數(shù)學(xué)分析中幾種常見的不等式證明方法

楊 濤

（四川工商學(xué)院數(shù)理教研室，四川 成都 611745）

1 引言

不等式的證明是高等數(shù)學(xué)中重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，其常用證明方法有：比較法、綜合法和數(shù)學(xué)歸納法、利用導(dǎo)數(shù)的定義、函數(shù)的單調(diào)性、最值性(極值性)和中值定理等［1，2，3，4，5］。然而許多學(xué)生在證明不等式時總是感到束手無策、無從下手。一方面是因?yàn)椴坏仁阶C明的題目類型比較多，證明方法因問題的不同而變化多端；另一方面是在學(xué)習(xí)的過程中對不等式證明方法沒有進(jìn)行歸納和總結(jié)。因此，為幫助學(xué)生較好理解和掌握不等式證明問題、熟練運(yùn)用所學(xué)知識證明不等式，下面對不等式證明常見方法進(jìn)行了歸納和總結(jié)，幫助學(xué)生較好地理解和掌握不等式證明問題。

1.1 借助函數(shù)圖形分析不等式

函數(shù)圖形不但能夠清晰直觀地呈現(xiàn)函數(shù)增減變化、對稱性、最值等問題，而且是分析不等式成立的最基本和最常見的方法之一。比如，要證明f（x）＞g（x)，可借助計算機(jī)分別畫出函數(shù)f（x）與g（x)的函數(shù)圖形，對畫出的函數(shù)圖形進(jìn)行分析和探討，得出不等式成立的相關(guān)信息，并根據(jù)得到的不等式成立相關(guān)信息梳理不等式證明思路，同時以相對簡潔且符合邏輯的數(shù)學(xué)語言對待證不等式進(jìn)行描述。

例1 證明：當(dāng)x＞0 時，x＞ln（1+x）.

分析1 不妨記f（x）=x，g（x)=ln（1+x），要證明，x＞ln（1+x）在x＞0 時成立，即f（x）＞g（x)證明。函數(shù)圖形能夠清晰直觀地幫助我們證明不等式問題，因此函數(shù)f（x）與g（x)的函數(shù)圖形如圖1所示。圖1表明，當(dāng)x＞0 時，恒有f（x）＞g（x），即x＞ln（1+x）。

分析2 要證明x＞ln（1+x）在x＞0 時成立，即證明ex＞1+x。不妨記f（x）=ex，g（x）=1+x，函數(shù)f（x）與g（x）的函數(shù)圖形如圖2所示。圖2表明，當(dāng)x＞0 時，恒有f（x）＞g（x），即ex＞1+x，等式左右兩邊同時取對數(shù)可得：當(dāng)x＞0 時，不等式x＞ln（1+x）成立。

圖1 函數(shù)f（x）=x 與g（x)=ln（1+x）圖像

圖2 函數(shù)f（x）=ex 與g（x）=1+x 圖像

上述分析1、分析2 表明，當(dāng)x＞0 時，不等式x＞ln（1+x）恒成立，亦即解析式f（x）=x-ln（1+x）在x＞0時嚴(yán)格單調(diào)遞增。因此，實(shí)例1 可利用單調(diào)性證明。

1.2 利用單調(diào)性證明不等式

函數(shù)單調(diào)性的判定不但是求最值、研究函數(shù)在定義域內(nèi)變化形態(tài)的有效方法，而且也是證明不等式成立的基本方法，其利用單調(diào)性證明不等式要點(diǎn)如下：若f ′（x）≥0（或f ′（x）＞0），則x1＜x2時，有f（x1）≤f（x2） （或f（x1）＜f（x2））。實(shí)例1 利用單調(diào)性證明方法如下：

證 記f（x）=x-ln（1+x），知D（f）=｛x|x＞-1｝。由題意可知x＞0，于是f（x）的定義域D（f）=｛x|x＞0｝。

因?qū)θ我鈞，x+Δx∈D（f）且Δx→0 時，有

所以函數(shù)f（x）在其定義域D（f）內(nèi)連續(xù)。又因極限存在，即函數(shù)f（x）在其定義域D（f）內(nèi)可導(dǎo)。

圖3 函數(shù)f（x）=x-ln（1+x）圖像

上述方法首先利用定義證明了函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f ′（x）恒大于0，即函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增。若不等式f（x）的最小值min f（x）≥0（x＞0），則x＞ln（1+x）。

1.3 利用求極值的方法證明不等式

極值方法證明不等式要點(diǎn)： 若需證明f （x）≥g（x)不等式成立，則證明的最小值都大于零。利用求極值方法證明實(shí)例1 過程如下：

證 記f（x）=x-ln（1+x）（當(dāng)x＞0 時）。因F（0）=0，所以只要證明

因f（x）在D（f）=｛x|x＞0｝內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，即實(shí)例1也符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件，因此該例也可運(yùn)用拉格朗日中值定理證明。

1.4 利用拉格朗日中值定理證明不等式

本節(jié)利用文獻(xiàn)［1］回顧拉格朗日中值定理有關(guān)概念。若函數(shù)f（x）滿足：(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；(2)在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)ε∈（a，b）內(nèi)，使得

成立。在了解和掌握拉格朗日中值定理相關(guān)概念后，可知上述實(shí)例（例1）滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，即運(yùn)用拉格朗日中值定理證明實(shí)例1 過程如下：

證 令f（x）=x-ln（1+x），因?yàn)閒（x）在[0,+∞]上連續(xù)可導(dǎo).即

則f（x）在區(qū)間[0，x]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，所以在區(qū)間[0，x]中至少存在一點(diǎn)ε（ε∈[0，x]），使得f（x）-f（0）=f ′（ε）（x-0），而

由于ε＞0，知f ′（ε）＞0.又f（0），故當(dāng)x＞0 時，f（x）=xf ′（ε）＞0，于是，有x-ln（1+x）＞0，即x＞ln（1+x）。

因f（x）在D（f）=｛x|x＞0｝內(nèi)n 階連續(xù)可導(dǎo)，即實(shí)例1 也可用Taylor 公式證明，其證明方法如下：

1.5 利用泰勒（Taylor）公式證明不等式

為能較好的理解、 掌握和應(yīng)用Taylor 公式證明不等式，本小節(jié)利用參考文獻(xiàn)［1］對Taylor 公式基本要點(diǎn)做簡要回顧。若f（x）在[a，b]上有連續(xù)n 階導(dǎo)數(shù)，且滿足

f（n）（x）＞0（當(dāng)x∈（a，b 時），則

利用此原理，可證例1。

證 原式等價于f（x）≡x-ln（1+x）＞0，因f（0）=f ′（0）=0。

1.2～1.5 節(jié)對同一問題不同證明方法進(jìn)行了粗略的歸納和總結(jié)，學(xué)生若在學(xué)習(xí)過程中能較好理解和掌握上述不等式證明理論基礎(chǔ)，并熟練運(yùn)用到不等式證明中，不但能培養(yǎng)學(xué)生不等式證明的發(fā)散思維，而且也為今后提出新穎的不等式證明方法打下夯實(shí)的基礎(chǔ)。下面介紹幾種積分不等式的證明方法。

積分不等式是指兩個以上的定積分不等式。關(guān)于積分不等式，這里僅介紹微分學(xué)方法證明不等式和不等式兩端取變限積分證明不等式的證明方法。

1.6 利用微分學(xué)的方法證明不等式

在介紹微分學(xué)方法證明不等式前，首先需掌握和理解不定積分與求導(dǎo)數(shù)或微分互為逆運(yùn)算的相關(guān)性質(zhì)：（1）

例2 設(shè)f（x）在[0，1]上可微，且當(dāng)x∈（0，1）時，0＜f′（x）＜1，f （0）=0，試證：

證 方法一：問題在于證

已知f（0）=0，0＜f ′（x）＜1（當(dāng)x∈（0，1）），故x∈（0，1）時f （x）＞0。下證（1）式大于0.記則r（0）=0，

1.7 不等式兩端取變限積分證明新的不等式

不等式兩端取變限積分證明不等式時，首先需掌握積分基本公式：

證 已知x＞0 時，cos x≤1，（當(dāng)x=2nπ 時等號成立）。對不等式cos x＜1 兩端同時取[0，x]上的積分，得

再次對不等式sin x＜1 取[0，x]上的積分，得

即

圖4 函數(shù)f（x）=sin x 與g（x）=x圖像

圖5 函數(shù)f（x）=1-cos x 與

圖6 函數(shù)f（x）=1-cos x 與圖像

圖7 函數(shù)、g（x）=sin x 與圖像

上述過程介紹了通過對不等式兩端同時取積分的方式證明不等式，并給出了積分后新的不等式的函數(shù)圖形，進(jìn)一步驗(yàn)證證明過程的正確性。

2 結(jié)束語

以上討論了不等式證明的幾種方法，但是不等式證明問題是多種多樣、錯綜復(fù)雜的，不是幾種類型的不等式證明方法所能概括的，但只有熟練的掌握一些最基本、最常用的不等式證明方法，才能幫助我們能夠更好的解決不等式證明問題，才能從這些最基本、最常用的不等式證明方法中獲得啟發(fā)，進(jìn)而給出新穎的不等式證明方法。從文中介紹的不等式證明方法中可以看到，熟練的掌握函數(shù)單調(diào)性、極值求解方法、微分、中值定理、Taylor 公式等是有效的解決不同形式的不等式證明問題基本方法和手段，也是有效的啟發(fā)自己對不等式證明思維訓(xùn)練、不等式應(yīng)用背景理解和對不等式證明方法的進(jìn)行一步的延拓的基礎(chǔ)。