變截面波形鋼腹板箱梁剪應(yīng)力計算理論

劉 超， 黃鈺豪， 高 展

(同濟大學(xué) 土木工程學(xué)院, 上海 200092)

波形鋼腹板橋梁是一種新型的組合結(jié)構(gòu)橋梁，波形鋼質(zhì)量輕、抗剪性能優(yōu)良，利用波形鋼腹板替代混凝土腹板[1]，可以降低工程造價，同時波形鋼腹板的褶皺效應(yīng)也提高了預(yù)應(yīng)力的效率[2].目前中國很多大橋和特大橋都采用波形鋼腹板形式，如南昌朝陽大橋、山西運寶大橋等.然而，由于橋梁結(jié)構(gòu)形式較為復(fù)雜，腹板和頂、底板的受力特性尚未被研究透徹.國內(nèi)外學(xué)者對波形鋼腹板截面抗剪做了許多研究.在剪力分配方面，Abbas等[3]和Cafolla[4]通過試驗發(fā)現(xiàn)，混凝土頂、底板主要承擔(dān)截面彎矩，波形鋼腹板主要承擔(dān)截面剪力.李立峰等[5]認為，波形鋼腹板承擔(dān)剪力在80%以上.侯立超等[6]進行了單箱三室波形鋼腹板預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁靜力試驗研究，得出了單箱三室波形鋼腹板剪力分配特點.周緒紅等[7]和聶建國等[8]通過試驗對比，分別給出了考慮局部屈曲強度的半經(jīng)驗半理論式.Driver等[9]通過波形鋼腹板I形梁的局部屈曲和整體屈曲試驗數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，基于板殼屈曲的理論高估了波形鋼腹板梁橋的抗剪承載力，并提出了一種低邊界的抗剪承載力計算式.在不考慮腹板屈曲的情況下，蘇儉等[10]推導(dǎo)了變截面波形鋼腹板豎向剪應(yīng)力和水平剪力的實用計算方法，并以南京滁河大橋為例，進行了有限元模型計算分析，驗證了計算方法的正確性.現(xiàn)有的計算方法主要有以下三種：① 將截面總剪力除以波形鋼腹板面積得到剪應(yīng)力[11-12]，中國和日本的規(guī)范均采用這種方法進行計算，但該方法忽略了頂、底板的承剪比例，認為剪力僅由波形鋼腹板承擔(dān)，對于鋼腹板來說偏保守，對于混凝土頂、底板來說偏不安全；② 利用傳統(tǒng)的計算截面靜矩的方法來計算剪應(yīng)力[13]，該方法僅僅考慮由剪力產(chǎn)生的剪應(yīng)力，而忽略了彎矩和軸力產(chǎn)生的剪應(yīng)力，對于等截面橋梁來說是合適的，但對于變截面橋梁來說準確性不足；③ 在方法②的基礎(chǔ)上，同時考慮彎矩和軸力產(chǎn)生的剪應(yīng)力[10,14]，該方法計算結(jié)果較為準確，但目前尚未推廣至單箱多室和變寬橋梁的計算.隨著波形鋼腹板橋梁的跨徑越做越大，單箱多室與變寬橋梁越來越常見.因此，針對單箱多室波形鋼腹板變寬變高截面剪應(yīng)力計算理論的空白，以及目前規(guī)范中計算方法的不足，提出了一種變寬變高波形鋼腹板截面剪應(yīng)力計算理論，認為剪力、彎矩和軸力均會產(chǎn)生剪應(yīng)力，并且后兩者僅在變截面時產(chǎn)生剪應(yīng)力.結(jié)合有限元分析，給出了頂、底板和腹板的剪力分配比例，為波形鋼腹板橋梁抗剪設(shè)計提供借鑒.

1 剪應(yīng)力計算方法

1.1 計算基本假定

根據(jù)波形鋼腹板截面的受力特點，給出如下計算基本假定：① 在計算的整個過程中，變形前后截面始終保持平面或近似平面，平截面假定始終成立；② 鋼和混凝土為各向同性材料，均處于線彈性受力階段，在計算過程中結(jié)構(gòu)始終處于彈性階段，尚未進入塑形，所有變形均為小變形；③ 波形鋼腹板不承受軸力，軸力全由混凝土頂、底板承擔(dān)，而且由于波形鋼腹板厚度較小，不考慮彎矩對其造成的軸向應(yīng)力；④ 不考慮波形鋼腹板和頂、底板的軸向滑移； ⑤ 計算時不考慮畸變和扭轉(zhuǎn)影響.

1.2 波形鋼腹板變截面計算理論

圖1a為一般波形鋼腹板箱梁截面圖.箱梁腹板數(shù)為n，上頂板寬度為b1，厚度為t1，下頂板寬度為b2，厚度為t2，箱梁截面高度為h，形心距上頂板距離為yc，任意高度處截面距上頂板距離為y0，坐標軸原點取在上頂板左上角，向右為z軸正方向，向下為y軸正方向.圖1b為距上頂板距離y0處截取的箱梁截面微元圖，沿橋軸向長度為dx，左截面受到的軸向合力為F，右截面受到的軸向合力為F+dF，y0處斷面存在的剪應(yīng)力為τ，由于微元長度很小，因此可以認為在dx長度內(nèi)，剪應(yīng)力大小不變，均為τ.化簡軸向平衡方程后有

(1)

式中:b(y)為y高度處截面總寬度.

根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，式(1)所求剪應(yīng)力τ與截面剪應(yīng)力相等，所以由式(1)所求得的τ即可代表截面剪應(yīng)力.在圖1b中，軸向合力F可以看成是軸向力FN和由彎矩產(chǎn)生的彎曲軸向力FM的線性疊加，即：

F=FN+FM

(2)

(3)

(4)

式中：N為截面上軸力；M為截面上彎矩；σyN為軸力在截面上產(chǎn)生的正應(yīng)力；σyM為彎矩在截面上產(chǎn)生的正應(yīng)力；Ay0為坐標0～y0截面總面積；A為截面總面積；I為截面慣性矩.

a 波形鋼腹板箱梁截面

b 截面微元區(qū)段

對于式(4)，可作如下變化：

(5)

式中：y*為坐標0～y0截面形心坐標；Sy0為坐標0～y0截面的靜矩.

將式(3)～(5)代入式(2)，可得

(6)

截取全截面軸向的一段小微元，如圖2所示.圖2中，q為外荷載，α為軸線與水平線的夾角，Q為剪力.對右截面軸線處取距，由力矩平衡可知

(7)

(8)

將式(6)代入式(1)，結(jié)合式(8)，有

圖2 軸向微元區(qū)段

(9)

(10)

(11)

式(11)即為材料力學(xué)中截面剪應(yīng)力的傳統(tǒng)計算式.在變截面波形鋼腹板箱梁截面中，剪應(yīng)力由三個部分組成，分別是由彎矩造成的剪應(yīng)力τM、由軸力造成的剪應(yīng)力τN和由剪力造成的剪應(yīng)力τQ，前兩者僅存在于變截面剪應(yīng)力計算中.τ可表示為

τ=τM+τQ+τN

(12)

A=b1t1+b2t2

(13)

(14)

(15)

將式(13)對x求偏導(dǎo)，可得

(16)

將式(14)對x求偏導(dǎo)，可得

(17)

(18)

(1)y0處于上翼緣板內(nèi)(0

(19)

(2)y0處于腹板內(nèi)(t1≤y0≤h-t2)

(20)

(3)y0處于下翼緣板內(nèi)(h-t2

Ay0=b1t1+b2(y0+t2-h)，

(21)

將式(13)～(21)代入式(10)即可求得截面上任意位置的剪應(yīng)力大小.

2 有限元模型

為了驗證上述計算模型的正確性，本文利用Abaqus軟件建立了懸臂梁模型并進行有限元仿真.梁長20 m，截面為變寬變高波形鋼腹板截面，有限元模型如圖3所示.自由端截面上頂板長6.00 m，寬0.25 m，下頂板長4.00 m，寬0.25 m，為了與工程相仿，腹板厚度取0.02 m，截面總高度取2.75 m；固定端截面上頂板長8.0 m，寬0.4 m，下頂板長6.0 m，寬0.5 m，腹板厚度0.02 m，截面總高度4.0 m，中間截面各參數(shù)由自由端向固定端線性變化.截面示意圖如圖4a所示，波形鋼腹板示意圖如圖4b所示.在懸臂梁自由端施加豎向集中力1 000 kN，同時在自由端截面頂、底板施加軸向均布荷載，合力為1 000 kN.在懸臂梁取自由端靠里1 m位置為截面A(為排除集中力附近應(yīng)力集中干擾)，中跨為截面B，固定端為截面C，作為計算截面.

圖3 有限元模型

a 箱梁截面

b 波形鋼腹板

模型中采用的材料為鋼和混凝土，使用線性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系.由前述假定認為波形鋼腹板與混凝土頂、底板間不存在相對滑移，故在有限元模型里，將接觸面間所有自由度耦合，并遵從共同變形原則.同時，定義混凝土和鋼為各向同性材料.模型網(wǎng)格劃分采用掃略劃分，為了保證精度，波形鋼腹板和混凝土頂、底板均采用空間六面體C3D8網(wǎng)格，共計345 523個節(jié)點和210 279個單元.各參數(shù)設(shè)置如表1所示.

表1 懸臂梁參數(shù)設(shè)置

3 結(jié)果分析

3.1 有限元正確性驗證

提取有限元模型(FEM)中梁的內(nèi)力和撓度，與解析解進行對比.通過解析的方法進行模型撓度的計算.根據(jù)歐拉梁理論，彎矩產(chǎn)生的撓度計算式為

(22)

考慮變截面情況，分母中慣性矩為x的函數(shù)，沿梁軸向進行積分，分別計算出距固定端1 m，2 m，3 m，…，20 m間距處梁撓度.

當(dāng)桿件在兩相鄰的橫截面處有一對垂直于桿軸，但方向相反的橫向力作用時，桿件發(fā)生的變形為該兩截面沿橫向力方向發(fā)生的相對錯動，此變形稱為剪切變形.波形鋼腹板在受力過程中發(fā)生明顯的剪切變形，從而引起波形鋼腹板梁變形明顯增大.進一步增加剪切變形產(chǎn)生的撓度計算，根據(jù)鐵木辛柯梁理論，剪切應(yīng)變能

(23)

式中：G為剪切模量.

由于目前尚未有完善的變截面變寬波形鋼腹板剪應(yīng)力計算理論，τ按照本文所提出理論計算，對剪切應(yīng)變能求偏微分可得剪力產(chǎn)生撓度，如下所示：

(24)

將有限元撓度計算結(jié)果和解析解計算結(jié)果列于圖5中.懸臂端有限元撓度計算結(jié)果為6.60 mm，解析解撓度計算結(jié)果為6.27 mm，解析解與有限元解誤差為5%，證明了有限元模型的正確性.

圖5 各種撓度計算方法對比

3.2 整體應(yīng)力分析

懸臂梁剪應(yīng)力云圖如圖6所示.從圖6可以看出：① 懸臂梁在自由端豎向集中力和軸向均布力作用下，剪應(yīng)力從自由端向固定端遞減，一個原因是截面由自由端向固定端逐漸變高、變寬，從而使截面的慣性矩I增大，導(dǎo)致剪應(yīng)力減小，另一個原因是彎矩和軸力產(chǎn)生的剪應(yīng)力對總剪應(yīng)力有影響；② 波形鋼腹板褶皺處剪應(yīng)力較小，平直處剪應(yīng)力較大，軸向應(yīng)力分布不僅呈現(xiàn)出從自由端向固定端逐漸減小的趨勢，在局部還呈現(xiàn)出大—小—大的分布；③ 頂、底板的剪應(yīng)力遠遠小于腹板的剪應(yīng)力，主要原因是頂、底板的b過大，是腹板的上百倍，從而導(dǎo)致很小的剪應(yīng)力；④ 波形鋼腹板剪力分配不均勻，中腹板的剪應(yīng)力小于邊腹板,不考慮連接處局部效應(yīng)，中腹板最大剪應(yīng)力為6.14 MPa，邊腹板最大剪應(yīng)力為7.70 MPa，相差約20%.

圖6 懸臂梁剪應(yīng)力云圖

3.3 截面剪應(yīng)力分析

對于該懸臂梁，給出本文提出的變截面計算理論(VCM)(見式(9))、傳統(tǒng)計算理論(TCM)(見式(11))和有限元(FEM)方法的計算結(jié)果用以精度對比.三個截面的計算結(jié)果如圖7所示，其中腹板截面應(yīng)力取邊腹板的應(yīng)力.

a 截面A

b 截面B

c 截面C

圖7 截面剪應(yīng)力分布

Fig.7 Sectional shear stress distribution

從圖7可以看出：① 從截面A到截面B再到截面C，腹板和頂、底板的剪應(yīng)力逐漸衰減；② 頂、底板剪應(yīng)力相比腹板來說很??；③ 本文提出的變截面計算理論和有限元模型計算結(jié)果誤差很小，最大誤差不足5%,而傳統(tǒng)計算理論由于忽略彎矩和軸力產(chǎn)生的剪應(yīng)力，誤差較大，誤差從自由端到固定端遞增，最大可達200%.由于波形鋼腹板的特殊性，從數(shù)值模擬結(jié)果來看，傳統(tǒng)計算理論由于誤差較大，已不再適用于計算，本文提出的變截面計算理論誤差很小，對變寬變高波形鋼腹板截面適用性很強.

3.4 頂、底板剪力分配

目前，大部分設(shè)計均不考慮頂、底板的抗剪能力，認為所有剪力由波形鋼腹板承受，但實際上由于混凝土頂、底板具有部分承剪能力，這樣的設(shè)計對波形鋼腹板來說過于保守，對于混凝土頂、底板來說偏不安全.對懸臂梁截面A、B和C的腹板應(yīng)力進行積分，可得腹板承受的剪力大小，再除以總剪力Q即可得腹板承剪比例，如下所示：

(20)

式中：ρw為腹板承剪比例；τw為腹板剪應(yīng)力.頂、底板承剪比例為(1-ρw).截面A、B和C各部分承剪比例如圖8所示.

離自由端越遠，懸臂梁受到的彎矩越大，彎矩對頂、底板和腹板剪應(yīng)力產(chǎn)生的影響越大.對于有限元計算結(jié)果，波形鋼腹板承剪比例在自由端達到了近87.1%，后逐漸減小，在固定端達到谷值42.3%，而頂、底板在自由端承剪比例為12.9%，后逐漸增大，在固定端達到峰值57.7%.這說明傳統(tǒng)假定僅僅在無彎矩或彎矩很小區(qū)域適用，在彎矩較大區(qū)域，由于頂、底板承剪比例很大，因此忽視頂、底板承剪是不合理的.有限元模型計算結(jié)果和本文提出的變截面計算理論的計算結(jié)果很相近，說明了本文計算理論的有效性.

圖8 剪力分配比例

3.5 剪力、軸力、彎矩剪應(yīng)力分布

根據(jù)前述計算式，變截面波形鋼腹板梁某一截面上鋼腹板的剪應(yīng)力可以看成由以下三個部分組成：彎矩剪應(yīng)力τM，軸力剪應(yīng)力τN，剪力剪應(yīng)力τQ.利用式(20)，計算出懸臂梁截面A、B和C的鋼腹板剪應(yīng)力分配比例，如圖9所示.

圖9 剪應(yīng)力分配比例

從圖9可以看出：① 由彎矩和軸力產(chǎn)生的剪應(yīng)力方向和剪力產(chǎn)生的剪應(yīng)力方向相反，而截面總剪應(yīng)力為三部分的疊加，所以總剪應(yīng)力數(shù)值小于剪力產(chǎn)生的剪應(yīng)力；② 從自由端到固定端，剪力剪應(yīng)力逐漸減小，彎矩剪應(yīng)力逐漸增大；③ 從自由端到固定端，彎矩和軸力產(chǎn)生的剪應(yīng)力與剪力剪應(yīng)力的比值從0.096 0增大到0.615 6，說明傳統(tǒng)計算方法只計算剪力剪應(yīng)力是不正確的.

4 結(jié)論

(1)提出了一種針對變寬變高波形鋼腹板橋梁的剪應(yīng)力計算方法，認為剪力、彎矩和軸力均會產(chǎn)生剪應(yīng)力，并且后兩者僅僅在變截面時產(chǎn)生剪應(yīng)力.本文方法計算結(jié)果與有限元模型計算結(jié)果吻合程度高，可為波形鋼腹板橋梁的抗剪設(shè)計提供依據(jù).

(2)針對變截面波形鋼腹板橋梁，傳統(tǒng)剪應(yīng)力計算理論適用性較差.在腹板斷面上，彎矩和軸力產(chǎn)生的剪應(yīng)力方向與剪力剪應(yīng)力方向相反，并且在彎矩較大時，彎矩和軸力產(chǎn)生的剪應(yīng)力與剪力剪應(yīng)力的比值可達0.6以上，從而導(dǎo)致實際剪應(yīng)力數(shù)值小于剪力剪應(yīng)力，這也是傳統(tǒng)剪應(yīng)力計算理論誤差較大的原因.

(3)波形鋼腹板截面頂板剪應(yīng)力很小，底板剪應(yīng)力相對頂板而言較大，主要來源于底板受到的壓應(yīng)力的豎向分力.在無彎矩或彎矩很小區(qū)域認為僅由腹板承剪是可以接受的，但當(dāng)彎矩較大時，頂、底板承剪比例能達到50%以上，因此應(yīng)考慮頂、底板的承剪能力.傳統(tǒng)計算理論、計算模型和規(guī)范認為剪力全部由鋼腹板承擔(dān)而不考慮混凝土頂、底板作用，容易造成波形鋼腹板浪費，頂、底混凝土板不足的情況.

(4)對單箱雙室波形鋼腹板橋梁進行有限元分析，發(fā)現(xiàn)腹板間存在剪應(yīng)力分配，中腹板剪應(yīng)力較小，邊腹板剪應(yīng)力較大.本文提出的計算理論對邊腹板吻合程度高，在一定程度上提高了結(jié)構(gòu)安全性.