基于電壓統(tǒng)計(jì)矩靈敏度分析的附加質(zhì)量識(shí)別

王丹生， 周 品， 范凌峰， 朱宏平， 蔡福祥

(1. 華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院， 湖北 武漢 430074；2. 宜昌宏業(yè)工程項(xiàng)目管理有限公司， 湖北 宜昌 443100)

近年來(lái)，工程健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)不斷發(fā)展，通過(guò)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)工程結(jié)構(gòu)的運(yùn)營(yíng)和安全狀態(tài)進(jìn)行評(píng)估是工程界的一大目標(biāo)。橋梁作為道路交通的重要組成部分，其上的車輛荷載對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的特性參數(shù)，如固有頻率等有著很大影響，這種影響對(duì)于一些利用橋梁的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)分析結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的項(xiàng)目而言，不可忽略[1]。具有豐富風(fēng)資源的加拿大、北歐等地區(qū)，風(fēng)力渦輪機(jī)的應(yīng)用越來(lái)越多，但渦輪機(jī)上的葉片由于寒冷、潮濕天氣的影響也面臨著積冰的影響，積冰的存在對(duì)渦輪機(jī)的電力輸出、氣動(dòng)性能、固有頻率以及振動(dòng)模式都有很大影響，因此，及時(shí)發(fā)現(xiàn)并避免積冰的形成至關(guān)重要[2]。

車輛荷載、積冰等對(duì)于結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)都是一種附加質(zhì)量，也可以看作是一種特殊的結(jié)構(gòu)損傷，目前對(duì)于附加質(zhì)量識(shí)別的研究相對(duì)較少。Rajendran等[3,4]利用振型和小波包變換的方法識(shí)別了懸臂梁和復(fù)合板上的附加質(zhì)量，這種利用附加質(zhì)量來(lái)模擬裂紋損傷的方法有效地避免了試驗(yàn)研究中從同一批材料中選取多個(gè)相同尺寸的試件所存在的問(wèn)題：(1)試件之間材料和尺寸之間的差異性；(2)對(duì)于裂紋位置的研究，一試件中同一裂紋位置的損傷類型無(wú)法改變。為了避免積冰的形成對(duì)風(fēng)力渦輪機(jī)的性能產(chǎn)生危害，Gantasala等[2]采用固有頻率和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法識(shí)別了懸臂梁上附加質(zhì)量，并將此方法應(yīng)用于風(fēng)力渦輪機(jī)葉片上積冰的檢測(cè)。

Zhang等[5]提出了基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩的損傷識(shí)別方法，Zhou 等[6]也在此基礎(chǔ)上做了大量的工作。這種方法都不可避免地涉及非線性優(yōu)化過(guò)程。本文提出了一種基于統(tǒng)計(jì)矩對(duì)附加質(zhì)量靈敏度的識(shí)別方法，該方法在時(shí)域內(nèi)計(jì)算方便，識(shí)別精度高，具有一定程度的抗噪性，可以同時(shí)識(shí)別出附加質(zhì)量的位置和大小，識(shí)別效率高。除此之外，本文提出的結(jié)構(gòu)附加質(zhì)量識(shí)別的方法可以為實(shí)際工程中的橋梁以及風(fēng)力渦輪機(jī)的健康監(jiān)測(cè)提供有效指導(dǎo)。

1 方法的提出

1.1 歐拉梁的譜元法模擬

1.1.1 附加質(zhì)量塊梁的譜單元?jiǎng)偠染仃?/p>

如圖1所示的附加質(zhì)量塊梁的譜單元模型，其長(zhǎng)度為L(zhǎng)，其上距離梁左端L1處附加一質(zhì)量G，把帶有質(zhì)量塊的梁?jiǎn)卧殖蓛刹糠?，每一部分的控制微分方程可表示為?/p>

(1)

式中：Vi為豎向位移；E,I,ρ,A分別為彈性模量、橫截面慣性矩、密度和截面面積；a和c分別為內(nèi)部粘彈性阻尼系數(shù)和外部粘滯阻尼系數(shù)；x為沿梁長(zhǎng)方向的位置坐標(biāo)；t為時(shí)間。

圖1 施加質(zhì)量塊梁的譜單元模型

對(duì)式(1)兩端進(jìn)行拉普拉斯變換，簡(jiǎn)化后方程解的一般形式為：

(2)

由圖1可知，譜單元左右兩端的位移邊界條件為：

(3)

施加質(zhì)量塊處的連續(xù)性條件為[7～9]：

(4)

式中:β=G/(ρAL) 為質(zhì)量塊與梁的質(zhì)量之比。

將式(2)代入式(3)，(4)，則節(jié)點(diǎn)譜位移可表示為：

q=DC

(5)

譜單元的力邊界條件為：

將式(2)代入式(6)，則節(jié)點(diǎn)力可表示為：

F=BC

(7)

結(jié)合式(5)，(7)，施加質(zhì)量塊的譜單元?jiǎng)偠染仃嚳杀硎緸椋?/p>

K=BD-1

(8)

式中:D=01010000k0k00000SHShHh-S-H-Sh-HhkH-kSkHhkSh-kHkS-kHh-kSh-k2S-k2Hk2Shk2Hhk2Sk2H-k2Sh-k2Hhk3(βkS-H)k3(S+βkH)k3(Hh+βkSh)k3(Sh+βkHh)k3H-k3S-k3Hh-k3Sh0000S1H1Sh1Hh10000kH1-kS1kHh1kSh1é?êêêêêêêêêêêù?úúúúúúúúúúú,B=-k3EI0k3EI000000k2EI0-k2EI00000000k3EIH1-k3EIS1-k3EIHh1-k3EISh10000-k2EIS1-k2EIH1k2EISh1k2EIHh1é?êêêêêù?úúúúú,

S=sinkL1,H=coskL1,Sh=sinhkL1,Hh=coshkL1,S1=sinkL,H1=coskL,Sh1=sinkL,Hh1=coshkL。

1.1.2 完整梁的譜單元?jiǎng)偠染仃?/p>

完整梁的譜單元?jiǎng)偠染仃囃茖?dǎo)過(guò)程與附加質(zhì)量塊梁的譜單元?jiǎng)偠染仃囶愃?，這里不再進(jìn)行推導(dǎo)，相關(guān)內(nèi)容可參考文獻(xiàn)[10]。

1.2 結(jié)構(gòu)電壓統(tǒng)計(jì)矩的靈敏度分析

根據(jù)1.1.1和1.1.2中所推導(dǎo)的單元?jiǎng)偠染仃?，結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣可以通過(guò)裝配過(guò)程得到，從而可以獲得結(jié)構(gòu)的動(dòng)力位移、應(yīng)變等響應(yīng)。由于壓電陶瓷片具有正壓電效應(yīng)，PZT可以用作應(yīng)變傳感器。根據(jù)壓電方程，PZT用作傳感器時(shí)，其上的電壓輸出與應(yīng)變存在如下線性關(guān)系[11]：

(9)

式中：U為PZT的輸出電壓；d31為壓電應(yīng)變常數(shù)；

當(dāng)對(duì)一線性結(jié)構(gòu)施加平穩(wěn)高斯分布的隨機(jī)激勵(lì)時(shí)，其動(dòng)力響應(yīng)也服從平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程[12]。動(dòng)力響應(yīng)的n階統(tǒng)計(jì)矩可表示為：

(10)

在基于統(tǒng)計(jì)矩的損傷識(shí)別中，為了平衡統(tǒng)計(jì)矩對(duì)隨機(jī)激勵(lì)的穩(wěn)定性和對(duì)結(jié)構(gòu)損傷的敏感性，通常選用結(jié)構(gòu)響應(yīng)的四階統(tǒng)計(jì)矩作為損傷指標(biāo)[13]。結(jié)構(gòu)響應(yīng)不服從高斯隨機(jī)過(guò)程，其四階統(tǒng)計(jì)矩可表示為：

(11)

式中：N為采樣點(diǎn)數(shù)。

所提出方法的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)為計(jì)算響應(yīng)和測(cè)量響應(yīng)的四階統(tǒng)計(jì)矩之間的誤差：

(12)

式中：下標(biāo)c和m分別表示計(jì)算和測(cè)量。

結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中，基于動(dòng)力響應(yīng)靈敏度分析的時(shí)域模型修正方法的優(yōu)勢(shì)在于只需要提供少量傳感器的信息。本文中，電壓響應(yīng)的四階統(tǒng)計(jì)矩對(duì)附加質(zhì)量的靈敏度矩陣可表示為：

(13)

此處，任意一個(gè)附加質(zhì)量狀態(tài)G都對(duì)應(yīng)一個(gè)靈敏度矩陣S，考慮到G和響應(yīng)矩陣M4并不是一一對(duì)應(yīng)或數(shù)量相同，S一般不是理想的方陣，所以S矩陣?yán)碚撉髮?dǎo)比較復(fù)雜，這里并沒(méi)有給出S矩陣的顯式表達(dá)形式，在數(shù)值計(jì)算時(shí)，可以采用中心差分法代替。基于靈敏度分析的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法通常需要多步迭代才可以得到結(jié)構(gòu)的損傷參數(shù)，這里采用牛頓迭代法。但是在每一步的迭代過(guò)程中，由于模型的不確定性、周圍環(huán)境的影響、測(cè)量噪聲以及有限的傳感器等原因，通過(guò)結(jié)構(gòu)響應(yīng)來(lái)得到結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)這一逆問(wèn)題方程通常是病態(tài)的，為了得到正確和穩(wěn)定的解，可采用正則化的方法，本文采用L1正則化。

2 數(shù)值算例

以圖2所示的簡(jiǎn)支梁為例，將其劃分為15個(gè)單元。簡(jiǎn)支梁的幾何參數(shù)為：梁長(zhǎng)L=3 m，截面寬b=0.03 m，截面高h(yuǎn)=0.02 m，截面類型為矩形；簡(jiǎn)支梁的物理參數(shù)為：楊氏模量E=210 GPa，密度ρ=7800 kg/m3，泊松比μ=0.3，內(nèi)部粘彈性阻尼系數(shù)a=0.002，外部粘滯阻尼系數(shù)c=0.234。在單元3和4之間的節(jié)點(diǎn)上施加幅值為200 N，采樣頻率為400 Hz的高斯白噪聲激勵(lì)，輸入力的時(shí)程曲線如圖3所示，時(shí)間歷程為5.12 s。

圖2 簡(jiǎn)支梁的譜元法模型/mm

圖3 采樣頻率為400 Hz的高斯白噪聲激勵(lì)時(shí)程曲線

為了驗(yàn)證所提方法的有效性，表1表示了簡(jiǎn)支梁附加質(zhì)量的各種工況，單損傷工況D1表示在單元11上附加質(zhì)量塊，附加質(zhì)量的大小與單元質(zhì)量的比值β為0.1；雙損傷工況D2表示在單元4和11上分別附加質(zhì)量塊，β值均為0.1；三損傷工況D3表示在單元4，7，11上分別附加質(zhì)量塊，β值均為0.1。

表1 簡(jiǎn)支梁附加質(zhì)量的各種工況

無(wú)測(cè)量噪聲的影響下，各附加質(zhì)量工況的識(shí)別結(jié)果列于表2，從表2可以看出，在沒(méi)有測(cè)量噪聲的影響下，所有預(yù)設(shè)附加質(zhì)量單元的位置和附加質(zhì)量大小均被準(zhǔn)確地識(shí)別出來(lái)，未附加質(zhì)量單位幾乎沒(méi)有出現(xiàn)誤判。

表2 不添加噪聲各工況附加質(zhì)量識(shí)別結(jié)果

為了檢驗(yàn)該方法的抗噪性，分別對(duì)工況D1～D3施加2%的噪聲，施加噪聲后的附加質(zhì)量識(shí)別結(jié)果列于表3，由識(shí)別結(jié)果可以看出，所有預(yù)設(shè)的附加質(zhì)量單元的位置和附加質(zhì)量大小均被識(shí)別出來(lái)，在測(cè)量噪聲的影響下，有些未附加質(zhì)量單位出現(xiàn)了誤判，但并不影響預(yù)設(shè)附加質(zhì)量單元的識(shí)別。

表3 2%噪聲下各工況附加質(zhì)量識(shí)別結(jié)果

表4，5分別對(duì)無(wú)測(cè)量噪聲和添加2%噪聲下各附加質(zhì)量工況的識(shí)別相對(duì)誤差進(jìn)行了量化，無(wú)測(cè)量噪聲影響和添加2%噪聲下，附加質(zhì)量單元識(shí)別的附加質(zhì)量大小最大相對(duì)誤差分別為5%和12%，說(shuō)明了基于譜元法和時(shí)域電壓靈敏度分析的附加質(zhì)量識(shí)別方法對(duì)噪聲具有一定的敏感性。

表4 不添加噪聲各工況附加質(zhì)量識(shí)別相對(duì)誤差

表5 2%噪聲下各工況附加質(zhì)量識(shí)別相對(duì)誤差

圖4～6分別用柱狀圖表達(dá)了無(wú)測(cè)量噪聲和添加2%噪聲下各附加質(zhì)量工況的識(shí)別結(jié)果與實(shí)際值的對(duì)比，更加直觀地說(shuō)明了測(cè)量噪聲對(duì)該附加質(zhì)量識(shí)別方法的影響。

圖4 工況D1識(shí)別結(jié)果

圖5 工況D2識(shí)別結(jié)果

圖6 工況D3識(shí)別結(jié)果

3 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了基于譜元法和電壓統(tǒng)計(jì)矩靈敏度分析的附加質(zhì)量的識(shí)別方法，并推導(dǎo)了附加質(zhì)量塊的梁的譜單元?jiǎng)偠染仃嚕ㄟ^(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了該方法識(shí)別的有效性。采用結(jié)構(gòu)電壓輸出的四階統(tǒng)計(jì)矩作為指標(biāo)，并分析其對(duì)附加質(zhì)量塊的靈敏度，使得統(tǒng)計(jì)矩在時(shí)域上的應(yīng)用極為方便，識(shí)別效率也比較高，并且能夠準(zhǔn)確地識(shí)別出附加質(zhì)量塊的位置及大小。除此之外，此方法的提出對(duì)于橋梁上車輛荷載的識(shí)別、風(fēng)力渦輪機(jī)上積冰的檢測(cè)等都有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。