檢測(cè)器誤差對(duì)路網(wǎng)流量推算影響的靈敏度分析

邵敏華， 周晨陽(yáng)

(同濟(jì)大學(xué) 道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201804)

路網(wǎng)的交通流量分布是交通規(guī)劃、交通設(shè)計(jì)、交通管理工作中的重要基礎(chǔ)信息.對(duì)于龐大的城市路網(wǎng)而言，在每個(gè)路段都布設(shè)檢測(cè)器來(lái)獲取所有路段流量的方法耗資巨大，不具有可行性.因此，在實(shí)際應(yīng)用中，如何通過(guò)布設(shè)少量的檢測(cè)器來(lái)獲取全路網(wǎng)所有路段的流量成為研究熱點(diǎn)，這就是網(wǎng)絡(luò)檢測(cè)器布設(shè)問(wèn)題.檢測(cè)器布設(shè)問(wèn)題可分為可測(cè)流問(wèn)題和估計(jì)流問(wèn)題[1].前者旨在以最少的檢測(cè)器數(shù)量和最優(yōu)的檢測(cè)器位置來(lái)唯一推算路網(wǎng)內(nèi)所有路段的流量[2]，后者則在檢測(cè)器數(shù)量不足以唯一推算所有路段流量的前提下，研究可獲取最優(yōu)流量估計(jì)值的檢測(cè)器布設(shè)方法[3-5].

本文關(guān)注的是檢測(cè)器布設(shè)可測(cè)流問(wèn)題中的誤差分析.自Bianco等[2]于2001年首次提出這一問(wèn)題以來(lái)，伍建國(guó)等[6]、邵敏華等[7-9]、Castillo等[10-15]、Rinaldi等[16-18]先后圍繞這一問(wèn)題，選擇轉(zhuǎn)彎比、分流比、路段或路徑系數(shù)等不同的先驗(yàn)信息以及計(jì)數(shù)檢測(cè)器、車牌檢測(cè)器等不同的檢測(cè)器類型，構(gòu)建了多個(gè)模型，并給出了求解算法.其中，多數(shù)模型建立在檢測(cè)器誤差為零的前提下.現(xiàn)有研究對(duì)檢測(cè)器誤差的考慮較少，多為檢測(cè)器布設(shè)估計(jì)流問(wèn)題中的誤差分析.Castillo等[12]在定位車牌識(shí)別檢測(cè)器時(shí)考慮了路徑匹配誤差來(lái)測(cè)量和估計(jì)路徑流量.Yang等[19]在2015年通過(guò)選擇一組可以保證可測(cè)和估計(jì)精度的關(guān)鍵OD(origin-destination)先驗(yàn)信息,建立了OD可測(cè)分析與估計(jì)問(wèn)題之間的聯(lián)系.

在檢測(cè)器布設(shè)與可測(cè)流問(wèn)題研究中，僅Xu等[20]進(jìn)行了討論，提出在零先驗(yàn)信息條件下，可以用連接每個(gè)節(jié)點(diǎn)未檢測(cè)路段的最大數(shù)量最小或累積數(shù)量最小替代優(yōu)化目標(biāo)，建立了考慮檢測(cè)器誤差的魯棒檢測(cè)器布設(shè)完全可測(cè)模型.

本文聚焦于檢測(cè)器布設(shè)與流量推算問(wèn)題中的檢測(cè)器誤差分析，在文獻(xiàn)[7-9]研究的基礎(chǔ)上，以交叉口轉(zhuǎn)彎比為先驗(yàn)信息，以路段流量檢測(cè)器為檢測(cè)手段，采用靈敏度分析的方法研究檢測(cè)器誤差對(duì)全路網(wǎng)流量推算結(jié)果的影響，并進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證.

1 問(wèn)題提出

文獻(xiàn)[7-9]中，以唯一推算得到網(wǎng)絡(luò)內(nèi)所有路段的流量為目標(biāo)，以交叉口轉(zhuǎn)彎比為先驗(yàn)信息，以路段流量檢測(cè)器為檢測(cè)手段，建立了網(wǎng)絡(luò)檢測(cè)器布設(shè)可測(cè)流模型，確定了最小檢測(cè)器數(shù)量，并給出了檢測(cè)器布設(shè)位置優(yōu)化算法.

首先對(duì)路段分類，按路段與交叉口的關(guān)系可將路段分為以下三類[7-8]：①只出路段，在研究路網(wǎng)范圍內(nèi)僅為某交叉口的出口路段而不是任何交叉口的進(jìn)口路段；②進(jìn)出路段，在研究路網(wǎng)范圍內(nèi)同時(shí)為交叉口的進(jìn)口路段和出口路段；③只進(jìn)路段，在研究路網(wǎng)范圍內(nèi)僅為某交叉口的進(jìn)口路段而不是任何交叉口的出口路段.只出路段和進(jìn)出路段統(tǒng)稱為出口路段.

本文中檢測(cè)器布設(shè)以路段為單位，設(shè)路網(wǎng)由k條路段組成，其中有m條出口路段，有(k-m)條只進(jìn)路段，g條交通生成量非零路段.全網(wǎng)流量可測(cè)的加權(quán)網(wǎng)絡(luò)檢測(cè)器布設(shè)問(wèn)題(NSLP)模型如下所示：

maxWY

式中:W是所有路段的權(quán)重向量，W=(w1,w2,…,wj,…,wk+g)，wj用于綜合表征路段j的重要性和檢測(cè)成本，路段重要性越高，檢測(cè)成本越低，wj越大；Y是決策向量，Y=(y1,y2,…,yj,…,yk+g)T，yj為決策變量，yj=1代表路段j被檢測(cè)，yj=0代表路段j不被檢測(cè)；C是系數(shù)矩陣.C源于流量守恒方程，如下所示：

CX=B

其中，

aij=

A1表示只出路段和只進(jìn)路段組成的集合.

系數(shù)矩陣C可分為子陣A和Y′.子陣A由基于轉(zhuǎn)彎比的流量守恒方程得到，子陣Y′記錄檢測(cè)路段及其位置信息.C可表示為

其中，

X為推算路段的流量向量，X=(x1,x2,…,xk+g)T.B為常數(shù)項(xiàng)列向量，B=(b1,b2,…,bm,bm+1,bm+2,…,bm+k+g)T，向量B也可分成B0和BY兩部分，B=(B0，BY)T，其中B0=(b1,b2,…,bm)T，BY=(bm+1,bm+2,…,bm+k+g)T.B0是流量守恒方程組的常數(shù)項(xiàng)系數(shù)，由m個(gè)零元素組成，即b1=b2=…=bm=0；BY由(k+g)個(gè)檢測(cè)路段的檢測(cè)流量組成.

可以看出，這一模型是基于零檢測(cè)器誤差建立的，但在實(shí)際應(yīng)用中，檢測(cè)器誤差難以避免.檢測(cè)器誤差的存在必然會(huì)對(duì)路網(wǎng)流量推算結(jié)果造成影響.以文獻(xiàn)[8]中的實(shí)例路網(wǎng)為例，說(shuō)明檢測(cè)器誤差對(duì)流量推算的影響.

以圖1所示的簡(jiǎn)單路網(wǎng)為例，共14個(gè)路段，假設(shè)路網(wǎng)所有路段均無(wú)交通生成量.確定檢測(cè)路段集{9,10,11,12,13,14}，假設(shè)所有路段轉(zhuǎn)彎比均為(0.1,0.6,0.3)，此時(shí)矩陣C的秩等于路段數(shù)14，基于式(1)，根據(jù)流量守恒方程組唯一確定各個(gè)路段上的流量.

圖1 簡(jiǎn)單路網(wǎng)示例

在零誤差條件下，假設(shè)所有檢測(cè)路段的流量均為1 000，可唯一推算路網(wǎng)中所有路段的流量，如表1所示.現(xiàn)假設(shè)路段9的檢測(cè)器出現(xiàn)20%的誤差，使得檢測(cè)流量變?yōu)?00，采用存在誤差的檢測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行流量推算，結(jié)果也列于表1中.

由表1可知，路段9出現(xiàn)檢測(cè)器誤差后，{2,3,4,5,6,7}路段的推算流量都出現(xiàn)不同程度的變化.剖析檢測(cè)器誤差對(duì)流量推算結(jié)果的影響機(jī)理對(duì)于完善既有模型、提高流量推算精度具有十分重要的意義.

2 檢測(cè)器誤差對(duì)路網(wǎng)推算流量的靈敏度分析方法

本文中采用靈敏度分析方法研究檢測(cè)器誤差對(duì)路網(wǎng)流量推算的影響.路網(wǎng)中的路段可以分成以下三類：①檢測(cè)路段,通過(guò)檢測(cè)器可以直接測(cè)量流量的路段；②誤差源路段，檢測(cè)路段中存在檢測(cè)器誤差的路段；③推算路段，路段流量需通過(guò)檢測(cè)路段流量來(lái)推算的路段.

以誤差源路段檢測(cè)器誤差為零時(shí)的路網(wǎng)流量推算結(jié)果為真值，在非飽和路網(wǎng)中，研究誤差源路段存在不同程度的檢測(cè)器誤差時(shí)，路網(wǎng)流量推算結(jié)果與真值之間差異程度的變化.

2.1 給定檢測(cè)器布設(shè)方案下的流量守恒方程組構(gòu)建

由于原流量守恒方程組是對(duì)一般情況的表示，而本文研究是基于某種給定檢測(cè)器布設(shè)的方案，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，有必要簡(jiǎn)化原流量守恒方程組，構(gòu)建出給定檢測(cè)器布設(shè)方案下的流量守恒方程組.

原系數(shù)矩陣C包含(k+g)條路段，令n=k+g，即C中包含n條路段.另外，C的子陣Y′含有實(shí)際信息的只有布設(shè)檢測(cè)器的(n-m)行，其余部分全為零.為簡(jiǎn)化模型，刪去Y′中全是零的行，并對(duì)路段進(jìn)行重新編號(hào).對(duì)于檢測(cè)路段在最后的(n-m)行，即檢測(cè)路段集對(duì)應(yīng)行號(hào)為{m+1,m+2,…,n}的行，將這(n-m)個(gè)檢測(cè)器記為{ym+1,ym+2,…，yn}.將原系數(shù)矩陣C中(n-m)個(gè)檢測(cè)器對(duì)應(yīng)列調(diào)到最右，使得新矩陣右下角(n-m)(n-m)子陣為對(duì)角矩陣，這樣生成新的系數(shù)矩陣，記為C1.C1中系數(shù)aij因?yàn)榱姓{(diào)換而變化，使常數(shù)項(xiàng)列向量B變?yōu)锽1，同時(shí)解集X中每個(gè)元素對(duì)應(yīng)的路段也發(fā)生變化.生成的新流量守恒方程為

C1X=B1

其中，

X=(x1,x2,…,xn)T

B1=(b1,b2,…,bm,bm+1,…,bj,…,bn)′

將B1中前m個(gè)元素組成的向量記為B0，則B0=(b1,b2,…,bm)T=(0,0,…,0)T.B1的后(n-m)個(gè)元素表示檢測(cè)路段的流量，記為BY，BY=(bm+1,…,bj,…,bn)T.

2.2 流量推算誤差項(xiàng)推導(dǎo)

表1 有無(wú)檢測(cè)器誤差的流量推算結(jié)果比較

對(duì)推算流量有

因此，可得

2.3 單個(gè)路段檢測(cè)器誤差的影響——影響系數(shù)

(1)

式中：ΔB(j)表示向量ΔB的第j個(gè)元素.

ΔX=ΔbUj=ΔbCe=

為反映單個(gè)誤差源路段檢測(cè)器誤差對(duì)推算路段流量推算結(jié)果的影響，定義影響系數(shù)為：將cie定義為誤差源路段ys檢測(cè)器誤差對(duì)路段i的流量推算結(jié)果的影響系數(shù)，i∈{1,2,…,n}，路網(wǎng)所有路段影響系數(shù)的集合稱為影響向量，即c1e,c2e,…,cie,…,cne分別是誤差源路段ys對(duì)路段1,2,…,n的影響系數(shù)，Ce為誤差源路段ys的影響向量.

2.4 多個(gè)路段檢測(cè)器誤差的影響——關(guān)鍵系數(shù)

(2)

因此，可以算出流量變化量ΔX.ΔX計(jì)算式如下所示：

為了反映多個(gè)誤差源路段檢測(cè)器誤差對(duì)推算路段流量推算結(jié)果的影響，定義關(guān)鍵系數(shù)為：將多個(gè)誤差源路段檢測(cè)器誤差對(duì)某一推算路段流量推算結(jié)果的影響程度定義為關(guān)鍵系數(shù)，路網(wǎng)所有路段關(guān)鍵系數(shù)的集合稱為關(guān)鍵向量.

2.5 關(guān)鍵系數(shù)和影響系數(shù)的關(guān)系

根據(jù)影響系數(shù)和關(guān)鍵系數(shù)的定義，對(duì)應(yīng)單個(gè)誤差源路段時(shí)，Ce是影響向量也同為關(guān)鍵向量，因此關(guān)鍵向量就是影響向量，關(guān)鍵系數(shù)就是影響系數(shù).對(duì)應(yīng)多個(gè)誤差源路段時(shí)(假設(shè)有r個(gè)誤差源路段)，Ce1,Ce2,…,Cer分別為誤差源路段ys1,ys2,…,ysr的影響向量，而ΔX為關(guān)鍵向量.

從式(2)可看出，關(guān)鍵向量是對(duì)影響向量的線性疊加，對(duì)于路網(wǎng)中每個(gè)路段來(lái)說(shuō)，關(guān)鍵系數(shù)是對(duì)影響系數(shù)的線性疊加.因此，多個(gè)誤差源路段流量檢測(cè)器誤差對(duì)路網(wǎng)流量推算結(jié)果的影響是單個(gè)誤差源路段影響系數(shù)的線性疊加，同時(shí)也是單個(gè)誤差源路段流量檢測(cè)器誤差影響的線性疊加.

3 基于靈敏度理論的檢測(cè)器誤差分析示例

基于第2節(jié)的檢測(cè)器誤差靈敏度分析方法，本節(jié)以方格式路網(wǎng)為實(shí)例分析檢測(cè)器誤差對(duì)推算流量的影響.

3.1 示例路網(wǎng)

首先建立一個(gè)簡(jiǎn)化的3×3方格式路網(wǎng)，每個(gè)路口均采取典型十字交叉口，具體布局如圖2所示.

從圖2可以看到，實(shí)例路網(wǎng)共有48條路段，36條出口路段，12條只進(jìn)路段，12條只出路段.用Oin表示只進(jìn)路段集，Oout表示只出路段集，則

Oin={1,3,5,10,11,24,25,38,39,44,46,48}

Oout={2,4,6,7,14,21,28,35,42,43,45,47}

3.2 檢測(cè)器布設(shè)方案選擇和交叉口轉(zhuǎn)彎比

根據(jù)加權(quán)NSLP模型[8]，對(duì)于實(shí)例路網(wǎng)，要保證全網(wǎng)推算流量的唯一性，只要滿足

圖2 3×3方格式路網(wǎng)

本文中選取了只進(jìn)方案和只出方案進(jìn)行實(shí)例分析：①只進(jìn)方案，在Oin布設(shè)檢測(cè)器的檢測(cè)器布設(shè)方案；②只出方案，在Oout布設(shè)檢測(cè)器的檢測(cè)器布設(shè)方案.

經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)只進(jìn)方案和只出方案下的系數(shù)矩陣C1的秩均為48，即兩種方案均可唯一推算路網(wǎng)所有路段流量.

為簡(jiǎn)化計(jì)算，假定所有交叉口進(jìn)口道的轉(zhuǎn)彎比都相同，并將轉(zhuǎn)彎比定為左轉(zhuǎn)0.1、直行0.6、右轉(zhuǎn)0.3.

3.3 檢測(cè)器誤差的設(shè)定

基于第2節(jié)的檢測(cè)器誤差靈敏度分析方法，為簡(jiǎn)化分析，假設(shè)誤差源路段的流量誤差為單位1(當(dāng)誤差是單位1的倍數(shù)時(shí)關(guān)鍵系數(shù)也呈倍數(shù)增長(zhǎng)).對(duì)單個(gè)誤差源路段，令Δb=1，影響向量和關(guān)鍵向量均為Ce；對(duì)多個(gè)誤差源路段(假設(shè)有r個(gè)誤差源路段)，令Δbs1=Δbs2=…=Δbsr=1，此時(shí)誤差源路段ys1,ys2,…,ysr的影響向量分別為Ce1,Ce2,…,Cer，關(guān)鍵向量ΔX的表達(dá)式為

3.4 只進(jìn)方案檢測(cè)器誤差的靈敏度分析實(shí)例

3.4.1單個(gè)誤差源路段

表2 只進(jìn)方案誤差源路段1關(guān)鍵系數(shù)

根據(jù)表2和實(shí)例路網(wǎng)的底圖，畫(huà)出誤差源路段1對(duì)各推算路段關(guān)鍵系數(shù)的三維柱狀圖，如圖3所示.

圖3 只進(jìn)方案誤差源路段1的關(guān)鍵系數(shù)三維柱狀圖

同理可以畫(huà)出誤差源路段3的關(guān)鍵系數(shù)柱狀圖，如圖4所示.

由圖3和圖4可知，對(duì)于只進(jìn)方案單個(gè)誤差源路段時(shí)，所有路段誤差都小于誤差源路段的檢測(cè)器誤差，并且在整體上路段的流量推算誤差隨著與誤差源路段距離的增加而減少.

3.4.2多個(gè)誤差源路段

兩列影響系數(shù)分別對(duì)應(yīng)誤差源路段1、3檢測(cè)器誤差對(duì)推算路段流量推算結(jié)果的影響，兩列影響系數(shù)之和就是關(guān)鍵系數(shù).關(guān)鍵系數(shù)柱狀圖如圖5所示.

圖4 只進(jìn)方案誤差源路段3的關(guān)鍵系數(shù)三維柱狀圖

由圖5可知，對(duì)于只進(jìn)方案，關(guān)鍵系數(shù)均非負(fù)并不超過(guò)單位1，說(shuō)明所有推算路段與誤差源路段的流量變化方向一致，所有路段誤差都小于誤差源路段的檢測(cè)器誤差，并且多個(gè)檢測(cè)器誤差的整體影響效果是單個(gè)檢測(cè)器誤差影響效果的線性疊加.

3.5 只出方案檢測(cè)器誤差的靈敏度分析實(shí)例

只出方案的實(shí)例分析與只進(jìn)方案類似，對(duì)單個(gè)誤差源路段選擇2和4，對(duì)多個(gè)誤差源路段選擇相鄰路段{2,4}，分別畫(huà)出關(guān)鍵系數(shù)柱狀圖，如圖6～8所示.

由圖6～8可知，對(duì)于只出方案，多個(gè)檢測(cè)器誤差的整體影響仍是單個(gè)檢測(cè)器誤差影響效果的線性疊加，但部分推算路段關(guān)鍵系數(shù)出現(xiàn)負(fù)值，也有關(guān)鍵系數(shù)絕對(duì)值超過(guò)單位1的，說(shuō)明部分推算路段與誤差源路段的流量變化方向相反，部分路段誤差會(huì)大于誤差源路段的檢測(cè)器誤差.在整體上，路段的流量推算誤差隨與誤差源路段距離的增加而增加.

表3 只進(jìn)方案誤差源路段1、3的影響系數(shù)和關(guān)鍵系數(shù)

圖5 只進(jìn)方案誤差源路段1、3的關(guān)鍵系數(shù)三維柱狀圖

圖6 只出方案誤差源路段2的關(guān)鍵系數(shù)三維柱狀圖

圖7 只出方案誤差源路段4的關(guān)鍵系數(shù)三維柱狀圖

圖8 只出方案誤差源路段2、4的關(guān)鍵系數(shù)三維柱狀圖

3.6 交叉口轉(zhuǎn)彎比不同情況下的分析

以上是在所有交叉口進(jìn)口道轉(zhuǎn)彎比相同假設(shè)下的示例分析.在實(shí)際路網(wǎng)中，不同交叉口的轉(zhuǎn)彎比往往不同，這里對(duì)這一情況給出簡(jiǎn)單示例.

隨機(jī)生成3×3方格式路網(wǎng)的路段轉(zhuǎn)彎比，任意轉(zhuǎn)彎比范圍都是[0,1]，同時(shí)滿足左轉(zhuǎn)、直行、右轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)彎比之和為1，如表4所示.

在其他條件與前文相同的前提下，采用如表4所示的隨機(jī)轉(zhuǎn)彎比數(shù)據(jù)，分別計(jì)算只進(jìn)方案下誤差源路段1、誤差源路段3和誤差源路段1、3的關(guān)鍵系數(shù)，如圖9～11所示.

由圖9～11可得，對(duì)于只進(jìn)方案，隨機(jī)轉(zhuǎn)彎比下誤差源路段1、3的關(guān)鍵系數(shù)是誤差源路段1和3影響系數(shù)的疊加.對(duì)于只出方案，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證也得到了同樣的結(jié)論，這里不再贅述.可見(jiàn)，在各交叉口轉(zhuǎn)彎比不同的情況下，多個(gè)檢測(cè)器誤差的整體影響仍是單個(gè)檢測(cè)器誤差影響效果的線性疊加.

表4 3×3方格式路網(wǎng)路段隨機(jī)轉(zhuǎn)彎比

圖9 隨機(jī)轉(zhuǎn)彎比下誤差源路段1的關(guān)鍵系數(shù)三維柱狀圖

3.7 檢測(cè)器誤差分析實(shí)例小結(jié)

對(duì)比兩個(gè)方案的分析結(jié)果可以看出：只進(jìn)方案和只出方案下，多個(gè)檢測(cè)器誤差的整體影響都是單個(gè)檢測(cè)器誤差影響效果的線性疊加.對(duì)于只進(jìn)方案，關(guān)鍵系數(shù)均非負(fù)，所有路段誤差均小于誤差源路段的檢測(cè)器誤差，而對(duì)于只出方案，部分路段關(guān)鍵系數(shù)超過(guò)單位1，推算誤差大于誤差源路段的檢測(cè)器誤差.

圖10 隨機(jī)轉(zhuǎn)彎比下誤差源路段3的關(guān)鍵系數(shù)三維柱狀圖

圖11 隨機(jī)轉(zhuǎn)彎比下誤差源路段1、3的關(guān)鍵系數(shù)三維柱狀圖

4 結(jié)語(yǔ)

本文采用靈敏度分析方法研究檢測(cè)器誤差對(duì)路網(wǎng)流量推算的影響.將靈敏度分析方法作為檢測(cè)器誤差分析的通用方法，定義影響系數(shù)和關(guān)鍵系數(shù)來(lái)反映誤差源路段檢測(cè)器誤差對(duì)推算路段流量推算結(jié)果的影響.影響系數(shù)反映了單個(gè)誤差源路段檢測(cè)器誤差對(duì)推算路段流量推算結(jié)果的影響，關(guān)鍵系數(shù)是影響系數(shù)線性之和，反映了所有誤差源路段檢測(cè)器誤差對(duì)推算路段流量推算結(jié)果的影響.推導(dǎo)結(jié)果表明，多個(gè)檢測(cè)器誤差的整體影響是單個(gè)檢測(cè)器誤差的線性疊加.

以方格式路網(wǎng)為示例，分只進(jìn)方案和只出方案，計(jì)算推算路段受檢測(cè)器誤差影響的關(guān)鍵系數(shù).結(jié)果表明，兩種方案下檢測(cè)器誤差的傳遞規(guī)律有所不同.對(duì)于只進(jìn)方案，所有路段誤差均小于誤差源路段的檢測(cè)器誤差，并且變化方向與誤差源路段一致；對(duì)于只出方案，推算路段隨誤差源路段的流量變化方向不定，并且部分推算路段誤差大于誤差源路段的檢測(cè)器誤差.