Mlinex損失函數(shù)下的信度遞歸模型*

趙 珍,畢鋒霄

(1.新疆財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與信息學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830012；2.69236部隊(duì)，新疆 沙灣 832100)

1 問題的提出

然而，在經(jīng)典的信度理論中得到的保費(fèi)是純保費(fèi)，這容易導(dǎo)致保險(xiǎn)公司破產(chǎn).解決該問題的一種方法是修改損失函數(shù).C K Podder等[6]提出了一類修正的線性指數(shù)損失函數(shù)，即

其中θ為未知參數(shù)，δ為θ的估計(jì)，該函數(shù)稱為Mlinex損失函數(shù).當(dāng)c>0時(shí)，Mlinex損失函數(shù)可以很好地刻畫負(fù)偏差引起的損失低于正偏差引起的損失.近年來，該損失函數(shù)在理論和應(yīng)用方面得到廣泛研究[7-10].由于這種預(yù)測方法得到的保費(fèi)是建立在歷史索賠額權(quán)重相同的基礎(chǔ)上，并沒有考慮年份遠(yuǎn)近的影響，因此V Atanasiv[11]提出了一種更合理的方法，即將年份較近的索賠額賦予較大的權(quán)重，年份較遠(yuǎn)的索賠額賦予較小的權(quán)重，從而得到遞歸信度模型.筆者擬在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上，考慮以Mlinex損失函數(shù)作為估計(jì)誤差的度量，推導(dǎo)出相應(yīng)的保費(fèi)遞歸公式.

2 模型準(zhǔn)備

假設(shè)某個(gè)保單前t年的索賠額為Y1,Y2,…,Yt，由風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θ識別，Θ=(θ1,θ2,…,θt)，Θ是不可測隨機(jī)變量，先驗(yàn)分布為π(Θ)，給定θj，Y1,Y2,…,Yt是相互獨(dú)立的.

(1)

性質(zhì)1和性質(zhì)2的證明可參考文獻(xiàn)[12].

3 信度遞歸模型

(2)

(3)

由(2)和(3)式，得到

(4)

從而a1+a2=ρ.

令a1=ρ-a2，代入(4)式，并令j=t，可得

(5)

又

(6)

(7)

因?yàn)?/p>

(8)

從而μ(Θ)的信度估計(jì)

風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)h(Y|Θ)的信度估計(jì)

而

其中：

cov(μ(θt+1),Xt)=E(E(μ(θt+1)Xt|θt))-E(μ(θt+1))E(E(Xt|θt))=

E(μ(θt+1)E(Xt|θt))-E(μ(θt+1))E(μ(θt))=

于是

證畢.

對于?j=1,2,…,t-1，令

于是

證畢.

4 結(jié)語