非標(biāo)準(zhǔn)有限差分法求解薛定諤方程

劉明鼎, 林 鑫, 張艷敏

(青島理工大學(xué)琴島學(xué)院 基礎(chǔ)部, 山東 青島 266106)

薛定諤方程是物理領(lǐng)域量子力學(xué)的一個(gè)重要方程.可以用來討論單色波的一維自調(diào)適、光學(xué)的自陷現(xiàn)象、固體中的熱脈沖傳播、等離子體中的Langnui 波、超導(dǎo)電子在電磁場中運(yùn)動(dòng)以及激光中原子的Bose-Einstein凝聚效應(yīng)等[1-3],也被用于研究深水波浪理論、柱(球)非線性薛定諤方程[4-5],因此研究此類方程具有重要的意義.本文結(jié)合構(gòu)造非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式的特點(diǎn)[6-8],給出求解薛定諤方程的一種非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式.通過分析,證明了構(gòu)造的差分格式是無條件穩(wěn)定和收斂的.數(shù)值算例驗(yàn)證了該方法是有效的.

1 兩種非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式的構(gòu)造

考慮如下初邊值薛定諤方程:

初始條件

u(x,0)=φ(x),0≤x≤L,(2)

邊界條件

u(0,t)=φ0(t),u(L,t)=φ1(t),0

這里i為虛數(shù)單位,f,φ,φ0,φ1為已知連續(xù)函數(shù),L,T為非負(fù)常數(shù).

1.1 第一種非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式的構(gòu)造

利用MICKENS方法[6],以及文獻(xiàn)[9-11]在網(wǎng)格點(diǎn)處對式(1)離散后的差分方程為

對式(5)進(jìn)一步整理

則式(6)即為式(1)第一種非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式.

1.2 第一種非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式的局部截?cái)嗾`差

定義差分符號

1.3 第二種非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式的構(gòu)造

其中,分母函數(shù)D1、D2與式(4)所對應(yīng)的分母函數(shù)相同.對式(7)進(jìn)行整理得

則式(8)即為式(1)第二種非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式.

1.4 第二種非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式的局部截?cái)嗾`差

1.5 標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式

利用標(biāo)準(zhǔn)的有限差分方法構(gòu)造的顯示有限差分格式為

2 數(shù)值算例

考慮如下初邊值問題:

表1 數(shù)值解誤差Table 1 Error of numerical solution

續(xù)表1

(x,t)精確解實(shí)部虛部格式一誤差實(shí)部虛部格式二誤差實(shí)部虛部標(biāo)準(zhǔn)差分格式誤差實(shí)部虛部(0.6,1.0)0.984491.533264.125×10-45.891×10-46.102×10-47.048×10-48.698×10-47.162×10-4(0.7,1.0)1.088041.694513.266×10-54.125×10-53.000×10-54.059×10-58.123×10-38.168×10-4(0.8,1.0)1.202461.872733.200×10-43.128×10-44.159×10-42.618×10-45.136×10-45.126×10-3(0.9,1.0)1.328932.069682.981×10-45.269×10-42.782×10-42.998×10-43.025×10-36.024×10-4

3 結(jié) 論

非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式的構(gòu)造需要考慮偏微分方程解的特征.非標(biāo)準(zhǔn)格式在保持原偏微分方程的性質(zhì)方面比傳統(tǒng)的差分格式更有效[11-13].目前還沒有研究薛定諤方程的精確差分格式的相關(guān)文獻(xiàn).在接下來的工作中,將利用文獻(xiàn)[6-7]的方法討論深水波浪非線性薛定諤方程的精確有限差分格式.