一次函數(shù)應用中的數(shù)學建模

萬廣磊

一次函數(shù)是刻畫變量之間關系的數(shù)學模型，很多中考試題關注應用一次函數(shù)解決實際問題。這類問題都是通過觀察、分析、概括、建模，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，綜合運用方程、不等式（組）、函數(shù)等知識，借助數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想解決。下面以幾道典型的中考試題為例進行剖析。

一、運動問題

例1 （2018·江蘇鹽城）學校與圖書館在同一條筆直道路上，甲從學校去圖書館，乙從圖書館回學校，甲、乙兩人都勻速步行且同時出發(fā)，乙先到達目的地。兩人之間的距離y（米）與時間t（分鐘）之間的函數(shù)關系如圖所示。

（1）根據(jù)圖像信息，當t=______分鐘時甲、乙兩人相遇，甲的速度為_____米/分鐘。

（2）求出線段AB所表示的函數(shù)表達式。

【解析】（1）根據(jù)圖像信息，y=0時，表示甲、乙兩人相遇，此時t=24。由圖像，知甲用60分鐘步行2400米，因此，用每分鐘步行40米。

（2）當t=24時，甲、乙兩人相遇，可得甲、乙兩人的速度和為2400÷24=100（米/分鐘）。已求甲的速度，可得出乙的速度。再求出乙從圖書館回學校的總時間即A點的橫坐標，用A點的橫坐標乘甲的速度得出A點的縱坐標，再利用待定系數(shù)法可求出線段AB所表示的函數(shù)表達式。

解：（1）24，40。

（2）根據(jù)題意，當t=24時，甲、乙兩人的速度和為2400÷24=100（米/分鐘），∵甲的速度為40米/分鐘，∴乙的速度為60米/分鐘。乙從圖書館回學校的時間為2400÷60=40（分鐘），∴甲步行的總路程為40×40=1600（米），則A點的坐標為（40，1600）。設線段AB所表示的函數(shù)表達式為y=kx+b，得解得，∴線段AB所表示的函數(shù)表達式為y=40x。

【點評】在解決第二問時，要確定點A的坐標，其表示的意義就是乙到達學校時甲走完的總路程，可以利用行程問題的示意圖分析甲、乙運動的時間與對應的路程。

二、銷售問題

例2 （2018·江蘇無錫）一水果店是A酒店某種水果的唯一供貨商，水果店根據(jù)該酒店以往每月的需求情況，本月初專門為他們準備了2600kg的這種水果。已知水果店每售出1kg該水果可獲利潤10元，未售出的部分每1kg將虧損6元，以x（單位：kg，2000≤x≤3000）表示A酒店本月對這種水果的需求量，y（元）表示水果店銷售這批水果所獲得的利潤。

（1）求y關于x的函數(shù)表達式。

（2）當A酒店本月對這種水果需求多少時，該水果店銷售這批水果所獲的利潤不少于22000元？

【解析】（1）分兩種情況討論：一是未能全部售出（即2000≤x≤2600），要注意用獲得的利潤減去未出售的虧損部分；二是全部售出（即2600＜x≤3000），直接列出函數(shù)表達式。

（2）利用利潤不少于22000元，可以列不等式求出實際問題的解。

解：（1）由題意，分兩種情況討論如下：當 2000≤x≤2600時，y=10x-6（2600-x）=16x-15600；當 2600＜x≤3000時 ，y=2600×10=26000。

（2）由題意得：16x-15600≥22000，解得：x≥2350，∴當A酒店本月對這種水果的需求量x滿足2350≤x≤3000時，該水果店銷售這批水果所獲的利潤不少于22000元。

【點評】本題在所給的2000≤x≤3000條件下，依然需要對x的取值進行分類討論，分為2000≤x≤2600與2600＜x≤3000兩種情況。

三、調(diào)配問題

例3 （2018·湖北黃石）某年5月，我國南方某省A、B兩市遭受嚴重洪澇災害，1.5萬人被迫轉(zhuǎn)移，鄰近縣市C、D獲知A、B兩市分別急需救災物資200噸和300噸的消息后，決定調(diào)運物資支援災區(qū)。已知C市有救災物資240噸，D市有救災物資260噸，現(xiàn)將這些救災物資全部調(diào)往A、B兩市。已知從C市運往A、B兩市的費用分別為每噸20元和25元，從D市運往A、B兩市的費用分別為每噸15元和30元，設從D市運往B市的救災物資為x噸。

（1）請?zhí)顚懴卤恚?/p>

_____________________________________C D_合計（噸______）_______________________A（噸）200_______B（噸）___x 300_______合計（噸）240___260___500___

（2）設C、D兩市的總運費為w元，求w與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍。

（3）經(jīng)過搶修，從D市到B市的路況得到了改善，縮短了運輸時間，運費每噸減少m元（m＞0），其余路線運費不變。若C、D兩市的總運費的最小值不小于10320元，求m的取值范圍。

【解析】（1）由題意，D市運往B市x噸，則D市運往A市（260-x）噸，C市運往B市（300-x）噸，C市運往A市200-（260-x）=（x-60）噸。

（2）由題意，w是4條線路的費用總和，可得w與x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；

（3）根據(jù)一次函數(shù)的增減性，進行分類討論。

解：（1）C運往A市：x-60；C運往B市：300-x；D運往A市：260-x。

（2）由題意得，w=20（x-60）+25（300-x）+15（260-x）+30x=10x+10200，∴w=10x+10200（60≤x≤260）。

（3）由題意得，w=10x+10200-mx=（10-m）x+10200。

當0＜m＜10時，x=60時，w取得最小值，此時w=（10-m）×60+10200≥10320，解得0＜m≤8；當m＞10時，x=260時，w取得最小值，此時，w=（10-m）×260+10200≥10320，解得＜10，∴m＞10不符合題意。

綜上討論，m的取值范圍是0＜m≤8。

【點評】本題在解答第三問時，需要根據(jù)一次函數(shù)w=（10-m）x+10200的增減性，對（10-m）的值是否大于0和是否小于0分別進行討論。

四、方案問題

例5 （2018·江蘇連云港）某村在推進美麗鄉(xiāng)村活動中，決定建設幸福廣場，計劃鋪設相同大小規(guī)格的紅色和藍色地磚。經(jīng)過調(diào)査，獲取信息如下：

_紅色地_______磚_藍色地_______磚購買數(shù)量低于______________________________5000塊原價銷售______原價銷售______購買數(shù)量不低于5000塊____以八折銷售__以九折銷售__

如果購買紅色地磚4000塊，藍色地磚6000塊，需付款86000元；如果購買紅色地磚10000塊，藍色地磚3500塊，需付款99000元。

（1）紅色地磚與藍色地磚的單價各多少元？

（2）經(jīng)過測算，需要購置地磚12000塊，其中藍色地磚的數(shù)量不少于紅色地磚的一半，并且不超過6000塊，如何購買付款最少？請說明理由。

【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合表格中數(shù)據(jù)，分別列出方程，得出答案。

（2）利用已知，得出x的取值范圍，再利用一次函數(shù)的增減性得出答案。

解：（1）設紅色地磚每塊a元，藍色地磚每塊b元，由題意，得：

答：每塊紅色地磚8元，每塊藍色地磚10元。

（2）設購置藍色地磚x塊，則購置紅色地磚（12000-x）塊，所需的總費用為y元，由題意可得：x≥（12000-x），解得：x≥4000。

又∵x≤6000，

∴藍磚塊數(shù)x的取值范圍：4000≤x≤6000。

當4000≤x＜5000時，y=10x+8×0.8（12000-x）=76800+3.6x，∴x=4000時，y有最小值91200。

當 5000≤x≤6000時，y=0.9×10x+8×0.8（12000-x）=2.6x+76800，∴x=5000時，y有最小值89800。

∵89800＜91200，

∴購買藍色地磚5000塊，紅色地磚7000塊，費用最少，最少費用為89800元。

【點評】本題在解答第二問時，需要根據(jù)一次函數(shù)的增減性，分別進行討論，分為4000≤x＜5000與5000≤x≤6000兩種情況。

五、學科交叉

例6 （2018·浙江紹興）實驗室里有一個水平放置的長方體容器，從內(nèi)部量得它的高是15cm，底面的長是30cm，寬是20cm，容器內(nèi)的水深為xcm?，F(xiàn)往容器內(nèi)放入如圖的長方體實心鐵塊（鐵塊一面平放在容器底面），過頂點A的三條棱的長分別10cm，10cm，ycm（y≤15），當鐵塊的頂部高出水面2cm時，x，y滿足的關系式是 。

【解析】分兩種情況討論，看長方體實心鐵塊的哪個面平放在長方體的容器底面，利用“實心鐵塊浸在水中的體積等于容器中水位增加后的體積減去原來水的體積”建立方程，求解即可。

解：當長方體實心鐵塊的棱長為10cm和ycm的那一面平放在長方體的容器底面時，鐵塊浸在水中的高度為8cm，此時，水位上升了（8-x）cm（x＜8），鐵塊浸在水中的體積為10×8×y=80y。

當長方體實心鐵塊的棱長為10cm和10cm的那一面平放在長方體的容器底面時，同理得

【點評】本題的等量關系是：長方體實心鐵塊排開水的體積等于長方體容器上升的水的體積，由此等量關系寫出函數(shù)表達式。

六、油箱問題

例7 （2018·上海）一輛汽車在某次行駛過程中，油箱中的剩余油量y（升）與行駛路程x（千米）之間是一次函數(shù)關系，其部分圖像如圖所示。

（1）求y關于x的函數(shù)關系式（不需要寫定義域）。

（2）已知當油箱中的剩余油量為8升時，該汽車會開始提示加油，在此次行駛過程中，行駛了500千米時，司機發(fā)現(xiàn)離前方最近的加油站有30千米的路程，在開往該加油站的途中，汽車開始提示加油，這時離加油站的路程是多少千米？

【解析】根據(jù)函數(shù)圖像中點的坐標，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，再根據(jù)一次函數(shù)圖像上點的坐標特征，即可求出剩余油量為8升時行駛的路程。

解：（1）設該一次函數(shù)解析式為y=kx+b，將（150，45）、（0，60）代入y=kx+b中，得：解得

∴530-520=10，即油箱中的剩余油量為8升時，汽車距離加油站10千米。

∴在開往該加油站的途中，汽車開始提示加油，這時離加油站的路程是10千米。

【點評】本題的易錯點是只求得了y=8時x的值，沒有進一步計算汽車與加油站的距離。