巧分類，突破含參單調(diào)性

毛小果

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)極為重要的內(nèi)容，函數(shù)單調(diào)性是進(jìn)一步研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。以導(dǎo)數(shù)為載體的含參函數(shù)問(wèn)題的圖象和性質(zhì)研究是高考考察的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。解決此類問(wèn)題的常見(jiàn)方法是：求導(dǎo)后進(jìn)行分類討論，而如何進(jìn)行分類討論則是解題的難點(diǎn)，本文以近年高考試題和模擬題中含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題為例，從“有無(wú)、大小、內(nèi)外”六字分類法揭開含參單調(diào)性討論的神秘面紗。

一、導(dǎo)數(shù)為零是否有解（有無(wú)，內(nèi)外）

例1.已知函數(shù)f（x）=Inx+a（1-x）討論f（%）的單調(diào)性。

解：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）= 1/x-a若a≤0，則f'（x）f'（x）>0：當(dāng)（1/a，+∞）時(shí)， f'（x）。所以f（X）在（0，1/a）上單調(diào)遞增，在（吞，+二）上單調(diào)遞減。

例2.已知函數(shù)f（x）=e^x（e^x-a）-a²x，討論f（x）的單調(diào)性。

解：f'（x）=2（e^x）²-ae^x-a²=（2e^x+a）（e^x-a）.（1）當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）=2（e^x）²>0恒成立，所以f（x）在R上單調(diào)遞增;（2）當(dāng)a>0時(shí)，2e^x+a>0恒成立，令f'（x）>0，則e^x-a>0，

故x>Ina，所以f（x）在（Ina，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞， Ina）上單調(diào)遞減;（3）當(dāng)a<0時(shí)，e^x-a>0恒成立，令f'（x）>0，則2e^x+a>0，即e^x>-a/2=e^In（-a/2），故x>In（-a/2），所以f（x）A（In（-a/2），+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，In（-a/2）上單調(diào)遞減。

二、導(dǎo)數(shù)為零的解有多個(gè)時(shí)（大小，內(nèi)外）

例3.設(shè)函數(shù)f（x）=m（x-Inx）-1/x-Inx，m∈R.討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性。

（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）=（x-1）（mx-1）/x²，當(dāng)m=0時(shí)，f'（x）=-x+1/x²，函數(shù)f（x）在區(qū)問(wèn)（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減;當(dāng)m<0時(shí)，1/m<0<1，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減;當(dāng)0

當(dāng)m=1時(shí)，f'（x）=（x-1）²/x²≥1，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增;當(dāng)m>1時(shí)，0<1/m<1，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1/m）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1/m，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增。

三、雙變量含參單調(diào)性討論

例4.已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-Inx（a，b∈R），設(shè)a≥0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間。

解：由f（x）=ax²+bx-Inx，x∈（0，+∞），得f'（x）=2ax²+bx-1/x。

（1）當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）=bx-1/x。若b≤0，當(dāng)x>0時(shí)，f'（x）<0恒成立，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）.若b>0，當(dāng)01/b時(shí)，f'（x）>0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增。所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1/b），單調(diào)遞增區(qū)間是（1/b，+∞）。

（2）當(dāng)a>0時(shí)，令f '（x）=0，得2ax²+bx-1=0。由△=b²x₂>0。當(dāng)02