一題管窺4545°角的處理思路

譚志平

我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中有時(shí)會(huì)遇到關(guān)于45°角的問題，如何解決這類問題？下面，我們通過一道試題來一探究竟。

例題 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0）、B（-6，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCA=45°時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

圖1

【解析】由于本題沒有交代點(diǎn)C在y軸正半軸還是負(fù)半軸，因此這道題目中點(diǎn)C的位置需要分兩種情況討論。這兩個(gè)位置正好關(guān)于x軸對(duì)稱，因此我們只需討論點(diǎn)C在y軸正半軸的情況，然后由對(duì)稱性求出點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸的情況。

（方法一）如圖2，以45°角為基礎(chǔ)，構(gòu)造等腰直角三角形，由△BCF與△BDE全等，設(shè)法求出OC的長。

解：如圖2，過點(diǎn)B作BD⊥BC，交CA的延長線于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作x軸的垂線，分別過點(diǎn)C、點(diǎn)D作x軸的平行線，分別交過B點(diǎn)的x軸的垂線于點(diǎn)F、點(diǎn)E。

圖2

∴∠CBD=90°，∠E=∠F=90°，

∴∠CBF+∠DBE=90°，∠DBE+∠BDE=90°。

∴∠CBF=∠BDE，

目前，隨著教育國際化進(jìn)程加快，在教育領(lǐng)域與國際合作的機(jī)會(huì)逐步增加。可成立專門的國家合作交流的協(xié)會(huì)和機(jī)構(gòu)，通過這些機(jī)構(gòu)，推動(dòng)與國外經(jīng)驗(yàn)交流與合作。這有利于我國成人教育走向國際，把成人教育建立成一個(gè)面向社會(huì)、面向國際、面向未來的開放的教育體系。

∵∠BCD=45°，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴BC=BD，∴△BCF≌△DBE。

設(shè)OC=m，則BF=DE=m，

∵A（4，0），B（-6，0），

∴OB=CF=BE=6，∴DG=m-6。

∵OA∥DG，∴△AOC∽△DGC，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，12）。

由對(duì)稱性可知，當(dāng)點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-12）。

（方法二）如圖3，再過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，其實(shí)這一思路與前一思路類似，因?yàn)椤鰾OC與△CFB全等，△BDE與△DBH全等，所以△BOC與△DHB全等。求m值的時(shí)候，可利用△AOC與△ADH相似來解決。

圖3

（方法三）如圖4，構(gòu)造等腰直角三角形，還可以過點(diǎn)B作BK⊥AC于點(diǎn)K。

圖4

解：過點(diǎn)B作BK⊥AC于點(diǎn)K，設(shè)OC=m，則△BCK為等腰直角三角形。

在Rt△BOC中，同理：AC= m2+16?！摺鰽OC∽△AKB，

（方法四）過點(diǎn)A作BC的垂線，解題思路同方法三。

（方法五）利用同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍，將45°角轉(zhuǎn)化為90°角來解決問題。

解：如圖5，設(shè)△ABC的外接圓圓心為M，∵∠ACB=45°，∴∠AMB=90°，且MA=MB。

圖5

∴△AMB為等腰直角三角形，∵AB=10，∴MA=MB=52 ，M（-1，5）。，解得m=12。

解：設(shè)∠BCO=α，∠ACO=β，OC=m，則tanα=

【點(diǎn)評(píng)】從以上解法可以看出，遇到45°角，有兩種常用處理思路：

一是設(shè)法作垂線段，將45°角置于直角三角形中，構(gòu)造等腰直角三角形。若是遇到斜著放的直角，可以考慮構(gòu)造“K型”相似來解決。

二是利用同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍，將45°角轉(zhuǎn)化為直角。運(yùn)用兩角和的正切公式非常簡便，但由于這個(gè)公式是高中的內(nèi)容，在這里使用屬于超綱，如果使用，請(qǐng)務(wù)必將公式寫清楚。