關(guān)于煙花碎片運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的討論與分析

彭梓芮

摘 要：本文探討了煙花爆炸后碎片運(yùn)動(dòng)背后的物理學(xué)原理及現(xiàn)象解釋。得出一般情況下煙花的形狀是圓形。在無(wú)空氣阻力時(shí)，該圓的圓心作拋物運(yùn)動(dòng)，該圓的半徑隨著時(shí)間勻速增加，在有空氣阻力時(shí)，該圓的圓心作受空氣阻力的拋物運(yùn)動(dòng)。這給許多其他如原子彈爆炸形成的蘑菇云等相似現(xiàn)象也做了解釋。

關(guān)鍵詞：空氣阻力;拋物運(yùn)動(dòng);質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律;非慣性系

中圖分類號(hào)：O4-0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-2064（2019）06-0220-02

0 引言

夜晚，宏闊的天幕下，色彩繽紛、無(wú)比璀璨的煙花令人陶醉，其綻放后形成的美麗圖案令人流連忘返。在互聯(lián)網(wǎng)上查找煙花的圖片，可以發(fā)現(xiàn)那些煙花爆炸后形成的碎片群在空中所圍成的平面圖案多以圓的形象存在。這些紛繁的煙花是怎么形成的？煙花背后有什么物理學(xué)規(guī)律？本文使用牛頓運(yùn)動(dòng)定律，通過(guò)建模、理論分析的方法討論了這些問(wèn)題。

1 物理模型建立

煙花在空中炸開后的碎片與空氣有相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度，因此有空氣阻力的干擾。為了便于分析，先不考慮空氣阻力，看看理想狀態(tài)下的分析結(jié)果;接下來(lái)再考慮空氣阻力，將簡(jiǎn)單情況下的研究方法遷移到較為復(fù)雜的情況下再次利用，即采用“由特殊到一般”研究思路。

這個(gè)現(xiàn)象抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題如下：一枚煙花在天空中運(yùn)動(dòng)，它在迸裂之前的瞬間具有的速度計(jì)作v0，之后其碎片以各自的速度vi向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)。為簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們假設(shè)碎片的速度v在同一個(gè)二維平面上。

在速度恒為v0的參考系（稱為“系1”）看來(lái)，煙花迸裂之前的瞬間速度為0，假設(shè)煙花爆炸具有各向同性，此時(shí)在系1看來(lái)，碎片i朝著四面八方的速度vi1大小相等，記作v1，且有vi=vi1+v0。這就求出來(lái)了vi的方向和大小。

一般情況下，碎片接下來(lái)的運(yùn)動(dòng)受到重力和空氣阻力的共同作用，兩個(gè)力提供運(yùn)動(dòng)的加速度。我們接下來(lái)分兩種情形討論煙花碎片的運(yùn)動(dòng)。

2 無(wú)空氣阻力情形的討論

2.1 地面參考系

不考慮空氣阻力時(shí)，煙花碎片i的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)典型的拋物運(yùn)動(dòng)，以爆炸瞬間作為時(shí)間起點(diǎn)，t時(shí)刻煙花碎片的位置為：

x=vixt，y=viyt-gt2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

由于vi=vi1+v0，所以有vix=vix1+v0x=v1cosθi+v0x，同理有viy=v1sinθi+v0y。這里面θi是碎片i在系1中運(yùn)動(dòng)方向和水平方向的夾角。因此有：

x=v1cosθit+v0xt，y=v1sinθit+v0yt-gt2? ? ? ? ? （2）

因此在時(shí)刻t，不同的碎片i的位置滿足方程：

（x-v0xt）2+（y-v0yt+gt2）2=（v1t）2? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

可看出，所有的碎片在時(shí)刻t形成了一個(gè)圓，圓的半徑隨著時(shí)間勻速變大為v1t，圓的圓心位置為（v0xt，v0yt-1/2 gt2），是一個(gè)初速度為v0的拋物運(yùn)動(dòng)。

2.2 拋物系

無(wú)阻力情形下的運(yùn)動(dòng)可以使用初速度為v0的拋物運(yùn)動(dòng)為參考系，這個(gè)參考系是一個(gè)非慣性系，在該系下碎片i的運(yùn)動(dòng)即受到豎直向下的重力mig，又受到豎直向上的慣性力[1]mig，二力平衡，因此在該系下看來(lái)，各個(gè)碎片的運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)。由于各個(gè)碎片的初速度在煙花爆炸的瞬間大小相同且為v1，方向不同。那么仍以爆炸瞬間作為時(shí)間起點(diǎn)，在接下來(lái)的各個(gè)時(shí)刻t，形成的圖形一定是一個(gè)圓，圓的半徑為v1t，圓心的位置在該系下始終不變，回到地面參考系，圓心的位置就是一個(gè)初速度為v0的拋物運(yùn)動(dòng)，這和1中的結(jié)論完全一致。

使用拋物系的觀點(diǎn)，我們還可以解釋某些特殊的煙花形狀，例如橢圓形。這一類煙花形狀的產(chǎn)生是由于在煙花爆炸時(shí)不具有各向同性，在系1中，煙花爆炸后的瞬間碎片的速度朝著各個(gè)方向，其大小是不同的，此時(shí)在拋物系中來(lái)看，朝著不同方向運(yùn)動(dòng)的碎片初速度大小不同，隨后的時(shí)間里，碎片做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以這些碎片在時(shí)刻t朝著各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的距離不同，自然也就不能夠形成圓形。但即使如此，煙花形狀的中心位置仍然是一個(gè)初速度為v0的拋物運(yùn)動(dòng)，這是因?yàn)闊熁ㄐ螤畹闹行奈恢迷趻佄锵抵锌磥?lái)是不變的。

3 有空氣阻力情形的討論

3.1 空氣阻力的模型

查閱有關(guān)“空氣阻力”的資料并結(jié)合所學(xué)，空氣阻力方向恒與相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向相反，大小與空氣密度、物體迎風(fēng)面積、空氣阻力系數(shù)等等有關(guān)[1]，而且碎片在運(yùn)動(dòng)中不免會(huì)發(fā)生旋轉(zhuǎn)，因此不能將其視作質(zhì)點(diǎn)。此處為避免使本文不聚焦的方面喧賓奪主，也避免使問(wèn)題進(jìn)一步復(fù)雜化，將摩擦力簡(jiǎn)單考慮成f=-αv[2]，突出其主要影響因素：碎片相對(duì)于空氣運(yùn)動(dòng)的速度。這就是說(shuō)，碎片i受到的空氣阻力為fi=-αvi，這里對(duì)于不同碎片，阻力大小和其速度之比α認(rèn)為是大致相同的，原因是我們認(rèn)為各個(gè)碎片基本一樣，此時(shí)質(zhì)量大致相同，即mi相同，記作m，這個(gè)假設(shè)與日常生活中的經(jīng)驗(yàn)也是相符的，只要煙花的質(zhì)量較好，爆炸后的碎片質(zhì)量相差不大，即使有一些碎片質(zhì)量和m相差較大，這些碎片的數(shù)目也比較少，因此對(duì)煙花的形狀影響不大，可以不考慮。

3.2 拋物系

拋物系（在角標(biāo)中記作p）下，碎片i在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，受到豎直向下的重力mig、空氣阻力fi、豎直向上的慣性力-mig三個(gè)力作用。其中重力和慣性力的合力為0，不影響在拋物系下觀察到的碎片運(yùn)動(dòng)。

空氣阻力fi=-αvi由于在拋物系下碎片的速度vip（t）和地面參考系下的速度vi之間的關(guān)系為vi（t）=vip（t）+v0+gt，v0+gt是拋物系相對(duì)于地面的速度?？諝庾枇Ξa(chǎn)生的加速度可以分解為兩個(gè)：

ai==-（vip（t）+v0+gt）=-vip（t）-（v0+gt）? ? ? （4）

如果沒有空氣阻力，那么碎片的運(yùn)動(dòng)將會(huì)是勻速直線運(yùn)動(dòng)，按照之前的結(jié)果，運(yùn)動(dòng)形成的煙花形狀將會(huì)是圓形，如果僅考慮第一項(xiàng)加速度-vip（t）的影響，則由于碎片運(yùn)動(dòng)的各向同性，在相同的時(shí)間間隔內(nèi)，各個(gè)碎片朝著不同的方向運(yùn)動(dòng)的距離大小相等，因此在各個(gè)時(shí)刻看來(lái)，煙花的形狀仍然是一個(gè)圓形。

如果此時(shí)再考慮第二項(xiàng)加速度-（v0+gt）對(duì)于運(yùn)動(dòng)的貢獻(xiàn)，這一項(xiàng)加速度和碎片無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)對(duì)于各個(gè)碎片來(lái)說(shuō)這一部分加速度相同，造成的速度變化一致，所以不影響碎片之間的相對(duì)速度（但是會(huì)影響碎片在拋物系中的絕對(duì)速度）。需要注意到的是，這一項(xiàng)會(huì)造成碎片i速度的絕對(duì)變化，該變化又會(huì)反映到阻力的變化中去，但是該變化對(duì)于各個(gè)碎片來(lái)說(shuō)是相同的，所以對(duì)各個(gè)碎片造成的阻力變化也是相同的，因此這一阻力變化造成的新的加速度，對(duì)于各個(gè)碎片來(lái)說(shuō)相同，所以也不會(huì)影響碎片之間的相對(duì)速度。因此，考慮到第二項(xiàng)加速度-（v0+gt），各個(gè)時(shí)刻碎片之間的相對(duì)速度不會(huì)因此改變，這也就意味著碎片之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)和第二項(xiàng)加速度無(wú)關(guān)。煙花的形狀完全是由碎片之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)決定的，所以煙花的形狀不會(huì)因?yàn)榭紤]了第二項(xiàng)加速度而改變，因此煙花的形狀仍然是一個(gè)圓形。

由于煙花仍然是圓形，且總計(jì)N個(gè)煙花碎片的質(zhì)量m大小可以認(rèn)為是近似相等的，這意味著圓心的位置就是質(zhì)心的位置。為了求解圓心（即質(zhì)心）的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，我們可以在地面參考系下使用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理[3]，地面系下質(zhì)心所受的外力一項(xiàng)是重力的合外力Nmg，另一項(xiàng)是阻力的合力∑fi =-α∑vi=-αNvc，兩個(gè)力給出了質(zhì)心的加速度，亦即Nmg-αNvc=Nmac，所以mg-αvc=mac，所以圓心的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)在重力場(chǎng)中受到空氣阻力的拋物運(yùn)動(dòng)。

4 結(jié)語(yǔ)

本文建立了煙花爆炸的物理模型，揭示了不考慮和考慮空氣阻力兩種情形下的煙花形狀規(guī)律和圓心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)于利用不同的爆炸速度，設(shè)計(jì)復(fù)雜圖案的煙花可參考應(yīng)用。這個(gè)規(guī)律在生活中的體現(xiàn)十分廣泛，例如一滴球狀水滴滴在光滑平面上總形成圓，核武器于空中爆炸時(shí)總產(chǎn)生“蘑菇云”的景象等等。

參考文獻(xiàn)

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