帶有時(shí)滯和脈沖的Markovian跳變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步

邢志偉

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710048)

0 引 言

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是用數(shù)學(xué)手段模擬人或動(dòng)物腦部神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和功能的模型,利用人造神經(jīng)元可以構(gòu)造不同的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),并實(shí)現(xiàn)大腦的學(xué)習(xí)、識(shí)別和控制等功能[1-6]。 近年來(lái),由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的混沌同步在保密通訊中的重要應(yīng)用,其同步控制成為控制領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一[7-14]。 文獻(xiàn)[7]基于Lynapunov穩(wěn)定性方法和Halanay不等式研究了一類(lèi)時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題。 文獻(xiàn)[9]利用矩陣測(cè)度方法考察了帶有時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)同步問(wèn)題。文獻(xiàn)[14] 利用M矩陣方法研究了變時(shí)滯混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步問(wèn)題。

隨機(jī)性的故障或外因?qū)е孪到y(tǒng)參數(shù)配置的突然改變,會(huì)誘使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的工作狀態(tài)發(fā)生改變。 此類(lèi)現(xiàn)象可以用Markovian跳變來(lái)模擬。 Markovian跳變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一類(lèi)重要的系統(tǒng),能廣泛的用于模擬系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)突變的真實(shí)系統(tǒng)。 盡管神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的重要性被廣泛的認(rèn)知,但關(guān)于帶有時(shí)滯和脈沖的Markovian跳變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題結(jié)果較少[15-16]。本文主要考察帶有時(shí)滯和脈沖Markovian跳變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步控制問(wèn)題。

1 預(yù)備知識(shí)

本文中將用到下列符號(hào):

Rn表示n維歐幾里德空間,In為n×n單位矩陣,對(duì)于矩陣A的運(yùn)算符號(hào),A>0(≥0,<0,≤0)意味著A為正定(半正定,負(fù)定,半負(fù)定)矩陣。λmax(A)和λmin(A)分別表示矩陣A的最大和最小特征值。 符號(hào)‖·‖為向量的歐氏范數(shù)。

記{ξ(t),t≥0}為定義在(Ω,F,P)上的一個(gè)在有限集S={1,2,…,s}上取值的右連續(xù)時(shí)間Markovian過(guò)程,其平穩(wěn)轉(zhuǎn)移概率為

(1)

考察驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為如下帶有時(shí)滯和脈沖的Markovian跳變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò):

(2)

相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為

(3)

其中u(t)為輸入控制信號(hào)。系統(tǒng)(2)和(3)的初始值分別為

則稱(chēng)驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)(2)和(3)為均方指數(shù)同步的。

對(duì)神經(jīng)元的激活函數(shù)作如下假設(shè):存在對(duì)角矩陣

使得?μ,ν∈R,μ≤ν有

(4)

成立。

定義誤差信號(hào)r(t)=y(t)-x(t),并選擇形如u(t)=K(y(t)-x(t))的控制信號(hào),其中K為對(duì)角矩陣,則同步誤差系統(tǒng)為

(5)

(6)

下面先給出兩個(gè)引理。

引理1設(shè)x,y是2個(gè)n維實(shí)向量,P為半正定矩陣,則有2xTPx≤xTPy+yTPy

由P的半正定可得

xTPx+yTPy-2xTPy=(x-y)TP(x-y)≥0

即得引理1。

引理2[17]對(duì)任意的正定矩陣J∈Rn×n,η>0 以及向量函數(shù)v:[0,η]→Rn,有下式成立:

2 定理及其證明

定理1如果存在實(shí)數(shù)a>0,以及正定矩陣Q1,Q2,R,W,Pi∈Rn×n,使得?i∈S有

(7)

(8)

其中“*”為矩陣Φi中的對(duì)稱(chēng)項(xiàng)的轉(zhuǎn)置,

Q1+Q2+τexp(τ)R+W-F+F-

那么驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)(2)和(3)在均方意義下是全局指數(shù)同步的。

證明誤差系統(tǒng)(5)的Lyapunov-Krasovskii泛函為

其中當(dāng)ξ(t)=i∈S時(shí),P(ξ(t))=Pi。?ξ(t)=i,有

(9)

式中：L為隨機(jī)過(guò)程的弱無(wú)窮小算子。由引理2可知,

(10)

再由引理1可得

(11)

由式(6)可得

于是

(12)

同樣由

可得

(13)

將式(10)～(13)帶入式(9)，可得

其中

ζ(t)=[rT(t),rT(t-τ),rT(t-τ(t)),

FT(r(t)),GT(r(t-τ(t))),

當(dāng)Φi<0時(shí),有

即

E {V(r(t),t,ξ(t))}

t∈[tk,tk+1)

(14)

E{V(r(tk),tk,ξ(tk))}≤

(15)

結(jié)合式(14),?i,l∈S和k≥1,有

E{V(r(tk),tk,ξ(tk))}≤

E{V(r(tk-1),tk-1,ξ(tk-1))}≤

…≤E{V(r(0),0,ξ(0))}

進(jìn)一步,?i∈S有

E{V(r(t),t,i)}≤E{V(r(0),0,ξ(0))}

(16)

另一方面,又有

(17)

其中

故由(16)和(17)式可得

也就是

因此驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)(2)和(3)是均方指數(shù)同步的。

注：：如果在定理1中令Dik=I,就得到了相應(yīng)的無(wú)脈沖系統(tǒng)的同步條件。

3 數(shù)值仿真

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為帶有時(shí)滯和脈沖的二維Markovian跳變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

(18)

在上述參數(shù)下,系統(tǒng)(18)為混沌系統(tǒng)，如圖1。

圖 1 系統(tǒng)(18)的混沌形行為Fig.1 Chaotic behavior of master system (18)

響應(yīng)系統(tǒng)為

(19)

由定理1可得,系統(tǒng)(18)和(19)能夠達(dá)到均方指數(shù)同步。 圖2為一個(gè)給定的系統(tǒng)跳變模式,即Markovian{ξ(t),t≥0}的一條狀態(tài)曲線,對(duì)應(yīng)的同步誤差曲線ri(t),i=1,2,見(jiàn)圖3。

圖 2 系統(tǒng)仿真中的跳變模式Fig.2 Switching mode in simulation

圖 3 系統(tǒng)(18)和(19)的同步的誤差曲線Fig.3 Synchronization errors of systems (18) and (19)

4 結(jié) 語(yǔ)

本文主要研究了帶有時(shí)滯和脈沖的Markovian跳變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的均方指數(shù)同步問(wèn)題。利用Lyapunov-Krasovskii泛函以及線性矩陣不等式方法,得到了驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)均方指數(shù)同步的充分條件,即線性矩陣不等式組(7)和(8)。利用數(shù)值例子說(shuō)明所得結(jié)論的正確性和有效性。