具有避難所的 Leslie-Gower 捕食系統(tǒng)的時(shí)空分歧

連 彤,李艷玲

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710062)

0 引 言

近年來(lái)，有關(guān)生物種群中的捕食-食餌模型被廣泛 研究，并且得出很多重要結(jié)論[1-7]。其中，Leslie-Gower模型作為一類(lèi)經(jīng)典模型，受到數(shù)學(xué)家們的關(guān)注及深入研究[1-4，8]。文中研究一類(lèi)在齊次Neumann邊界條件下食餌帶避難所的修正的Leslie-Gower模型

(1)

式中：Ω為Rn(n≥1) 中具有光滑邊界 ?Ω的有界開(kāi)區(qū)域;υ為邊界 ?Ω上的單位外法向量；u,v分別表示食餌和捕食者在時(shí)刻t的種群密度；r為食餌的內(nèi)稟增長(zhǎng)率；k表示食餌的環(huán)境容納量；c表示單位時(shí)間里食餌被捕食者消耗的最大數(shù)量；b衡量了捕食者除了食餌之外的其余的食物來(lái)源；θ為捕食者的內(nèi)稟增長(zhǎng)率;u0(x),v0(x)為Ω上的光滑函數(shù);d表示捕食者的擴(kuò)散系數(shù),食餌的擴(kuò)散系數(shù)是1;m(m∈[0,1)) 為避難所參數(shù),mu表示被避難所保護(hù)的食餌數(shù)量。

近年來(lái), 有關(guān)上述模型的研究已有許多結(jié)果。文獻(xiàn)[9]研究了在第一邊界條件下, 且食餌無(wú)避難所，即m=0時(shí)該模型正解的存在性與不存在性結(jié)論, 并用度理論分析了正解的穩(wěn)定性及多重性。文獻(xiàn)[10]研究了無(wú)避難所時(shí)系統(tǒng)(1)解的線(xiàn)性穩(wěn)定性, 并對(duì)相關(guān)結(jié)論進(jìn)行了數(shù)值分析。文獻(xiàn)[11]分析了系統(tǒng)(1)對(duì)應(yīng)的常微分模型的正平衡解的存在性與穩(wěn)定性, 證明了極限環(huán)的存在性, 并且說(shuō)明了考慮食餌避難所這個(gè)因素對(duì)于研究捕食系統(tǒng)更加具有現(xiàn)實(shí)意義, 并運(yùn)用數(shù)值模擬刻畫(huà)了避難所系數(shù)m對(duì)于系統(tǒng)產(chǎn)生的影響。

文中主要研究系統(tǒng)(1)的解的持續(xù)存在性與正平衡解的穩(wěn)定性, 并且討論在一維空間區(qū)域下平衡態(tài)系統(tǒng)的Hopf分歧與穩(wěn)態(tài)分歧。顯然,當(dāng)cr>(1-m)θ時(shí), 系統(tǒng)(1)有唯一的正平衡解E*=(u*,v*):

u*=k(cr+θm-θ)/(cr)

v*=(θ/c)[b+(1-m)u*]

1 全局吸引與持續(xù)共存

為了得到系統(tǒng)(1)的全局吸引子和持續(xù)共存性,首先介紹以下引理。

常數(shù)α>0, 那么

定理1系統(tǒng)(1)的解 (u(x,t),v(x,t))滿(mǎn)足

即?ε>0,

[0,k+ε]×[0,(θ/c)(b+k-km)+ε]

是系統(tǒng)(1)的一個(gè)全局吸引子。

由引理1可得

由ε1的任意性可得

定理2若bcr>θ(b+k-km), 則系統(tǒng)(1)的解 (u(x,t),v(x,t)) 滿(mǎn)足

由引理1以及ε2的任意性, 知

同理,v(x,t) 滿(mǎn)足

2 平衡解的穩(wěn)定性

討論系統(tǒng)(1)的正平衡解E*的局部和全局漸近穩(wěn)定性。

定理3若2kθ(1-m)2

證明令U=(u(x,t),v(x,t))T,D=diag(1,d), 系統(tǒng)(1)在E*處的線(xiàn)性化有形式:

Ut=DΔU+J(E*)U

(2)

其中

式(2)中，Δ為L(zhǎng)aplace算子。記λi,i∈N為-Δ算子在齊次Neumann邊界條件下的特征值,φi為相對(duì)應(yīng)的特征方程, 且 0=λ0<λ1<λ2<…。

其中,Mi=J(E*)-λiD。

E*是局部漸近穩(wěn)定的, 當(dāng)且僅當(dāng)Mi的兩個(gè)特征值實(shí)部均為負(fù)。Mi的特征值η1,2由下式得出:

η2-tr(Mi)η+det(Mi)=0

(3)

其中,tr(Mi)=-(1+d)λi+J11-θ,det(Mi)=dλi2+(θ-dJ11)λi-θJ11-J12J21。Mi的兩個(gè)特征值實(shí)部均為負(fù)的充要條件是,?i∈N,tr(Mi)<0,det(Mi)>0 成立。 由于J12<0,J21>0, 因此,J11<0。 要使得J11<0,只需2kθ(1-m)2

成立。定理3得證。

因此, 當(dāng)m∈[0,1) 時(shí), dθ*/dm>0。 即隨著避難所系數(shù)增大,θ*的值變大, 條件(H) 越容易成立。說(shuō)明食餌避難所的加強(qiáng)對(duì)于捕食系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性有促進(jìn)作用。

定理4若bcr>θ(b+k-km),cr[b+(1-m)η]>kθ(1-m)2, 則系統(tǒng)(1)的正平衡解E*是全局漸近穩(wěn)定的。

證明令u(x,t),v(x,t) 是系統(tǒng)(1)的任一非負(fù)解, 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)[14-15]

其中α為待定的系數(shù)。 并且

則

(4)

此時(shí)

由Green公式可得

(5)

(6)

(7)

簡(jiǎn)單計(jì)算, 式(7)等價(jià)于

(8)

kθ2(1-m)2α2+k(1-m)2≤

[4cr(b+(1-m)η)-2kθ(1-m)2]α

要使得上式對(duì)某個(gè)正常數(shù)α成立, 只需判別式

Δ*= {4cr[b+(1-m)η]-2kθ(1-m)2}2-

4k2θ2(1-m)4>0

成立, 即cr[b+(1-m)η]>kθ(1-m)2。定理4得證。

3 穩(wěn)態(tài)分歧與Hopf分歧

討論系統(tǒng)(1)在一維空間區(qū)域Ω=(0,l),l>0下的穩(wěn)態(tài)分歧與Hopf分歧。因此，將系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化成以下形式：

(9)

系統(tǒng)(9)的平衡態(tài)系統(tǒng)為

(10)

顯然，

-φxx=μφ,x∈(0,l),φx=0,x=0,l

的特征值為μi=(πi/l)2,i∈N, 且都為單重, 對(duì)應(yīng)的特征方程為

選擇d作為分歧參數(shù), 系統(tǒng)(10)在E*處的線(xiàn)性化算子為

顯然,L(d) 的特征值可由下面的算子

給出。其對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)方程為

λ2-λTi(d)+Di(d)=0,i∈N

(11)

其中

Ti(d)=-(1+d)μi+f1-θ

Di(d)=dμi2+(θ-df1)μi+f2

若?i0≥0及dH>0, 使得

Ti0(dH)=0,Di0(dH)>0

Ti(dH)≠0,Di(dH)≠0,?i≠i0

且式(1)的一對(duì)復(fù)特征值α(d)±iw(d), 若α′(dH)≠0 成立, 則系統(tǒng)(10)在 (dH,E*) 處發(fā)生Hopf分歧。

若?i0≥0及dS>0, 使得

Di0(dS)=0,Ti0(dS)≠0,

Ti(dS)≠0,Di(dS)≠0, ?i≠i0

下面分析E*的穩(wěn)定性結(jié)果及Hopf分歧與穩(wěn)態(tài)分歧的存在性。

定理5以下結(jié)論成立:

(1) 若f10,E*是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。 即在E*附近, 既不發(fā)生Hopf分歧也不發(fā)生穩(wěn)態(tài)分歧。

(2) 若min{θ,μ1}

(a) 假設(shè)θ<μ1, 則E*是不穩(wěn)定的。

(4) 若f1>θ+μ1成立, 假設(shè)

μ1

(12)

或

(13)

證明(1) 由于f10,Ti(d)<0。 因?yàn)棣?>f1, 則?i≥ 1, 都有μi>f1, 則

Di(d)=dμi(μi-f1)+θμi+f2>0

(14)

當(dāng)d>0,i=0 時(shí),D0(d)=f2>0。 由此可得L(d) 或者Li(d) 的特征值的實(shí)部均為負(fù)數(shù)。 即?d>0,E*是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。

(2) 若θ<μ1成立, 則由min{θ,μ1}0,有Ti(d)=-(dμi+θ)+f1-μi<0。

當(dāng)i=0 時(shí),T0(d)=f1-θ>0。而?i≥ 0,d>0,Di(d)=dμi(μi-f1)+θμi+f2>0成立。 因此,Li(d)存在實(shí)部為正的特征值, 即E*是不穩(wěn)定的。定理5中2(a)證畢。

若θ>μ1成立, 由min{θ,μ1}0, 有

Ti(d)=-(d+1)μi+f1-θ<0

由于當(dāng) 1≤i≤I0時(shí),f1-μi>0。 因此,?1≤i≤I0, 使得Di(di)=0 成立的di的值是唯一確定的, 且由假設(shè)可得, 當(dāng)1≤i,j≤I0時(shí),di≠dj。 顯然, 當(dāng)i,j≥1,i≠j時(shí),Dj(di)≠0。 與此同時(shí), 當(dāng)1≤i≤I0時(shí),

由此可以得出, 對(duì)于每一個(gè)固定的1≤i≤I0, ?d=di, 系統(tǒng)(10)在 (di,E*) 處發(fā)生穩(wěn)態(tài)分歧。

(3) 若f1<θ+μ1成立, 則?i≥1,f1<θ+μi。 所以當(dāng)i≥1時(shí),?d>0,有

Ti(d)=-dμi+(f1-μi-θ)<0

又因?yàn)閒1>max{θ,μ1}, 所以f1>θ。因此當(dāng)i=0 時(shí),T0(d)=f1-θ>0。 由于當(dāng) 1≤i≤I0時(shí),f1-μi>0，因此,?1≤i≤I0, 存在唯一確定的di>0,使得Di(di)=0 成立。由假設(shè)可得, 當(dāng)1≤i,j≤I0時(shí),di≠dj。 顯然, 當(dāng)1≤i,j≤I0時(shí),Dj(di)≠0。另外,當(dāng)1≤i≤I0時(shí),

綜上可得, 對(duì)于每一個(gè)固定的 1≤i≤I0, ?d=di,系統(tǒng)(10)在 (di,E*) 處發(fā)生穩(wěn)態(tài)分歧。

(15)

其實(shí)部α(d)=(1/2)T1(d),則