正多邊形古塔中心坐標(biāo)求解與傾斜情況分析

管鋒

(太原市勘察測繪研究院，山西 太原 030002)

1 引 言

磚結(jié)構(gòu)古塔在長時(shí)間承受氣溫、風(fēng)力、自重等自然條件影響下，會產(chǎn)生傾斜、彎曲、扭曲等變形。某古塔自1984年～1997年經(jīng)修復(fù)、糾偏、加固至今再沒有進(jìn)行過變形測量及傾斜沉降等工作的實(shí)測。由于沒有準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，現(xiàn)在無法對古塔進(jìn)行科學(xué)有效地保護(hù)，為此需要對古塔進(jìn)行變形觀測，掌握古塔的變形情況，為安全性診斷提供必要的信息，以便及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題并采取措施，使這一珍貴的文化遺產(chǎn)得到更好的傳承。

觀測采用角度交會原理，分別觀測了1、6、11層的8個(gè)角點(diǎn)，用來求解各個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)，并計(jì)算中心位置，分析該塔變形情況。本文著重探討了古塔中心坐標(biāo)求解問題，并給出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型和計(jì)算方法，通過數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果來分析古塔傾斜情況。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 模型建立

由正多邊形特性可知，每個(gè)角點(diǎn)到等效中心的距離相等，即：

(1)

xi，yi為每個(gè)角點(diǎn)的x，y坐標(biāo)，中心(x，y)和半徑r初值設(shè)為x0，y0，r0，公式線性化后為：

(2)

(3)

VTPV=min

(4)

得：

(5)

(6)

式中，n為坐標(biāo)值的個(gè)數(shù)，必要觀測量為3，多余觀測量為(n-3)。

2.2 程序?qū)崿F(xiàn)

程序采用C++語言設(shè)計(jì)，使用已有的Matrix矩陣類進(jìn)行矩陣運(yùn)算。程序主要函數(shù)有讀取坐標(biāo)數(shù)據(jù)函數(shù)CCenterCompute：：FileOpen()、中心坐標(biāo)計(jì)算函數(shù)CCenterCompute：：Compute()和結(jié)果輸出函數(shù)CCenterCompute：：WriteRecPos()。

設(shè)計(jì)的Matrix矩陣類的運(yùn)算包括矩陣之間的加、減、乘、求逆等一些運(yùn)算方法。在進(jìn)行矩陣計(jì)算之前，首先定義矩陣對象，然后使用運(yùn)算符重載的功能，就可以進(jìn)行矩陣的各種運(yùn)算。

x0，y0的初值采用的是n個(gè)觀測值的x，y的均值，r0取第一個(gè)點(diǎn)(x1，y1)到中心(x0，y0)的距離。

采用迭代的方法計(jì)算中心坐標(biāo)，直到dx，dy，dr的改正量小于10-4時(shí)停止迭代。主要代碼如下：

do

{

for (i=0；i

{

onexy=positions[i]；

s=sqrt(pow(onexy.x-FoucsX，2)+pow(onexy.y-FoucsY，2))；

B(i，0)=FoucsX-onexy.x；

B(i，1)=FoucsY-onexy.y；

B(i，2)=-1；

L(i，0)=R-s；

}

Q=(!(～B*P*B))；

v=Q*(～B*P*L)；

FoucsX+=v(0，0)；

FoucsY+=v(1，0)；

R+=v(2，0)；

if (fabs(v(0，0))<1e-4&&fabs(v(1，0))<1e-4&&fabs(v(2，0))<1e-4)

break；

} while (1)；

3 計(jì)算結(jié)果與古塔傾斜分析

3.1 測量方案與數(shù)據(jù)處理

根據(jù)規(guī)范相關(guān)技術(shù)要求，考慮到現(xiàn)場觀測條件，平面控制網(wǎng)采用衛(wèi)星導(dǎo)航定位測量，全站儀聯(lián)測邊長和角度，進(jìn)行聯(lián)合平差，高程控制網(wǎng)采用二等水準(zhǔn)測量方法進(jìn)行。利用平面和高程控制點(diǎn)前方角度交會的方法觀測古塔1、6、11層的24個(gè)點(diǎn)。水平角觀測采用方向觀測法，所有點(diǎn)進(jìn)行三角高程測量。各項(xiàng)觀測指標(biāo)均滿足規(guī)范要求。

基線數(shù)據(jù)處理和網(wǎng)平差均采用Trimble Business Center 4.0軟件。基線向量解算采用雙差固定解；星歷采用廣播星歷；觀測值應(yīng)加入了對流層延遲修正，對流層延遲修正模型中的氣象元素采用標(biāo)準(zhǔn)氣象元素。經(jīng)過基線處理后，同步環(huán)、異步環(huán)、重復(fù)基線較差、三維無約束平差、二維約束平差均滿足規(guī)范要求。

傾斜點(diǎn)前方角度交會計(jì)算軟件清華山維NAS2008 1.2.1，除部分點(diǎn)因現(xiàn)場條件限制，只有2個(gè)方向交會外，其余點(diǎn)均有3個(gè)或以上方向交會。

傾斜點(diǎn)高程直接采用控制點(diǎn)與觀測點(diǎn)的垂直角、距離進(jìn)行計(jì)算。

3.2 古塔傾斜情況分析

本文以某古塔的觀測數(shù)據(jù)為例，來對程序的運(yùn)行結(jié)果進(jìn)行說明。采用古塔的1、6、11層的觀測數(shù)據(jù)(古塔為正八邊形古塔)，計(jì)算得到各個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)行程序輸出的結(jié)果如表1所示：

古塔1、6、11層坐標(biāo)表 表1

將各層中心點(diǎn)的偏差除以各層中心點(diǎn)的高差，求得塔的傾斜，傾斜結(jié)果如表2所示。

古塔傾斜成果表 表2

3.3 模型影響分析

后期計(jì)算過程中，發(fā)現(xiàn)古塔存在一定傾斜，這就導(dǎo)致傾斜點(diǎn)不在同一高程面上(假定塔未傾斜時(shí)，傾斜點(diǎn)是在同一高程面上的，且塔的8個(gè)角點(diǎn)嚴(yán)格在同一個(gè)圓上)，那么測出的傾斜點(diǎn)平面坐標(biāo)構(gòu)成的是一個(gè)橢圓，而不是圓。

因塔傾斜引起的傾斜點(diǎn)高程上的誤差，等于塔的半徑乘以傾斜率，塔傾斜引起的傾斜點(diǎn)平面坐標(biāo)的誤差，等于高程誤差乘以傾斜率，計(jì)算結(jié)果如表3所示：

塔傾斜引起的傾斜點(diǎn)誤差計(jì)算表 表3

由表3可知，因古塔傾斜引起的傾斜點(diǎn)平面坐標(biāo)的最大誤差為 0.4 mm，而傾斜點(diǎn)求圓心的中誤差為 ±11.6 mm～17.2 mm，由此可見，塔傾斜引起的傾斜點(diǎn)平面坐標(biāo)誤差對計(jì)算結(jié)果影響很小，可不予考慮，數(shù)學(xué)模型仍采用等效圓。

4 結(jié) 語

文中通過對正多邊形的特性分析，列出誤差方程，給出了數(shù)學(xué)模型，通過使用C++語言編制程序，能夠很好地求解古塔中心坐標(biāo)，模型嚴(yán)密，求解的結(jié)果精度高。程序能極大提高工作效率，減少人工出錯(cuò)率。最后分析古塔的傾斜對模型的影響，在簡單的情況下可以采用圓模型，對精度影響很小。計(jì)算的結(jié)果可為相關(guān)文物部門的古塔保護(hù)和監(jiān)測提供參考和借鑒，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。該模型適用于正多邊形建筑的中心坐標(biāo)求解。