一類中立型混雜隨機(jī)微分方程解的存在唯一性

吳艾卿,尤蘇蓉

(東華大學(xué) 理學(xué)院,上海 201620)

0 引 言

中立型隨機(jī)微分方程常用于系統(tǒng)的未來(lái)發(fā)展受到當(dāng)前狀態(tài)、歷史狀態(tài)以及系統(tǒng)在歷史狀態(tài)的變化影響時(shí)的統(tǒng)計(jì)建模。對(duì)中立型隨機(jī)微分方程的經(jīng)典結(jié)論大都是在方程系數(shù)滿足局部Lipschitz條件和線性增長(zhǎng)條件、中立項(xiàng)滿足壓縮映射條件的基本假設(shè)下展開的[1-4]。 在這些條件下,關(guān)于中立型隨機(jī)微分方程解的存在唯一性、穩(wěn)定性等結(jié)論得以建立。 馬爾科夫切換的引入,為中立型隨機(jī)微分方程的分析和應(yīng)用開辟了新的領(lǐng)域。 帶有馬爾科夫切換的混雜隨機(jī)系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)遭受環(huán)境突變或者元件損傷情況下的建模分析[5-6]。 對(duì)于混雜中立型隨機(jī)微分方程的分析,文獻(xiàn)[7]給出了較為詳細(xì)地闡述,主要仍是在線性增長(zhǎng)背景下進(jìn)行分析。 在實(shí)際應(yīng)用中,很多中立型隨機(jī)系統(tǒng)并不滿足線性增長(zhǎng)條件[8-9]。 自文獻(xiàn)[10-11]建立相關(guān)問題分析框架以來(lái),具有高度非線性特征的隨機(jī)時(shí)滯微分方程,包括中立型隨機(jī)微分方程、 高階非線性方程成為近年的研究熱點(diǎn)。

現(xiàn)有對(duì)混雜中立型非線性隨機(jī)微分方程的研究涉及方程的穩(wěn)定性和數(shù)值解分析,其中文獻(xiàn)[12]研究了中立型隨機(jī)微分方程的時(shí)滯依賴型穩(wěn)定性判據(jù),文獻(xiàn)[13]研究了中立型方程的一般衰減速率問題,所研究方法均為結(jié)合方程的非線性特征,通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)或者泛函,應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性分析方法,得到相關(guān)結(jié)論。 類似的方法也被應(yīng)用于分析中立比例型方程的多項(xiàng)式穩(wěn)定性和指數(shù)穩(wěn)定性[14]等。 在現(xiàn)有文獻(xiàn)中,方程在不同的切換模式下都具有相同的系數(shù)特征,如均為線性系數(shù)或者系數(shù)都滿足相同的非線性特征。 文獻(xiàn)[15]首次研究不同切換模式下有不同結(jié)構(gòu)的隨機(jī)時(shí)滯微分方程的穩(wěn)定性,通過構(gòu)造一種新穎的Lyapunov函數(shù),結(jié)合M-矩陣等方法得到了方程解的存在唯一性、有界性以及穩(wěn)定性等結(jié)論。該文獻(xiàn)對(duì)有不同結(jié)構(gòu)的方程進(jìn)行了有意義的探索,并建立了基本分析框架。文中將此分析推廣到中立型隨機(jī)微分方程,將討論在不同切換模式下,方程具有不同的系數(shù)特征時(shí)解的存在唯一性問題,所得到的結(jié)論突破了現(xiàn)有文獻(xiàn)中有關(guān)中立型隨機(jī)微分方程的非線性結(jié)構(gòu)框架的限制[12-14]。

1 問題背景及相關(guān)記號(hào)

(1)

其中:

f(x,y,t,i):Rn×Rn×R+×S→Rn

g(x,y,t,i):Rn×Rn×R+×S→Rn×m

是Borel可測(cè)函數(shù),τ>0為給定的時(shí)滯量,初值過程ξ滿足

G:Rn→Rn為中立項(xiàng)。r(t)是定義在t≥0上值域?yàn)橛邢蘅臻gS={1,2,…,N}上的一個(gè)馬爾科夫鏈,且r(0)=i0∈S,生成矩陣為Γ=(γij)N×N。假設(shè)方程(1)的兩個(gè)系數(shù)f,g滿足經(jīng)典局部Lipschitz條件,而中立項(xiàng)滿足壓縮映射條件。

同時(shí)假設(shè)?t>0及i∈S,有f(0,0,t,i)=g(0,0,t,i)=0。

假設(shè)2[7](壓縮映射條件)假設(shè)存在正常數(shù)κ∈(0,1),使得?x,y∈Rn有

|G(x)-G(y)|≤κ|x-y|

(2)

且G(0)=0。

假設(shè)3[7](線性增長(zhǎng)條件)假設(shè)存在常數(shù)K>0,使得?x,y,t,i,有

若f(x,y,t,r(t)),g(x,y,t,r(t))滿足局部Lipschitz條件和線性增長(zhǎng)條件,同時(shí)中立項(xiàng)滿足壓縮映射條件,方程(1)存在唯一解[7]。文中將不再要求f(x,y,t,r(t)),g(x,y,t,r(t))滿足線性增長(zhǎng)條件。為表述新的條件,給出如下記號(hào)：設(shè)函數(shù)V(x,t,i):Rn×R+×S→R+,定義函數(shù)LV(x,y,t,i):Rn×Rn×R+×S→R為

(3)

其中

在新的條件中,需要用到M-矩陣這一重要工具,定義及相關(guān)判定如定義1和引理1。

定義1[7]若方陣A=(aij)N×N可以表示為A=sI-B,其中B的所有元素非負(fù),I為單位矩陣,s>ρ(B),而ρ(B)為B的譜半徑,則稱A為Z-矩陣。

引理1[7]令A(yù)=(aij)N×N為Z-矩陣,則下列條件等價(jià):

(1)A為一個(gè)非奇異M-矩陣;

(2)A-1存在且所有元素為非負(fù)的;

(3) ?x>0,使得Ax>0。

在本文的證明過程中,將經(jīng)常性地使用不等式(4)和(5)。

引理2[7](1) 對(duì)θ>0和p≥1,對(duì)非負(fù)數(shù)a≥0,b≥0,成立不等式

(a+b)p≤(1+θ)p-1ap+(1+θ-1)p-1bp

(4)

(2) 設(shè)p≥1,在假設(shè)2成立條件下,有

(5)

2 解的存在唯一性及其性質(zhì)

本文考慮的中立型方程具有高度非線性特征,為了得到方程(1)解的存在唯一性結(jié)論,方程系數(shù)除了滿足假設(shè)1和假設(shè)2以外,還需滿足如下關(guān)于方程系數(shù)所滿足的Khasminskii型條件。

假設(shè)4假設(shè)集合S可以劃分為2個(gè)子集合S1={1,2,…,N1},S2={N1+1,N1+2,…,N},其中 1≤N1

(1) 當(dāng)i∈S1時(shí),?(x,y,t,i)∈Rn×Rn×R+×S,?αi2∈R,及αi1,αi3∈R+，使得

(6)

(2) 當(dāng)i∈S2時(shí),?αi4,αi5∈R+,使得

(7)

且下列矩陣為非奇異M-矩陣

A:=-diag(2α12,…,2αN2)-Γ

(8)

D:= -diag(4α12,…,4αN12)-

(γij)i,j∈S1

(9)

在假設(shè)3的基礎(chǔ)上,定義2個(gè)向量

(θ1,θ2,…,θN)T=A-1(1,1,…,1)T，

(ζ1,ζ2,…,ζN1)T=D-1(1,1,…,1)T

(10)

定理1在假設(shè)1、假設(shè)2和假設(shè)4成立條件下,若

(11)

(12)

(13)

則對(duì)任意初始值ξ和i0∈S,方程(1)存在唯一的全局解x(t)。

證明定義Lyapunov函數(shù)V:Rn×S→R+如式(14),

(14)

式中:θi和ζi由式(10)給出。顯然,若記

則

c1|x|2≤V(x,i)≤

c2(|x|2+|x|4)

(15)

V(x(t)-G(x(t-τ),r(t)))=

V(x(0)-G(x(-τ),i0))+

(16)

式中:M(t)是t≥0上的一個(gè)連續(xù)局部鞅,初值為M(0)=0。

討論LV在S1,S2上的表現(xiàn)。當(dāng)i∈S1時(shí),

根據(jù)不等式

|xTg(x,y,t,i)|2≤|x|2|g(x,y,t,i)|2

以及式(6)和式(7),上述式子可轉(zhuǎn)化為

(17)

同樣的分析方法可以得到,當(dāng)i∈S2時(shí),有

進(jìn)而可以得到

由式(12),1-0.5β>0,因此函數(shù)

+∞。 進(jìn)而可得

再次利用不等式(5),可以得到

(18)

利用式(18)證明方程(1)存在唯一解。 由假設(shè)1知,在t∈[-τ,σ∞)上,存在唯一的局部最大解x(t),其中σ∞為爆破時(shí)間[7]。 只要證明σ∞=∞,就能說(shuō)明解具有存在唯一性。 設(shè)γ0是一個(gè)足夠大的正常數(shù),使得‖ξ‖<γ0成立。?γ≥γ0,定義停時(shí)

τγ=inf{t≥0:|x(t)|≥γ}

(19)

根據(jù)不等式

上式可以放縮為

(20)

其中

K1=c2(2(1+κ)2E‖ξ‖2+

23(1+κ)4E‖ξ‖4)+

成立。由不等式

可得?t>0,有

定理2在定理1的條件下,方程的唯一解x(t)有如下性質(zhì):

(21)

及

(22)

其中K3,K4是依賴于初值ξ的正常數(shù)。

證明首先證明方程的全局解滿足性質(zhì)(21)。 由式(20)可得

且η1,η2<0。所以有

從而可得

令γ→∞,可得

整理后令t→∞,即得

為證明式(22),仍使用式(19)所定義的停時(shí)τγ。首先注意到,?ε>0,根據(jù)It公式可以得到

將式(15)，式(18)代入可得

令γ→∞并應(yīng)用不等式(5)進(jìn)行放縮，可以得到

(23)

其中

K5=c2(2(1+κ)2E‖ξ‖2+

23(1+κ)4E‖ξ‖4)+

[εc2(1+κ)κ+2δ+(1-κ)κ]×

記Hε(v)中v4的系數(shù)為

(24)

(25)

選取滿足θ>(κ-2-1)-1的θ,由不等式(4),得

兩邊取上確界，分析可得

利用κ2(1+θ-1)<1可得

這也意味著

定理2得證。

3 算 例

考慮定義在t≥0上的一維中立型隨機(jī)微分方程

(26)

其中τ=0.01,B(t)為一維布朗運(yùn)動(dòng),r(t)是獨(dú)立于B(t)的馬爾科夫鏈,其狀態(tài)空間為S={1,2,3,4},而生成矩陣為

取G(y)=0.01y,在不同的切換模式下,系數(shù)函數(shù)f,g的取值分別為

f(x,y,1)=1-2x+0.5y,g(y,1)=0.2y

f(x,y,2)=1-3x+0.7y,g(y,2)=0.2y

f(x,y,3)=1-2(x-0.01y)3,g(y,3)=0.4y2

f(x,y,4)=1-3(x-0.01y)3,g(y,4)=0.4y2

令S1={1,2},S2={3,4},驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)f,g滿足以下不等式關(guān)系:

結(jié)合定理1和定理2的變量定義,可以得到

α11=0.5,α12=-1,α13=0.105

α21=0.5,α22=-2,α23=0.065

α31=0.5,α32=0.5,α33=0

α34=2,α35=0.08;α41=0.5

α42=0.5,α43=0,α44=3,α45=0.08

以及矩陣

計(jì)算得其逆矩陣分別為

顯然,矩陣A,D為非奇異M-矩陣。 同時(shí)可以得到θ1=1.385,θ2=1.077,θ3=2.038,θ4=2.154,η1=0.137,η2=0.095以及β=0.345,δ=0.145。

由κ=0.01可以驗(yàn)證方程(26)滿足定理1的條件,因此式(26)存在唯一解且其解滿足定理2所述的性質(zhì)。

4 結(jié) 語(yǔ)

研究了在不同切換模式下具有不同系數(shù)結(jié)構(gòu)的高階非線性中立型混雜隨機(jī)微分方程解的存在唯一性問題,結(jié)合M-矩陣給出了系數(shù)所滿足的Khasminskii型條件,通過構(gòu)建適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)對(duì)方程解的存在唯一性進(jìn)行了分析。 給出了Khasminskii條件中的系數(shù)所滿足的條件,在此條件下證明了方程存在唯一解,同時(shí)也證明了解的有界性。