一類隨機(jī)SEIQR傳染病模型的動(dòng)力學(xué)行為分析

李 雪,胡良劍

(東華大學(xué) 理學(xué)院,上海 201620)

0 引 言

傳染病一直以來(lái)是醫(yī)學(xué)界普遍關(guān)注的重要問(wèn)題,為了更好地預(yù)防和治療傳染病,學(xué)者們通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型對(duì)傳染病模型進(jìn)行定性和定量研究。最經(jīng)典的傳染病模型就是由Kermack和Mckendrick于1927年創(chuàng)立的SIR(susceptible-infective-removed)倉(cāng)室模型[1]。自此,很多傳染病模型在此基礎(chǔ)之上建立起來(lái)[2-3]。

然而,傳染病的傳播會(huì)受到外部環(huán)境的隨機(jī)干擾。研究在隨機(jī)因素影響下的傳染病模型所具有的性質(zhì)對(duì)疾病的控制有重要意義。近些年來(lái),國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于隨機(jī)傳染病模型在生物,醫(yī)藥等領(lǐng)域的應(yīng)用和研究取得了很多進(jìn)展[4-6]。考慮疾病潛伏期的SEIR模型加入隨機(jī)擾動(dòng),已有大量研究[7-10]。YANG等[11]考慮了隨機(jī)SIR及SEIR傳染病模型解的全局正性,并得到了求解關(guān)于相應(yīng)的確定性系統(tǒng)的無(wú)病平衡點(diǎn)及地方病平衡點(diǎn)的漸近行為。魏鳳英等[12]進(jìn)一步研究了一類具有非線性發(fā)病率的隨機(jī)SEIR傳染病模型的滅絕性及平穩(wěn)分布等問(wèn)題。另一方面,也有部分學(xué)者考慮將具有隔離項(xiàng)的傳染病模型加入隨機(jī)擾動(dòng),ZHANG等[13]對(duì)一類非線性發(fā)病率的確定性和隨機(jī)SIQS模型進(jìn)行研究,給出了模型解是否穩(wěn)定的閥值R0。QI等[14]提出了2個(gè)具有周期參數(shù)和馬爾可夫切換的隨機(jī)SIQS傳染病模型,得到疾病滅絕的充分條件并證明了其遍歷平穩(wěn)分布的存在。

在實(shí)際生活中,大多數(shù)傳染病具有潛伏期,且傳染病主要的控制措施就是隔離,同時(shí)考慮隔離倉(cāng)室和潛伏期使得傳染病模型的研究更有實(shí)際意義。文獻(xiàn)[15]考慮隔離倉(cāng)室和潛伏期,建立了一類非線性高維自治微分方程系統(tǒng)SEIQR流行病傳播數(shù)學(xué)模型,得到疾病是否滅絕的閥值并證明了平衡點(diǎn)的存在性及其全局穩(wěn)定性,表明適當(dāng)?shù)卦龃蟾綦x強(qiáng)度,將有益于有效地控制疾病的蔓延。

1 模型的建立

文中研究的是一類具有潛伏期和隔離倉(cāng)室的SEIQR模型。模型將人群分為5類,S為易感人群,E為潛伏期人群,I為未被隔離的染病人群,Q為已被隔離的染病人群,R為治愈人群,SEIQR傳染病微分方程模型為

(1)

其中:正常數(shù)A為單位時(shí)間內(nèi)因出生和移民而進(jìn)入易感人群S的數(shù)量,β為易感人群在接觸感染者后進(jìn)入潛伏期的比例,ε為潛伏期發(fā)病率,γ和ω分別為從I類和Q類移出率;δ是隔離強(qiáng)度;d是自然死亡率,而α1,α2,α3分別為E類、I類、Q類的因病死亡率。根據(jù)文獻(xiàn)[15],SEIQR傳染病微分方程模型(1)的基本再生數(shù)為

設(shè)Bi(t) (i=1,2,3,4,5)為獨(dú)立的一維布朗運(yùn)動(dòng),σi(i=1,2,3,4,5)為噪聲強(qiáng)度,建立一類隨機(jī)SEIQR傳染病模型

dS=(A-βSI-dS)dt+σ1SdB1(t)

(2)

dE=(βSI-(ε+d+α1)E)dt+σ2EdB2(t)

(3)

dI=(εE-(δ+γ+d+α2)I)dt+σ3IdB3(t)

(4)

dQ=(δI-(ω+d+α3)Q)dt+σ4QdB4(t)

(5)

dR=(γI+ωQ-dR)dt+σ5RdB5(t)

(6)

2 全局正解的存在唯一性

若隨機(jī)微分方程對(duì)于任何給定初值存在唯一的全局解,該方程系數(shù)需滿足Lipschitz條件和線性增長(zhǎng)條件[16]。然而,本文所研究的隨機(jī)SEIQR傳染病模型中,方程(2)～(3)的系數(shù)雖然滿足局部Lipschitz條件卻不滿足線性增長(zhǎng)條件。因此，運(yùn)用Lyapunov分析方法證明隨機(jī)SEIQR傳染病模型正解是全局存在唯一的。

這里,inf?=∞ (?表示空集)。

如若不然,存在常數(shù)T>0和δ∈(0,1)使得P{τ∞≤T}>δ。 因此,存在整數(shù)k1≥k0,?k≥k1,都有

P{τk≤T}≥δ.

(7)

考慮Lyapunov函數(shù)

(I+1-lgI)+(Q+1-lgQ)+

(R+1-lgR)

其中

取

所以,有

(8)

對(duì)式(8)從0到τk∧T積分并取期望,得

EV(S(τk∧T),E(τk∧T),I(τk∧T),

Q(τk∧T),R(τk∧T))≤

V(y(0))+KT

(9)

V(S(τk,ω),E(τk∧T),I(τk,ω),

Q(τk,ω),R(τk,ω))≥

由式(9)得

V(y(0))+KT≥ E[1Ωk(ω)V(S(τk∧T),

E(τk∧T),I(τk∧T),Q(τk∧T),

R(τk∧T))]≥

δ[k+1-lg(k)]∧[(1/k)+1+lg(k)]

其中1Ωk表示Ωk的示性函數(shù)。

令k→∞,有∞>V(y(0))+KT=∞,矛盾。于是必有τ∞=∞ a.s.,即解是正的且全局唯一存在。

3 當(dāng)R0≤1時(shí)隨機(jī)SEIQR傳染病模型解的漸近行為

其中

特別地,當(dāng)σ1=0時(shí),該模型(2)～(6)的解隨機(jī)漸近穩(wěn)定。

證明考慮Lyapunov函數(shù)

(10)

同理,計(jì)算得

又2ab≤a2+b2,有

由式(10)有

(15)

(16)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(17)

其中

又由不等式(13)～(16),有

其中

對(duì)式(17)從0到t取積分并取期望,有

證明完畢。

定理2表明,當(dāng)噪聲的強(qiáng)度足夠小時(shí),隨機(jī)SEIQR傳染病模型的解會(huì)圍繞確定性SEIQR傳染病模型的無(wú)病平衡點(diǎn)P0震動(dòng),且震動(dòng)大小與σ1相關(guān),隨機(jī)擾動(dòng)越小,解越趨近于P0。

4 當(dāng)R0>1時(shí)隨機(jī)SEIQR傳染病模型解的漸近行為

當(dāng)R0>1時(shí),確定性SEIQR傳染病模型(1)存在一個(gè)全局漸近穩(wěn)定的地方病平衡點(diǎn)[15]P*=(S*,E*,I*,Q*,R*)。討論隨機(jī)干擾下的SEIQR傳染病模型在該點(diǎn)附近的漸近行為。當(dāng)R0>1時(shí),隨機(jī)SEIQR傳染病模型的解在確定性模型的唯一地方平衡點(diǎn)附近擾動(dòng),擾動(dòng)強(qiáng)度與σ1,σ2,σ3,σ4,σ5有關(guān),白噪聲擾動(dòng)的強(qiáng)度越小,隨機(jī)SEIQR模型的解越逼近P*。

其中

證明定義函數(shù)

dV1=LV1dt+(S-S*+E-E*)

(σ1SdB1(t)+σ2EdB2(t))

其中

(18)

當(dāng)R0>1時(shí),確定性SEIQR傳染病模型(1)有唯一的地方病平衡點(diǎn)P*=(S*,E*,I*,Q*,R*)。令確定性SEIQR傳染病模型(1)左邊等于零,易得A=βS*I*+dS*,βS*I*=ε+d+α1,εE*=δ+γ+d+α2,δI*=d+ω+α3,dR*=ωQ*+γI*。

將上述等式帶入式(18),得

同理,可得

記a1=ε+d+α1,a2=γ+δ+d+α2,a3=ω+d+α3, 得

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(19)

其中

令

有

對(duì)式(19)取期望,計(jì)算得

可通過(guò)控制噪聲強(qiáng)度σ1,σ2,σ3,σ4,σ5,使得0

(I(s)-I*)2+(Q(s)-Q*)2+

定理3證畢。