P為冪等算子,Q為任意算子都有(2)至(12)是等價(jià)的。

推論2設(shè)P,Q為冪等算子,則下列結(jié)果是等價(jià)的:

(1)I-P-Q,I-(I-P)Q是Drazin逆的;

(2)I-Q(I-P),I-P(I-Q)是Drazin逆的;

(3) (I-P)(I-Q),(I-Q)(I-P)是Drazin逆的;

(4) (I-P)(I-Q)(I-P),(I-Q)(I-P)(I-Q)是Drazin逆的;

(5)PQ,PQP是Drazin逆的;

(6)QP,QPQ是Drazin逆的;

(7)λ(I-P)+μQ是Drazin逆的,其中λ,μ≠0。

證明由于I-P也是冪等算子,則由推論1,上面結(jié)果是等價(jià)的。

定理2設(shè)P,Q為冪等算子,如果PQ=PQP,則PQ-QP是Drazin逆的。

證明由PQ=PQP,則有

顯然PQ-QP為冪零算子,所以是Drazin逆的。

推論3設(shè)P,Q為冪等算子,如果PQ=PQP,則下列結(jié)果等價(jià)的:

(1)PQ-QP是Drazin逆的;

(2)λPQ+μQP是Drazin逆的,其中λ,μ∈C;

(3)Q1是Drazin逆的;

(4)I-Q1是Drazin逆的;

(5)Q4是Drazin逆的;

(6)I-Q4是Drazin逆的;

(7)P-Q是Drazin逆的;

(8)PQ是Drazin逆的;

證明由定理2,以下只需證等價(jià)性。因?yàn)樵谌魏螚l件下有

由引理4,當(dāng)(3)，(4)都成立等價(jià)于(1)成立,也等價(jià)于(5),(6)都成立。因此只需證明(3)與(4)等價(jià),(5)與(6)等價(jià)即可。