三類數(shù)學(xué)題的函數(shù)圖象解答方法

張曦元

【摘要】對于高中階段的學(xué)生而言，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象是其應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的主要表現(xiàn)，同時(shí)，也能夠?yàn)榻忸}提供便利。因此，本文將對函數(shù)圖象中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行闡述，并具體分析函數(shù)圖象在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用，希望可以為高中生更好解答數(shù)學(xué)題提供幫助。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)圖象;高中;數(shù)學(xué)

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，函數(shù)圖象不僅是高中生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，其還可以對其他知識(shí)點(diǎn)起到一定作用，高中生必須合理運(yùn)用函數(shù)圖象，明確解題思路，以直觀方式找出準(zhǔn)確答案，從而為自身解題能力的提高奠定良好基礎(chǔ)。

一、函數(shù)圖象中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想

數(shù)和形是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最重要的兩方面，在具體學(xué)習(xí)過程中，函數(shù)圖象可以將大部分?jǐn)?shù)量關(guān)系直觀展示出來，有利于學(xué)生快速、準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)數(shù)和形的轉(zhuǎn)化，并有效解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題。因此，高中生必須了解數(shù)形結(jié)合思想，并加強(qiáng)對函數(shù)圖象的運(yùn)用。通常情況下，數(shù)形轉(zhuǎn)化有形轉(zhuǎn)數(shù)、數(shù)轉(zhuǎn)形以及數(shù)形相互轉(zhuǎn)化三種方式，所以，在實(shí)際解題過程中，必須明確已知條件，并在這一基礎(chǔ)上，合理繪制函數(shù)圖象，判斷未知條件，從而獲得最終正確的答案。

二、高中數(shù)學(xué)解題中的函數(shù)圖象

（一）選擇題

在高中數(shù)學(xué)考試中，選擇題是最常見的題目，其分值是總分?jǐn)?shù)的三分之一，并且難度是由淺入深的，一般最后兩道選擇題是難度最大的，并且這類題型主要考察的都是單一知識(shí)點(diǎn)。同時(shí)，由于其已知條件比較少，需要通過函數(shù)圖象的運(yùn)用，來快速、準(zhǔn)確找到解題重點(diǎn)。這樣，不但可以減少解題時(shí)間，還能夠保證解題正確率。

例1：已知方程式sinx=sin2x，若（0，2π）是x的區(qū)間，求這一方程有（）個(gè)解。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：若按照傳統(tǒng)算法來解題，其解題思路如下：先將方程式轉(zhuǎn)化成sinx=sin2x=2sinxcosx，如果sinx=0，那么x則應(yīng)該是-π、0以及π;如果sinx≠0，那么2cosx=1，則x應(yīng)該是-π/3、5π/3以及π/3。由此可以看出，傳統(tǒng)解題方法計(jì)算起來比較麻煩，甚至部分同學(xué)可能完全沒有思路，同時(shí)，在實(shí)際解題過程中，很可能忽略（0，2π）這一已知條件，甚至可能因?yàn)橛?jì)算錯(cuò)誤而使得最終結(jié)果出現(xiàn)差錯(cuò)。但是，通過函數(shù)圖象的運(yùn)用，高中生可以通過直觀圖形準(zhǔn)確找到x在（0，2π）范圍內(nèi)，方程式共有三個(gè)解。另外，對于高中生而言，若在選擇題上花費(fèi)大量精力與時(shí)間，那么就會(huì)不自覺產(chǎn)生緊張情緒，不利于后續(xù)解答順利進(jìn)行。因此，必須加強(qiáng)對函數(shù)圖象的運(yùn)用，依照已知條件將方程正確表述出來，并通過直觀觀看，迅速找出兩個(gè)方程的交點(diǎn)，降低題目難度，節(jié)省計(jì)算時(shí)間，從而促進(jìn)自身解題效率的提高。

例2：求同時(shí)具寶π是最小正周期與圖象關(guān)于（π/6，0）對稱兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)是（）。

A.y=sin（x/2+π/6）B.y=cos（2x-π/6）

C.y=sin（2x+π/6）D.y=tan（x+π/3）

解析：在解答這類題目時(shí)，很明顯高中生必須使用函數(shù)圖象。在具體解答過程中，可以先把四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)圖象準(zhǔn)確繪制出來，并分別驗(yàn)證題目中的已知條件，將不符合的排除后就能夠獲得最終答案。通過這種方式，不需要進(jìn)行大量計(jì)算，只需要通過直觀觀看與排除法，就能夠選出最終答案，這樣，不但可以節(jié)省大量時(shí)間，還能夠促進(jìn)準(zhǔn)確率的提升，在考試過程中，高中生可以采取這一方法。

（二）應(yīng)用題在新課改深化背景下，高中數(shù)學(xué)知識(shí)變得更具有全面性、綜合性，這也就意味著高中生在實(shí)際解題過程中，必須全面分析已知條件，合理利用多樣化解題方式，明確解題思路，以此來快速、準(zhǔn)確獲得最終答案。通過研究發(fā)現(xiàn)，函數(shù)圖象可以用來解決不等式、最值、近似解以及值域等問題，其可以將抽象概念具體化，能夠在一定程度上降低題目難度，有利于高中生快速獲得正確答案。

例3：已知不等式|x-5|-1<|2x+3|，那么x取值范圍是多少？

解析：在解答取值范圍這類題型時(shí)，若已知條件中含有絕對值，那么很容易會(huì)出現(xiàn)解答錯(cuò)誤、忽略條件等問題，并最終獲得錯(cuò)誤答案。但是，在函數(shù)圖象的作用下，高中生不但可以節(jié)省大量解題時(shí)間，還能夠全面考慮各種可能情況，避免出現(xiàn)條件遺漏等問題。因此，在具體解答時(shí)，可以先將不等式假設(shè)成一個(gè)函數(shù)，即y=|x-5|-1-|2x+3|，這樣，在x-5=0時(shí)，x=5;在2x+3=0時(shí)，x=-3/2。之后，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，可以把x軸分成三部分，并準(zhǔn)確繪制出函數(shù)圖象，之后，通過交點(diǎn)的尋找，就能夠得到最終取值范圍。 例4：已知方程2^x+x³-2=0，求該方程在（0，1）區(qū)間內(nèi)有幾個(gè)實(shí)數(shù)根。

解析：在具體解題過程中，很多高中生仍然使用傳統(tǒng)方式進(jìn)行解題，其解題步驟如下：

因?yàn)閒（x）=2^x+x³-2，

所以f'（x）=2^xIn2+x³>0是恒成立的，

所以在（0，1）這一區(qū)間內(nèi)，函數(shù)屬于單調(diào)遞增，

同時(shí)，因?yàn)閒（0）=-1，f（1）=1，

所以f（0）f（1）<0，所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。

上述解題步驟雖然正確，但過于繁瑣，若出現(xiàn)不仔細(xì)等問題，極易出現(xiàn)錯(cuò)誤。而函數(shù)圖象的運(yùn)用則可以將復(fù)雜、抽象問題變得簡單、具體，有利于快速獲得答案，而且還不易出錯(cuò)。

首先，可以依照已知條件，將方程轉(zhuǎn)換成f（x）=2-2^x和g（x）=x³這兩個(gè)函數(shù)方程，并繪制出相關(guān)的函數(shù)圖象，之后，可以通過交點(diǎn)的直觀尋找，準(zhǔn)確獲得該方程在（0，1）區(qū)間的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)。

結(jié)論

綜上所述，函數(shù)圖象中最基本的數(shù)學(xué)思想就是數(shù)形結(jié)合思想，高中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，必須加強(qiáng)對函數(shù)圖象的運(yùn)用，有效解決復(fù)雜的不等式、最值等問題，找出問題解決的關(guān)鍵條件，快速、準(zhǔn)確得出答案，從而促進(jìn)自身學(xué)習(xí)質(zhì)量與水平的提升。

【參考文獻(xiàn)】

[1]石燁辰.函數(shù)圖象在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究[J].中國科技投資，2016（34）