現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)脈動(dòng)風(fēng)速的APES法幅值譜相位譜估計(jì)*

王向杰， 淡丹輝， 閆興非， 程 緯

(1.同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院 上海, 200092； (2. 上海市建設(shè)設(shè)計(jì)研究總院 上海, 200125)

引 言

對(duì)于超高、大跨結(jié)構(gòu)而言，風(fēng)荷載引起的結(jié)構(gòu)振動(dòng)可對(duì)結(jié)構(gòu)的安全造成嚴(yán)重威脅，風(fēng)荷載成為此類結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)控制因素[1]。對(duì)風(fēng)荷載的監(jiān)測(cè)、分析、建模，以及對(duì)結(jié)構(gòu)風(fēng)致效應(yīng)的分析，不僅成為結(jié)構(gòu)前期規(guī)劃設(shè)計(jì)的重點(diǎn)難題之一，也成為建成結(jié)構(gòu)服役期安全性能評(píng)估關(guān)心的一項(xiàng)重要內(nèi)容[2]。脈動(dòng)風(fēng)速譜是描述其能量頻域分布特征的一種重要參數(shù)。

脈動(dòng)風(fēng)速譜包括功率譜和幅值譜兩種。已有規(guī)范中給出的均為前者，但只能反應(yīng)脈動(dòng)風(fēng)速幅值的二階數(shù)據(jù)特征，不能表征其他概率特性，也丟失了包括相位在內(nèi)的更豐富的信息，難以完全還原脈動(dòng)風(fēng)的隨機(jī)性原貌[3]。因此使用已知脈動(dòng)風(fēng)功率譜產(chǎn)生模擬風(fēng)速時(shí)程，常常需要用到諧波合成法[4-5]或線性回歸濾波器法[6]，這些方法計(jì)算量大，而且質(zhì)量不佳。采用幅值譜和相位譜的方式來(lái)表征脈動(dòng)風(fēng)速，不僅可以保留脈動(dòng)風(fēng)速的全面統(tǒng)計(jì)特性，從而得到更加接近真實(shí)情況的脈動(dòng)風(fēng)速模擬時(shí)程，而且可以大大降低模擬計(jì)算的工作量。李杰等[7]利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)擬合得到了基于Fourier變換的隨機(jī)脈動(dòng)風(fēng)幅值譜，證明了幅值譜在反映脈動(dòng)風(fēng)統(tǒng)計(jì)特性方面的優(yōu)勢(shì)，但由于Fourier變換的頻率分辨率較差，對(duì)幅值和相位的估計(jì)精度也較差，因此得到的幅值譜質(zhì)量不佳。

近年來(lái)，得益于結(jié)構(gòu)監(jiān)測(cè)技術(shù)的發(fā)展，很多工程結(jié)構(gòu)上安裝有風(fēng)速風(fēng)向監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，筆者采用上海閔浦二橋監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的風(fēng)速監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，利用APES方法在頻率分辨率和幅值相位估計(jì)方面的優(yōu)勢(shì)[8-11]，對(duì)其進(jìn)行風(fēng)速的幅值和相位譜估計(jì)，并對(duì)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

1 基于APES算法的脈動(dòng)風(fēng)速特征表示

1.1 脈動(dòng)風(fēng)速的信號(hào)模型

在平穩(wěn)風(fēng)條件下，可以將實(shí)測(cè)得到的紊流風(fēng)速看成平穩(wěn)的高斯過(guò)程，由多個(gè)頻率成分的諧振分量與平穩(wěn)噪聲成分疊加而成，即

(1)

其中：u(t)為水平方向的脈動(dòng)風(fēng)速；ωr為第r個(gè)諧振成分的頻率;U(ωr)和φ(ωr)分別為該成分的幅值和相位；w(ωr)為該頻率處的噪聲。

在任意感興趣的頻率ω處，風(fēng)速可以被寫(xiě)成一個(gè)經(jīng)幅值函數(shù)a(ω)調(diào)制的正弦項(xiàng)與一個(gè)噪聲殘余項(xiàng)wω(t)之和

u(t)=U(ω)sin(ωt+φ(ω))+wω(t)

(2)

其中：U(ω)，φ(ω)分別為定義在頻率ω處的幅值譜函數(shù)和相位譜函數(shù)；wω(t)包含了除頻率ω外所有的其他頻率點(diǎn)的衰減正弦項(xiàng)及一個(gè)隨機(jī)噪聲成分ω(n)。

1.2 基于APES的脈動(dòng)風(fēng)幅值譜相位譜估計(jì)

APES法是一種高精度的非參數(shù)幅值和相位譜估計(jì)方法，這類非參數(shù)譜估計(jì)方法起初多用于對(duì)復(fù)信號(hào)、非阻尼信號(hào)的處理[8-9]。Stoica等[12]給出了APES和Capon方法的實(shí)信號(hào)實(shí)現(xiàn)形式。由于脈動(dòng)風(fēng)速信號(hào)為實(shí)信號(hào)，故筆者采用了后者改進(jìn)的APES譜估計(jì)方法來(lái)對(duì)脈動(dòng)風(fēng)速信號(hào)進(jìn)行譜估計(jì)，其過(guò)程如下。

將式(2)進(jìn)一步寫(xiě)為

u(t)=UI(ω)cos(ωt)+UQ(ω)sin(ωt)+wω(t)

(3)

其中：UI(ω)=U(ω)cosφ(ω)；UQ(ω)=U(ω)sinφ(ω)。 設(shè)通過(guò)連續(xù)的風(fēng)速監(jiān)測(cè)，獲得脈動(dòng)風(fēng)的時(shí)間序列u(t)的N個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)u(n)，n=0,1,…,N-1。則每一個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)都可以寫(xiě)成如下形式

u(n)=UI(ω)cos(ωn)+UQ(ω)sin(ωn)+wω(n)

(4)

構(gòu)造觀測(cè)數(shù)據(jù)的M×L階Hankel陣

Y=[yl]

(5)

設(shè)

則有如下信號(hào)模型

yl=AM(ω)Bω(l)θ(ω)+nl

(6(a))

(6(b))

(7)

其中：nl={wω(l),wω(l+1),…,wω(l+M-1)}T。

(8(a))

約束條件為

hT(ω)AM(ω)=cT

(8(b))

式(8(a))等價(jià)于使濾波后的信號(hào)的信噪比(SNR)最大化，即

(9)

其中：噪聲協(xié)方差定義為Q(ω)=E(nl·nl)。

(10)

式(9)的優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)一步可轉(zhuǎn)化為

(11)

Stoica等[10]給出的最優(yōu)濾波器估計(jì)器如下

(12)

由式(8(b))，有

即

注意到G的對(duì)稱性，即

(i= 1,2,…,M)

(13)

根據(jù)式(3)，可以給出最終的脈動(dòng)風(fēng)速的幅值譜和相位譜估計(jì)為

(14)

2 APES算法與Fourier變換在信號(hào)處理中的比較

已有研究表明，APES譜估計(jì)方法是一種特殊形式的離散Fourier變換(discrete fourier transform，簡(jiǎn)稱DFT)，前者對(duì)頻率和幅值的識(shí)別精度要優(yōu)于后者。為了比較二者在譜識(shí)別方面的性能表

現(xiàn)，給定一段測(cè)試信號(hào)進(jìn)行譜識(shí)別。該信號(hào)包5個(gè)諧波分量，其頻率分別為：0.053，0.056，0.077，0.081，0.093 Hz，幅值真實(shí)值分別為12.3，10.0，5.3，10.0，10.0 m。信號(hào)長(zhǎng)度為600 s，取樣頻率為1 Hz。在信號(hào)時(shí)程中加入一個(gè)均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為0.5的隨機(jī)噪聲。分別用APES法和DFT進(jìn)行處理，譜圖在圖1中給出，識(shí)別得到的結(jié)果見(jiàn)表1。

圖1 APES算法與DFT識(shí)別結(jié)果對(duì)比Fig.1 Amplitude spectrum identified by APES and DFT

表1 測(cè)試信號(hào)的幅值譜識(shí)別結(jié)果

由表1和圖1可見(jiàn)，通過(guò)計(jì)算結(jié)果可知，APES法以0誤差的方式識(shí)別得到了全部5個(gè)頻率成分，而DFT的識(shí)別結(jié)果相對(duì)精度較低，其誤差最大可達(dá)到1.2%。對(duì)于幅值識(shí)別結(jié)果，APES法同樣具有明顯識(shí)別精度優(yōu)勢(shì)，其最大相對(duì)誤差僅為1.1%，而DFT的幅值識(shí)別精度很差，且識(shí)別結(jié)果均小于真實(shí)值，其相對(duì)誤差最大達(dá)到23.2%，最小為4.9%。從圖1可見(jiàn)，對(duì)于前兩個(gè)頻率成分非常接近的信號(hào)，DFT識(shí)別得到的兩個(gè)峰值在頂端幾乎重合，而APES法得到的兩個(gè)峰值在底部仍然能夠有較大的距離，這反映了后者比前者具有更好的頻率分辨率。

由此可見(jiàn)，采用APES方法，不僅可以得到高質(zhì)量的風(fēng)譜幅值估計(jì)，而且因?yàn)楦叩念l率分辨率，可以得到比Fourier法幅值譜更密的頻率線，使風(fēng)譜在全頻率域內(nèi)的譜線分布更趨合理。另外，由于風(fēng)譜估計(jì)的常用時(shí)長(zhǎng)為600 s，其包含各頻率信號(hào)的完整周期數(shù)最小只有31.8個(gè)周期，在這樣的短的時(shí)長(zhǎng)內(nèi)，APES法的幅值識(shí)別結(jié)果比Fourier法更可靠。

3 閔浦二橋風(fēng)速監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理

上海閔浦二橋是一座公軌兩用一體化雙層特大橋，位于上海市黃浦江上游閔行-奉賢段。主橋?yàn)楠?dú)塔雙索面雙層斜拉橋，主跨為251.4 m，錨跨為147 m+38.25 m。上層為二級(jí)公路雙向4車道，橋面寬度為18 m；下層為雙線輕軌(上海軌道交通5號(hào)線閔奉段)，最小功能寬度為10 m。閔浦二橋結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)監(jiān)測(cè)，綜合考慮橋梁結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇了多種監(jiān)測(cè)目標(biāo)，共有測(cè)點(diǎn)172個(gè)，其中風(fēng)速風(fēng)向測(cè)點(diǎn)有2個(gè)，分別位于塔頂與主跨跨中。塔頂為150 m，跨中為29 m(吳淞零點(diǎn)高程)，均小于當(dāng)?shù)靥荻蕊L(fēng)高度，采樣頻率為4 Hz，采用不間斷采樣方式監(jiān)測(cè)作用在結(jié)構(gòu)上的風(fēng)速。

圖2 閔浦二橋鳥(niǎo)瞰圖Fig.2 Aerial view of minpu second bridge

圖3 閔浦二橋風(fēng)速儀布置圖Fig.3 The layout of anemorumbometers in Minpu Second Bridge

采用2016年1～3月之間的3個(gè)月(2 184 h)的風(fēng)速監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，根據(jù)中國(guó)交通部規(guī)范《公路橋梁抗風(fēng)設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTG/T D60-01-2004)[13]規(guī)定的10 min為平均風(fēng)時(shí)距，將其分解為13 104個(gè)樣本，每個(gè)樣本包括塔頂與跨中兩組數(shù)據(jù)。

(15)

對(duì)于取樣頻率4 Hz，時(shí)距10 min的子樣本來(lái)說(shuō)，其計(jì)算公式為

(16)

在進(jìn)行正式風(fēng)譜估計(jì)之前，對(duì)得到的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行篩選處理，篩選原則為[16]:a.兩處風(fēng)速原始數(shù)據(jù)中風(fēng)速超過(guò)64 m/s的數(shù)據(jù)點(diǎn)小于50個(gè);b.跨中與塔頂兩處的主風(fēng)速均大于6 m/s；c.跨中主風(fēng)速小于塔頂主風(fēng)速；d.跨中平面風(fēng)速小于塔頂平面風(fēng)速。

通過(guò)以上篩選，共得到1 014個(gè)符合平穩(wěn)風(fēng)要求的子樣本。按下式計(jì)算各子樣本的水平面內(nèi)脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程[17]

(17)

圖4(a)和(b)給出由計(jì)算得到的其中兩個(gè)時(shí)段內(nèi)的脈動(dòng)風(fēng)風(fēng)速時(shí)程。

圖4 典型脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程曲線Fig.4 Typical fluctuating wind velocity time history

4 平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)幅值譜與相位譜估計(jì)結(jié)果及統(tǒng)計(jì)分析

4.1 平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)幅值譜和相位譜估計(jì)

針對(duì)得到的1 041個(gè)平穩(wěn)風(fēng)速數(shù)據(jù)樣本，分別用APES法與DFT估計(jì)各個(gè)樣本的幅值譜和相位譜。圖5給出其中一個(gè)樣本的幅值譜和相位譜估計(jì)曲線。由圖可見(jiàn)，在頻率的對(duì)數(shù)坐標(biāo)軸上，APES法的譜曲線比Fourier譜更加平滑，在低頻段，前者比后者的數(shù)據(jù)點(diǎn)多；在高頻段，后者數(shù)據(jù)則過(guò)于密集，反而掩蓋了總體趨勢(shì)信息?？傮w來(lái)看，APES幅值譜曲線在全頻段內(nèi)的質(zhì)量要好于Fourier幅值譜。這主要是因?yàn)榍罢呖梢詫?shí)現(xiàn)任意指定頻率線上的譜估計(jì)，因此可以在低頻區(qū)加密頻率線，使頻率點(diǎn)在對(duì)數(shù)軸上合理分布；而DFT則需要將時(shí)域信息平均地投射到事先劃定好的等間隔頻率線上，其頻率點(diǎn)只能是一個(gè)等差數(shù)列，低頻區(qū)缺乏數(shù)據(jù)，而在高頻區(qū)則顯得數(shù)據(jù)過(guò)密。

圖5 某一時(shí)段脈動(dòng)風(fēng)速樣本的幅值譜相位譜估計(jì)Fig.5 Amplitude spectrum and phase spectrum estimation of a certain wind velocity sample

4.2 幅值譜相位譜的估計(jì)結(jié)果統(tǒng)計(jì)

將上述兩種方法估計(jì)得到的所有樣本的幅值、相位譜作進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析。用上述兩種方法估計(jì)的塔頂、跨中兩處脈動(dòng)風(fēng)速的幅值均值譜與標(biāo)準(zhǔn)差譜分別在圖6和圖7給出。定義兩種方法估計(jì)得到的幅值均值譜差異為

(18)

其中：UAPES(ω)，UFourier(ω)分別為APES法與Fourier變換得到的幅值譜。

Fig.6 Mean of the measured fluctuating wind amplitude spectrum obtained using the two method

圖7 兩種算法得到的脈動(dòng)風(fēng)幅值標(biāo)準(zhǔn)差譜

Fig.7 Standard deviation of measured fluctuating wind amplitude spectrum obtained using the two methods

差異如圖8所示。相位均值譜在圖9給出。

通過(guò)對(duì)圖6～9的分析可知：兩種方法得到的幅值譜均值規(guī)律一致：低頻區(qū)域幅值大，高頻區(qū)域幅值小，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下，譜線呈近似線性下降趨勢(shì)，這與已有文獻(xiàn)的結(jié)論相同，即脈動(dòng)風(fēng)的能量集中在低頻區(qū)域；跨中的幅值譜均值在低頻區(qū)和高頻區(qū)均明顯小于塔頂?shù)姆?，而在中間頻率區(qū)間兩者非?？拷?；兩種方法得到的風(fēng)速幅值譜標(biāo)準(zhǔn)差在低頻區(qū)大，高頻區(qū)小，而且塔頂大于跨中，這從另一個(gè)側(cè)面反映紊流能量集中于低頻區(qū)。

DFT得到的幅值譜均值在全頻率區(qū)段均明顯小于APES法風(fēng)幅值譜均值估計(jì)結(jié)果，最大差異達(dá)到23.37%,最小也有0.63%；這與前文給出的二種方法性能對(duì)比結(jié)論一致，有理由相信，APES法得到的脈動(dòng)風(fēng)幅值均值譜比Fourier幅值均值譜更準(zhǔn)確。

兩種方法估計(jì)得到的相位譜塔頂和跨中的均值均于0。

圖8 兩種方法得到的脈動(dòng)風(fēng)幅值均值譜差異

圖9 兩種方法得到的脈動(dòng)風(fēng)速幅值均值譜

Fig.9 Mean of fluctuating wind phase spectrum obtained using the two method

4.3 幅值譜相位譜的分布估計(jì)

為了進(jìn)一步了解脈動(dòng)風(fēng)幅值譜與相位譜在各頻率點(diǎn)處的分布類型，圖10、圖11分別給出塔頂頻率為0.005，0.1，1 Hz處實(shí)測(cè)風(fēng)幅值與相位數(shù)據(jù)的分布頻數(shù)圖，3個(gè)頻率分別代表低頻區(qū)、中頻區(qū)和高頻區(qū)。由于跨中與塔頂?shù)姆植碱愋拖嗤?，APES算法較DFT結(jié)果更為準(zhǔn)確，故此處只給出塔頂脈動(dòng)風(fēng)譜幅值與相位的APES法計(jì)算結(jié)果。圖10中橫軸為無(wú)量綱化的幅值，定義為各頻率處幅值與該頻率處均值的比值。

由圖10可知，在各頻率處幅值分布近似一致，均為先急劇上升再急劇下降的趨勢(shì)，與對(duì)數(shù)正態(tài)分布較為吻合。

由圖11可知，各相位區(qū)間的頻數(shù)大致相等，表明脈動(dòng)風(fēng)速的相位基本符合零均值且均勻分布在[-π, π]區(qū)間的規(guī)律。

根據(jù)圖10,11可知，將塔頂與跨中的脈動(dòng)風(fēng)幅值譜均值以及在特定頻率點(diǎn)處的幅值分布情況表示在圖12中。

Fig.10 Histogram of amplitude at the top of the tower using APES algorithm

圖11 塔頂處相位頻數(shù)分布圖

Fig.11 Histogram of phase at the top of the tower using APES algorithm

圖12 塔頂與跨中的幅值譜均值與其分布規(guī)律

Fig.12 The mean of fluctuating wind amplitude spectrum and its distribution at the top of the tower and middle of the span

5 結(jié)束語(yǔ)

平穩(wěn)脈動(dòng)風(fēng)的幅值譜和相位譜可以很好地描述風(fēng)場(chǎng)概率特性。為了提高譜估計(jì)的質(zhì)量，筆者采用APES法對(duì)閔浦二橋現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)的風(fēng)速數(shù)據(jù)進(jìn)行了幅值譜與相位譜估計(jì)，并與DFT估計(jì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明，APES具有更高的頻率分辨率和幅值識(shí)別精度，是進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)風(fēng)譜估計(jì)的有效工具。通過(guò)對(duì)估計(jì)得到的幅值譜與相位譜進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)幅值譜均值在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)軸中近似呈線性關(guān)系，各頻率處幅值均呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布；相位在[-π, π]上符合均值為0的均勻分布，其規(guī)律與已有研究一致。本研究結(jié)果可以為橋梁所在地區(qū)風(fēng)荷載估計(jì)提供方法參考，也為此地區(qū)的結(jié)構(gòu)抗風(fēng)設(shè)計(jì)提供依據(jù)。